典型的混沌系统

典型的混沌系统 (1)
1.1 一维混沌系统 (1)
§1.1.1 Logistic 映射 (1)
§1.1.2 Chebyshev 映射 (2)
§1.1.3 Logistic 映射与Chebyshev 映射 (3)
§1.1.4 概率密度函数PDF 的作用 (3)
1.2二维混沌系统(≠超混沌系统) (3)
§1.2.1 Henon 映射 (4)
典型的混沌系统
混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。

按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型：
➢ 时间混沌；
➢ 空间混沌；
➢ 时空混沌；
➢ 功能混沌；
1.1 一维混沌系统
一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下：
)(1k k x x τ=+
其中，x k ∈V ， k=0,1,2,3…，我们称之为状态。

而τ: V →V 是一个映射，将当前状态xk 映射到下一个状态xk+1。

如果我们从一个初始值x0 开始，反复应用 τ ， 就得到一个序列{ xk ; k=0,1,2,3…..}。

这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。

原始的虫口模型方程是（37文）：
k k ax x =+1
体现了两代虫子的数量关系。

将此方程推导一下，可以得到如下方程：
0x a x k k =
可以得到第n 代虫子和第0代虫子的数量关系。

但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。

§1.1.1 Logistic 映射
一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic 映射，它起源于虫口模型。

其定义有
多种形式。

1．形式一
)1(1k k k x x x -=+μ
其中，混沌域为(0,1)，0 ≤ μ ≤ 4 称为分枝参数，x k ∈(0,1)。

混沌动力系统的研究工作指出，当3.5699456…< μ ≤ 4 时，logistic 映射工作于混沌态。

也就是说，由初始条件x0 在logistic 映射的作用下所产生的序列 { x k ; k=0,1,2,3…..}是非周期的、不收敛的并对初始值非常敏感的。

在μ=4的情况下，即Logistic-Map 映射，其所生成序列的概率密度函数PDF(probability density function)：
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=else
x x x x 010)1(1πρ 表明此系统产生的混沌序列具有遍历性，并且它产生序列的PDF 与初始值无关，这为将混沌序列作为密钥置换网络的映射函数提供了理论支持。

2．形式二
211k k x x λ-=+
其中 λ ∈ [0, 2]，混沌域为[-1, 1]。

当λ∈(1.40115,2)时，Logistic 映射工作处于混沌状态。

（34文）；当λ∈(1.5437,2)时，Logistic 映射工作处于混沌状态。

（35文）（具体看《从抛物线谈起》）
在λ=2的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF ：
()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=else
x x x 011112
πρ 3．形式三
21k k k x x x -=+μ
当μ∈(3.5699,4)时，Logistic 映射工作处于混沌状态。

在μ接近4的范围内生长的混沌序列的随机性比较好。

（37文）
在μ=4的满射情况下，其所生成序列的概率密度函数PDF ：（43文）
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=else
x x x 010112
πρ §1.1.2 Chebyshev 映射
Chebyshev 映射，以阶数为参数。

k 阶Chebyshev 映射定义如下：
()))(cos
cos(11k k x n x -+=τ
其中 x k 的定义区间是(-1，1)。

§1.1.3 Logistic 映射与Chebyshev 映射
上述第二类Logistic 映射在λ=2的满射条件下，与Chebyshev 映射是拓扑共轭的，它们生成序列的概率分布函数PDF 也是相同的：
()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=else
x x x 011112
πρ §1.1.4 概率密度函数PDF 的作用
通过ρ(x)，我们可以很容易地计算得到logistic 映射所产生的混沌序列的一些很有意义的统计特性。

例如，x 的时间平均即混沌序列轨迹点的均值是：
0)(1lim 1
010===⎰∑-=∞→dx x x x N x N i i N ρ
例如，关于相关函数，独立选取两个初始值x 0 和y 0 ，则序列的互相关函数为：
))()()(,())((1lim )(101
010)(=--=--=⎰⎰∑-=+∞→dy dx y y x x y x y y x x N
l c l N i l i i N τρ 例如，序列的自相关函数ACF(auto-correlation functions)则等于delta 函数δ(l)。

这正是我们所需要的。

注意，联合概率密度函数pdf :ρ(x,y)= ρ(x) ⨯ ρ(y)。

Logistic 序列的以上特性表明，尽管混沌动力系统具有确定性，其遍历统计特性等同于白噪声，其具有形式简单，初始条件的敏感性和具备白噪声的统计特性等诸多特性。

1.2二维混沌系统(≠超混沌系统)
一维离散混沌系统，具有形式简单、产生混沌序列时间短等优点，但其缺点是密钥空间太小。

用二维超混沌系统生成的混沌序列，变换成加密因子序列。

Lyapunov 指数（简称李氏指数），是刻画非线性系统混沌特性的有效方法之一，李氏指数的个数与系统状态空间的维数n 相同。

如果只有一个李氏指数大于零，则系统是混沌的；若至少有两个李氏指数大于零，则系统是超混沌的。

大于零的李氏指数越多，系统不稳定的程度越高。

一般来说，系统的状态量个数越多（如高维系统，对离散系统来说，n>2），它可能出现不稳定的程度越高。

不失一般性，二维混沌离散系统有如下形式：
⎩⎨⎧==++),(),(21
11n n n n n n y x f y y x f x 其中⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=n
n n n n n n n n n n n n n n n y x a y a y a x a x a a y x f y x a y a y a x a x a a y x f 122111029872625423211),(),(
式中a i （i=1,2,…12）式均为待定常系数。

采用高维系统产生超混沌，由于系统比低维情况复杂，产生超混沌时序的时间增长，将有可能直接影响保密通讯实时性的要求。

因此，如何在系统状态变量个数尽可能少而正性李氏指数又尽可能多的条件下，寻找到非线性形式简单的系统，是十分实际而又有意义的工作。

为了寻找简单形式饿二维离散超混沌系统，需要进一步简化：
⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=n
n n n n n n n n n n n n n n n y x a y a y a x a x a a y x f y x a y a y a x a x a a y x f 122111029872625423211),(),( 使部分非线性项前面的系数为零，然后通过计算该系统的李氏指数，即有两个或两个以上大于零的李氏指数，可认为该系统是超混沌特性的二维离散系统。

通过计算，得到一些形式简单且具有超混沌特性的二维离散系统，如下表：
§1.2.1 Henon 映射
Henon 映射已是被广泛应用的一个二维混沌映射，其方程如下：
⎩⎨⎧=-+=++n
n n n n bx y ax y x 1211 当a ∈[1.07,1.4]、b=0.3时，Henon 映射存在混沌吸引子。