((完整版))函数与导数经典例题-高考压轴题(含答案),推荐文档

（Ⅱ）解： f (x) 12x2 6tx 6t2 ，令 f (x) 0 ，解得 x t或x t . 2
因为 t 0 ，以下分两种情况讨论：
（1）若 t 0,则当t t, x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表： 2
x
,
t 2
t 2
,
t
t,
f (x)
+
-
+
函数与导数
1. 已知函数 f (x) 4x3 3tx2 6tx t 1, x R ，其中 t R ． （Ⅰ）当 t 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 t 0 时，求 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的 t (0, ), f (x) 在区间 (0,1) 内均存在零点．
（Ⅲ）设 n N* ，证明： f (n)h(n) [h(1) h(2) h(n)] 1 ． 6
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数
与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ） F (x) 18 f (x) x2[h(x)]2 x3 12x 9(x 0) ，
2. 已知函数 f (x) 2 x 1 ， h(x) x ． 32
（Ⅰ）设函数 F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求 F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设 a R ，解关于 x 的方程 lg[ 3 f (x 1) 3] 2 lg h(a x) 2 lg h(4 x) ；
2
4
（Ⅱ）方法一：原方程可化为
log
4
[
3 2
f
(x
1)
3] 4
log2
h(a
x)
log2
h(4
x)
，
即为 log4 (x 1) log2
a x log2
4 x log2
a 4
x x
，且
x a, 1 x
4,
①当1 a 4 时，1 x a ，则 x 1 a x ，即 x2 6x a 4 0 ， 4x
（Ⅲ）由已知得 h(1) h(2) h(n)] 1 2 n ，
f (n)h(n) 1 4n 3 n 1 ．
66
6
设数列{an} 的前
n
项和为 Sn ，且 Sn
f (n)h(n)
1 6
（ n N* ）
从而有 a1
S1
1 ，当 2
k
100 时， ak
Sk
Sk 1
4k 3 6
F (x) 3x2 12 ．
令 F (x) 0 ，得 x 2 （ x 2 舍去）．
当 x (0, 2) 时． F (x) 0 ；当 x (2, ) 时， F (x) 0 ，
故当 x [0, 2) 时， F (x) 为增函数；当 x [2, ) 时， F (x) 为减函数．
x 2 为 F (x) 的极大值点，且 F (2) 8 24 9 25 ．
36 4(a 4) 20 4a 0 ，此时 x 6 20 4a 3 5 a ，∵1 x a ， 2
此时方程仅有一解 x 3 5 a ． ②当 a 4 时，1 x 4 ，由 x 1 a x ，得 x2 6x a 4 0 ，
4x 36 4(a 4) 20 4a ，
所以对任意 t [2, ), f (x) 在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当 0
t 2
1,即0
t
2
时，
f
(x)
在
0,
t 2
内单调递减，在
t 2
,1
内单调递增，若
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t
(0,1],
f
1 2
7 t3 4
t
1
7 t3 4
0.
f (1) 6t2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0.
f (x)
所以，
f
(x)
的单调递增区间是
,
t 2
,
t,
;
f
(x)
的单调递减区间是
t 2
, t
。
（2）若 t 0,则 t t ，当 x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下表： 2
x
,t
t,
t 2
t 2
,
f (x)
+
-
+
f (x)
所以，
f
(x)
的单调递增区间是
,
若 4 a 5 ，则 0 ，方程有两解 x 3 5 a ；
若 a 5 时，则 0 ，方程有一解 x 3 ；
若 a 1 或 a 5 ，原方程无解．
方法二：原方程可化为 log4 (x 1) log2 h(4 x) log2 h(a x) ，
即
1 2
log2
(
x
1)
log2
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分 14 分。
（Ⅰ）解：当 t 1时， f (x) 4x3 3x2 6x, f (0) 0, f (x) 12x2 6x 6
f (0) 6. 所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 6x.
t
,
t 2
,
;
f
(
x)
的单调递减区间是
t,
t 2
.
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当 t
0
时，
f
(x)
在
0,
t 2
内的单调递减，在
t 2
,
内单调
递增，以下分两种情况讨论：
t
（1）当
1,即t 2 时，
f (x) 在（0，1）内单调递减，
2
f (0) t 1 0, f (1) 6t2 4t 3 6 4 4 2 3 0.
所以
f
( x)在
t 2
,1
内存在零点。
若t
(1, 2),
f
t 2
7 4
t3
t
1
7 4
t3
1
0.
f (0) t 1 0
所以
f
( x)在
0,
t 2
内存在零点。
所以，对任意 t (0, 2), f (x) 在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意 t (0, ), f (x) 在区间（0，1）内均存在零点。
4 x log2
a
x
，
x 1 0,
4 x 0,
a
x
0,
(x 1)(4
x)
a
x.
1 x 4 x a, a (x
3)2
5.
①当1 a 4 时，原方程有一解 x 3 5 a ；
②当 4 a 5 时，原方程有二解 x 3 5 a ；
③当 a 5 时，原方程有一解 x 3 ； ④当 a 1 或 a 5 时，原方程无解．