2020-2021学年辽宁省实验中学高二(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年辽宁省实验中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．若O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（）A．，，共线B．，共线
C．，共线D．O，A，B，C四点共面
2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A．A B．A+A
C．A A D．A A
3．已知△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC 边上的高BD等于（）
A．3B．4C．5D．6
4．如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）
A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°
B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°
C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°
D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°
5．在（﹣）50的展开式中有理项的项数是（）
A．9B．8C．7D．6
6．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）
A．x2+y2＝1B．x2+y2＝4
C．x2+y2＝D．x2+y2＝1或x2+y2＝37
7．已知抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离为d1，到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，
则d1+d2的最小值是（）
A．B．C．3D．
8．已知A，B，C是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
二、选择题（共4小题）.
9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）
A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为30°
B．AC与BD所成的角为90°
C．BC与面ACD所成角的正弦值为
D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
11．在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
12．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）
A．AF+BF为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M 为FN的中点，则|FN|＝．
14．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝．
15．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有.（用数字作答）
16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意
点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝﹣35．
（1）求m的值；
（2）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|的值．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC＝BC＝CC1＝3，AE＝AA1，C1F＝CC1．
（Ⅰ）求证：CE∥面A1FB1；
（Ⅱ）求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值．
19．（12分）已知直线l过点P（2，3）且与定直线l′：y＝2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S（O为坐标原点），点B（a，0）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB ＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．
（1）求证：AN∥平面PBC；
（2）在直线PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知动点M到定点F（0，）的距离比到x轴距离大．（1）求动点M的轨迹方程C；
（2）过F作互相垂直的直线l与m交轨迹C（y≥0）于P、Q两点及S、T两点，A，B 分别是弦PQ、ST的中点，当|AB|＝1时，求直线l与m的方程．
22．（12分）已知曲线C1：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，曲线C2：y2＝4x，
C1的一个焦点在C2的准线上．
（1）求曲线C1的方程；
（2）设曲线C1的左焦点为F1，右焦点为F2，若过点F1的直线l与曲线C1的y轴左侧部分（包含C1与y轴的交点）交于A，B两点，直线AF2与曲线C2交于C，D两点，直线BF2与曲线C2交于E，F两点，试求|CD|+|EF|的取值范围．
参考答案
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（）A．，，共线B．，共线
C．，共线D．O，A，B，C四点共面
解：∵向量，，不能构成空间的一个基底，
∴向量，，共面，
因此O，A，B，C四点共面，
故选：D．
2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A．A B．A+A
C．A A D．A A
解：根据题意，分2步进行分析：
①将4名学生站成一排，有A44种排法；
②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有A53种情况；
则有A44A53种排法；
故选：D．
3．已知△ABC的顶点分别为A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC 边上的高BD等于（）
A．3B．4C．5D．6
解：设＝λ，又＝（0，4，﹣3）．
则＝（0，4λ，﹣3λ）．＝（4，﹣5，0），＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ），
由•＝0，
得λ＝﹣，∴＝（﹣4，，），
∴||＝5．
故选：C．
4．如图所示，设E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱CD上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（）
A．异面直线B1D1与EF所成的角为45°
B．异面直线B1D1与EF所成的角为30°
C．直线B1D1与平面B1EF所成的角为45°
D．直线B1D1与平面B1EF所成的角为60°
解：因为EF∥D1C1，
所以∠B1D1C1是异面直线B1D1与EF所成的角为45°，
故选项A正确，选项B错误；
在三棱锥D1﹣B1DC中，设点D1到平面DCB1的距离为h，
则有，
所以，
解得，
则直线B1D1与平面B1EF所成的角的正弦值为，
所以直线B1D1与平面B1EF所成的角为30°，
故选项C，D错误．
故选：A．
5．在（﹣）50的展开式中有理项的项数是（）
A．9B．8C．7D．6
解：∵（﹣）50的展开式的通项公式为T r+1＝••，故当50﹣r为偶数，且r能被3整除时，
即r＝0，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，
故选：A．
6．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣2，﹣1），C（6，﹣1），以原
点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）
A．x2+y2＝1B．x2+y2＝4
C．x2+y2＝D．x2+y2＝1或x2+y2＝37
解：如图
A（﹣2，3），C（6，﹣1），
∴过A、C的直线方程为，化为一般式方程，x+2y﹣4＝0．
点O到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝，
又OA＝，OB＝，OC＝．∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为（0，﹣1）或（6，﹣1），
∴圆的半径为1或，
则圆的方程为x2+y2＝1或x2+y2＝37．
故选：D．
7．已知抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离为d1，到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）
A．B．C．3D．
解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），
由抛物线定义可知，抛物线y2＝4x上的点P到x＝﹣2的距离d1＝|PF|+1，
又P到直线3x﹣4y+9＝0的距离为d2，
∴d1+d2的最小值为|MF|+1＝．
故选：A．
8．已知A，B，C是双曲线＝1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC 经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．
解：设双曲线的另一个焦点为E，由题意可得在直角三角形ABF中，
OF为斜边AB上的中线，即有|AB|＝2|OA|＝2|OF|＝2c，令|BF|＝|AE|＝m，|AF|＝n，|CF|＝2n，
由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|＝|AE|﹣|AF|＝2a，∴CE＝2n+2a
在直角三角形EAC中，m2+（3n）2＝（2n+2a）2，
代入2a＝m﹣n，化简可得m＝4n，
又m﹣n＝2a得n＝a，m＝，
在直角三角形EAF中，m2+n2＝（2c）2，
即为a2+a2＝4c2，可得e＝．
故选：B．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）
9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）
A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，
所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；
当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，
代入点P（2，3）可得a＝5，
所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．
综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．
故选：AC．
10．正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有（）A．AD与BC所成的角为30°
B．AC与BD所成的角为90°
C．BC与面ACD所成角的正弦值为
D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
解：取BD的中点O，连接OA，OC，
以O为原点，OC，OD，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OC＝1，则A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），对于选项A，＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴AD与BC所成的角为60°，即选项A错误；
对于选项B，＝（1，0，﹣1），＝（0，2，0），
∴•＝0，即AC⊥BD，∴选项B正确；
对于选项C，设面ACD的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝1，则x＝y＝1，∴＝（1，1，1），
设BC与面ACD所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，即选项C错误；
对于选项D，设平面ABC的法向量为＝（x'，y'，z'），则，即，令x'＝1，则y'＝﹣1，z'＝1，∴＝（1，﹣1，1），
∵OA⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量为＝（0，0，1），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴tan＜，＞＝，
∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值为，即选项D正确．
故选：BD．
11．在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
解：对于（2x﹣1）8的展开式，令x＝1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．
展开式中奇数项的二项式系数和为＝，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；
由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，
故选：BCD．
12．设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）
A．AF+BF为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'＝BF，可得AF+BF＝AF+AF'为定值6，故A正确；
△ABF的周长为AB+AF+BF，
∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；
将y＝与椭圆方程联立，可解得A（），B（），又知F（，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；
将y＝1与椭圆方程联立，解得A（，1），B（，1），
∴，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M 为FN的中点，则|FN|＝6．
解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，
可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，
|FN|＝2|FM|＝2＝6．
故答案为：6．
14．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝++．
解：＝+＝++＝++．
故答案为：++．
15．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有16.（用数字作答）
解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有C21C42＝12种，
若在物理、历史两门科目中选两门，则有C22C41＝4种，
根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，
故答案为：16．
16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），点P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意
点，若圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（1，2]．
解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，∵P（x0，y0）是直线bx﹣ay+2a＝0上任意一点，
则直线bx﹣ay+2a＝0与直线bx﹣ay＝0的距离d＝，
∵圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝1与双曲线C的右支没有公共点，
∴d≥1，即≥1，得e＝≤2，
又e＞1，∴e的取值范围为（1，2]，
故答案为：（1，2]．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝﹣35．
（1）求m的值；
（2）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|的值．
解：（1）∵（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，且a3＝•m3＝﹣35，∴m＝﹣1．（2）∵（1+mx）7＝（1﹣x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
令x＝1，则a0+a1+a2+…+a7＝0，
令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…+a7＝27，
两式相减除以2，可得|a1|+|a3|+|a5|+|a7|＝＝64．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC⊥AC，AC＝BC＝CC1＝3，AE＝AA1，C1F＝CC1．
（Ⅰ）求证：CE∥面A1FB1；
（Ⅱ）求直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值．
解：（1）证明：∵AE＝AA1，C1F＝CC1，∴A1E＝CF，
又A1E∥CF，∴四边形A1ECF为平行四边形，∴A1F∥CE，
∵A1F⊂面A1FB1，A1F⊄面A1FB1，∴CE∥面A1FB1．
（2）∵CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥C1A1，CC1⊥C1B1，
∵BC⊥AC，∴C1B1⊥C1A1，
于是以C1为原点，C1A1，C1B1，和C1C分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C1（0，0，0），A1（3，0，0），A（3，0，3），B1（0，3，0），F（0，0，1），∴＝（3，0，3），＝（﹣3，0，1），＝（﹣3，3，0），
设平面A1FB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴＝（1，1，3），
设直线AC1与面A1FB1所成的角为α，则sinα＝|cos＜＞|＝＝＝．
故直线AC1与面A1FB1所成角的正弦值为．
（3）由（2）可知，＝（﹣3，0，﹣2），＝（﹣3，3，﹣3），
设平面AFB1的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝2，则y1＝﹣1，z1＝﹣3，∴＝（2，﹣1，﹣3），
∴cos＜＞＝＝＝．
由题可知，二面角A﹣FB1﹣A1为锐二面角，
故二面角A﹣FB1﹣A1的余弦值为．
19．（12分）已知直线l过点P（2，3）且与定直线l′：y＝2x在第一象限内交于点A，与
x轴正半轴交于点B，记△AOB的面积为S（O为坐标原点），点B（a，0）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．
解：（1）当a＝2时，则直线l的斜率不存在，这时直线l的方程为x＝2，可得A（2，4），a≠2时直线l的斜率为：k＝，要使直线l与定直线l'交点在第一象限，需使＞2，或＜0，解得：＜a＜2，或a＞2，
综上所述：实数a的取值范围为（，+∞）；
（2）当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y﹣3＝（x﹣2），与y＝2x联立可得：，
所以可得A的纵坐标为：，
由题意S△AOB＝•a•＝3•＝3•，
令t＝（0＜t＜2），则﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1≤1，
所以S△AOB≥3，所以面积的最小值为3，这时a＝1，直线l的方程为：y﹣3＝3（x﹣2），即直线l的方程为：3x﹣y﹣3＝0．
当直线l的斜率不存在时，由（1）可得A（2，4），B（2，0），
所以S△AOB＝×2×4＝4，
即直线l的方程为：3x﹣y﹣3＝0．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB ＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．
（1）求证：AN∥平面PBC；
（2）在直线PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：取PC的中点E，连接BE，NE，
∵N为PD的中点，∴NE∥CD∥AB，NE＝CD＝AB，
∴四边形ABEN为平行四边形，
∴BE∥AN，
又BE⊂平面PBC，AN⊄平面PBC，
∴AN∥平面PBC．
（2）解：取CD的中点F，连接AF，则AB∥CF，AB＝CD＝CF，
∴四边形ABCF为平行四边形，
又AB⊥BC，∴四边形ABCF为矩形，即AB⊥AF，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AF，
故以A为原点，AF，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，﹣1，0），
设＝λ，则M（2﹣2λ，λ﹣1，λ），
∴＝（﹣2λ，λ﹣2，λ），＝（0，1，﹣1），＝（2，1，﹣1），
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∵CM与平面PBC所成角的余弦值为，
∴＝|cos＜，＞|＝||＝||，化简得，21λ2﹣50λ+24＝0，
解得λ＝或，
∴直线PD上存在点M满足题意，且＝或．
21．（12分）已知动点M到定点F（0，）的距离比到x轴距离大．（1）求动点M的轨迹方程C；
（2）过F作互相垂直的直线l与m交轨迹C（y≥0）于P、Q两点及S、T两点，A，B 分别是弦PQ、ST的中点，当|AB|＝1时，求直线l与m的方程．
解：（1）设M（x，y），则由题意可得：
，化简可得：x2＝y，
所以轨迹C方程为：x2＝y；
（2）设直线l的方程为：y＝kx+，k≠0，则直线m的方程为：y＝﹣，
联立方程组，消去y可得：x，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝k，x，
所以x，代入直线l得：y，
所以A（），
同理可得B（﹣，），
所以|AB|，
整理可得：k，即（k），
令k＞0，所以t2+t﹣6＝0，则t＝2或﹣3（舍去），
所以k，解得k2＝1，所以k＝±1，
所以直线l的方程为：y＝x+，m的方程为：y＝﹣x+．
22．（12分）已知曲线C1：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，曲线C2：y2＝4x，C1的一个焦点在C2的准线上．
（1）求曲线C1的方程；
（2）设曲线C1的左焦点为F1，右焦点为F2，若过点F1的直线l与曲线C1的y轴左侧部分（包含C1与y轴的交点）交于A，B两点，直线AF2与曲线C2交于C，D两点，直线BF2与曲线C2交于E，F两点，试求|CD|+|EF|的取值范围．
解：（1）根据题意可得2b＝2，解得b＝，
曲线C2：y2＝4x的准线为x＝﹣，
因为C1的一个焦点在C2的准线上．
所以c＝，a2＝b2+c2＝6，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）由（1）知，F1（﹣，0），F2（，0），
设直线l的方程为x＝my﹣，
过点（0，）时，m＝1；过点（0，﹣）时，m＝﹣1，
所以m∈[﹣1，1]，
联立，得（m2+2）y2﹣2my﹣3＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝，
设AF2的方程为x＝y+＝y+，
设C（x3，y3），D（x4，y4）
代入y2＝4x，
y2﹣（my1﹣2）y﹣12＝0，
所以y3+y4＝（my1﹣2），y3y4＝﹣12，
所以|CD|＝|CF2|+|DF2|＝x3+x4+2＝+4，同理可得|EF|＝+4，
所以|CD|+|EF|＝8+8m2++﹣﹣
＝8+8m2+48（2m2+）﹣48m（﹣m）
＝136m2+72，m∈[﹣1，1]，
所以|CD|+|EF|∈[72，208]．。