《全等三角形》压轴题训练讲义(含答案)

第1章《全等三角形》压轴题训练

(1)

1.如图，在ABC ∆中，,AD BC CE AB ⊥⊥,垂足分别为,,,D E AD CE 交于点,H EH 、3,4EB AE ===，则CH 的长是( )

A. 4

B. 5

C. 1

D. 2

2.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边,AC AB

于点,M N ，再分别以,M N 为圆心，大于12

MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4,25CD AB ==，则ABD ∆的面积为( )

A. 15

B. 30

C. 45

D. 60

3.如图，在Rt ABC ∆中，90,12,6C AC BC ∠=︒==，一条线段,,PQ AB P Q =两点分别在线段AC 和以点A 为端点且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使ABC ∆和QPA ∆全等，则AP 的长为 .

4.如图，//,,,,2,3AD BC AB

BC CD DE CD ED AD BC ⊥⊥=

==，则A D E ∆的面积

为 . 5. (1)观察推理:如图①，在ABC ∆中，90,ACB AC BC ∠=︒=,直线l 过点C ，点,A B 在直线l 的同侧，,BD l AE l ⊥⊥，垂足分别为,D E .求证:AEC CDB ∆≅∆.

(2)类比探究:如图②，在Rt ABC ∆中，90,4ACB AC ∠=︒=，将斜边AB 绕点A 逆时针

旋转90°至AB '，连接B C '，求AB C '∆的面积.

(3)拓展提升:如图③，在EBC ∆中，60,3E ECB EC BC ∠=∠=︒==，点O 在BC 上，且2OC =，动点P 从点E 沿射线EC 以每秒1个单位长度的速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转120°得到线段OF .要使点F 恰好落在射线EB 上，求点P 运动的时间t .

6.【初步探索】

(1)如图①，在四边形ABCD 中，,90AB AD B ADC =∠=∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+.探究图中,,BAE FAD EAF ∠∠∠之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法:延长FD 到点G ，使DG BE =.连接AG .先证明ABE ADG ∆≅∆，再证AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 .

【灵活运用】

(2)如图②，在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒. ,E F 分别是,BC CD 上的点，且EF BE FD =+，上述结论是否仍然成立?请说明理由.

【延伸拓展】

(3)如图③，在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=︒=.若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系，并给出证明过程.

(2)

1.如图，在ABC ∆中，12,8,AB BC BD ==是AC 边上的中线，则BD 的取值范围是( )

A. 28BD <<

B. 310BD <<

C. 210BD <<

D. 420BD <<

2.如图，在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以,AB AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接,CE BG 和,EG EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论:①BG CE =;②BG CE ⊥;③AM 是AEG ∆的中线;④EAM ABC ∠=∠.其中正确结论的个数是( )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

3.如图，//,AB CD O 是ACD ∠和BAC ∠的平分线的交点，且OE AC ⊥，垂足为E , OE =2. 5 cm ，则AB 与CD 间的距离为 cm.

4.如图，在ABC ∆中，90,45C BAC ∠=︒∠=︒，点M 在线段AB 上，12GMB A ∠=∠，BG MG ⊥，垂足为,G MG 与BC 相交于点H .若MH = 8 cm ，则BG = cm.

5.如图，在ABC ∆中10AB AC ==cm, BC =8 cm, D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 以a cm/s 的速度运动.设运动的时间为t s.

(1)求CP 的长;(用含t 的代数式表示)

(2)若以,,C P Q 为顶点的三角形和以,,B D P 为顶点的三角形全等，且B ∠和C ∠是对应角，求a 的值.

6.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示:在ABC ∆和DEF ∆中， ,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠，然后对B ∠进行分类，可以分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况:当B ∠为直角时，ABC DEF ∆≅∆.

(1)如图①，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF ==,90B E ∠=∠=︒，根据 ，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆.

第二种情况:当B ∠为钝角时，ABC DEF ∆≅∆.

(2)如图②，在ABC ∆和DEF ∆中,AC DF BC EF == ,B E ∠=∠，且,B E ∠∠都是钝角.求证: ABC DEF ∆≅∆.

第三种情况:当B ∠为锐角时，ABC ∆和DEF ∆不一定全等.

(3)在ABC ∆和DEF ∆中，,AC DF BC EF ==，B E ∠=∠,且,B E ∠∠都是锐角，请你用尺规在图③中作出DEF ∆，使DEF ∆和ABC ∆不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4) B ∠还要满足什,,,AC DF BC EF B E ==∠=∠，且,B E ∠∠都是锐角.若 ，则ABC DEF ∆≅∆.

参考答案(1)

1.C

2. B

3.6或12

4. 1

5. (1),BD l AE l ⊥⊥Q