实用文库汇编之插空法解排列组合题
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合专题12 插空法模型(练习版+解析版)
专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种B．144种C．288种D．360种例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A．96B．144C．240D．288例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10B．15C．20D．24例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60B．48C．36D．24例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A．72种B．108种C．36种D．144种例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A．720B．768C．810D．816例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A．40B．36C．32D．20例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48B．54C．72D．84例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A．96B．120C．48D．72例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A．72种B．144种C．360种D．720种例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.A B C D E F六人并排站成一排，,A B必须站在一起，且,C D不能相邻，那么不同的排法共有例20．,,,,,_____种（结果用数字表示）.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.专题12插空法模型例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种.选B .例2．只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A ．96B ．144C ．240D ．288【解析】当重复使用的数字为数字1时，符合题意的五位数共有：323436A C =个当重复使用的数字为2,3,4时，与重复使用的数字为1情况相同∴满足题意的五位数共有：364144⨯=个本题正确选项：B例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A ．10B ．15C ．20D ．24【解析】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A ．60B ．48C ．36D ．24【解析】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为22222324A A A =，故选：D ．例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种【解析】先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种.故选：D ．例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A ．720B ．768C ．810D ．816【解析】由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有1444C A =96种情况，其中甲、乙相邻的有123423C A A 48=种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有964848-=种情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有314434C C A 288=种情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有224434432C C A =种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768++=种情况，故本题答案选B例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解析】由题意知先使五个人的全排列，共有55A种结果．(1)身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有22322324A A A=种情况；(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；(3)只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有22222324A A A=种情况；∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有552422448A--⨯=种情况，故选：A．例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（）A．1360B．16C．715D．115【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A．所以所求的概率537681016A APA==，故选：B．例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（）A．48B．144C．288D．576【解析】分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有2323A A种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有24A种不同方法，故第一类有232234144A A A=种站法，第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，由分类加法计数原理知，共有144144288+=种站法，故选：C例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（）.A．432B．576C．696D．960【解析】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A22A34(A+1224)576C A=种.故选：B.例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种B．36种C．72种D．144种【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有22A种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有33A种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有24A种，由于是分步进行，所以共有232234144A A A ⋅⋅=种，故选：D .例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（）A ．40B ．36C ．32D ．20【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故选：A .例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A ．48B ．54C ．72D ．84【解析】根据题意，分2步进行分析：①先将3名乘客全排列，有336A =种情况，②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，则恰好有2个连续空座位的候车方式有64372⨯⨯=种；故选：C ．例14．某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A ．96B ．120C ．48D ．72【解析】使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有33A 种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有34A 种，根据分步乘法计数原理有3334A A ，扣除郁金香在两边，排2盆虞美人、1盆郁金香有222A 种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有33A ，根据分步计数原理有23232A A ，所以共有332334232120A A A A -=种.故选:B.例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（）A ．72种B ．144种C ．360种D ．720种【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有442A 种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有24A 中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有4244=1442A A ⋅种.故选：B .例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有44A 种排法，再安排空盒，有2252C A 种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有3232A A 种排法，再安排空盒，有2242C A 种方法，因此所求放法种数为44A 2252C A -3232A A 2242336.C A =例17．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．【解析】从3人选择2人进行捆绑，形成1个“大元素”，然后与另外1人形成2个元素，再由3把椅子所形成的4个空位中选择2个空位插入即可，由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为242372A A =.故答案为：72.例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.【解析】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有236A =种，先排三个奇数，有336A =种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有2412A =种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：6612432⨯⨯=种若1排在两端，3个奇数的排法有12224A A ⋅=种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有236A =种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有646144⨯⨯=种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有432144288-=种故答案为：288例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有3620C =种不同方法.故答案为：20例20．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB两人看成一个元素，与2EF人进行全排列，有232312A A=种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C、D，有2412A=种情况，则有1212144⨯=种不同的排法.故答案为：144.例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.【解析】5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有246C=种投放方法.故答案为：6.例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.【解析】第一步：从后排8人中，抽取2个不相邻的同学共有：65432121+++++=种选法；第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有222A=种方法；第三步：将所抽取的两名同学插入前排4人形成的5个空档中，共有155C=种方法，由分步乘法计数原理可知，共有2125210⨯⨯=种调整方法.故答案为：210.8。
排列组合问题之捆绑法插空法和插板法
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：
例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( )种不同方法.
A.35 B.28 C.21 D.45
【解析】这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
排列组合问题之捆绑法插空法和插板法相邻问题捆绑法即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时先将其捆绑后整体考虑也就是将相邻元素视作一个大元素迚行排序然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？
【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有 种排法。根据分步乘法原理，总的排法有 种。
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有 种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有 种插法。由乘法原理，共有排队方法： 。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
插空法解排列组合题
插空法解排列拉拢题之阳早格格创做曾安雄插空法便是先将其余元素排佳，再将所指定的不相邻的元素拔出它们的间隙或者二端位子，进而将问题办理的战术.使用插空法解问有闭元素不相邻问题非常便当.底下举例证明.一. 数字问题例1. 把1，2，3，4，5组成不沉复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有分歧排法有几种？剖析：本题曲交解问较为贫苦，果为可先将3，4，5三个元素排定，公有种排法，而后再将1，2拔出四个空位公有种排法，故由乘法本理得，所有分歧的五位数有二. 节目单问题例2. 正在一弛节目单中本有六个节目，若脆持那些节手段相对于程序稳定，再增加进来三个节目，则所有分歧的增加要领公有几种？剖析：若曲交解问则较为贫苦.故可先用一个节目来插七个空位，有种要领；再用另一个节目来插八个空位有种要领；用末尾一个节目来插九个空位有种要领.由乘法本理得，所有分歧的增加要领为：.三. 闭灯问题例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了俭朴用电，不妨把其中的三盏灯闭掉，但是不克不迭共时闭掉相邻二盏或者三盏，则所有分歧的闭灯要领有几种？剖析：如果曲交解问须分类计划，故可把六盏明着的灯瞅做六个元素，而后用不明的三盏灯来插七个空位公有种要领，果此所有分歧的闭灯要领为种.四. 停车问题例4. 停车场划出一排12个停车位子，今有8辆车需要停搁，央供空位子连正在所有，分歧的停车要领有几种？剖析：先排佳8辆车有种要领，央供空位子连正在所有，则正在每2辆之间及其二端的9个空核心任选一个，将空位子拔出其中有种要领.所以公有种要领.五. 座位问题例5. 3部分坐正在一排8个椅子上，若每部分安排二边皆有空位，则坐法的种类有几种？解法1：先将3部分（各戴一把椅子）举止齐排列有种，爆收的四个空中分别搁一把椅子，还剩一把椅子再来插空有种，所以每部分安排二边皆空位的排法有种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，正在5个椅子中间出现4个空，再让3部分每人戴一把椅子来插空，于是有种.。
排列组合插板法插空法捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
排列组合之插空法
插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台”，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序
注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（2）要从题目中判断是否需要各自排序
【Example 1】
甲乙丙等6人站成一排，求甲乙丙不相邻的排队方案种类数.
【Example 2】
书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法
【Example 3】
从1，2，3，…20中任取5个不同的数，则这5个数都不相邻，这样的取法有多少种？
1. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.有2个空车位置连在一起，不同
的停车方法有多少种？
2. 马路上有编号为1，2，3，…9的九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
4. 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙
必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种类有多少？
5. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A −∉且1k A +∉，那么称k 是集合
A 的一个“孤立元”，给定{}
1,2,3,4,5,6,7,8S =，则S 的3个元素构成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）
A. 6
B. 15
C. 20
D. 25。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可3个条件的问题，这样将）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个3“档板?【例1】共有10完全相同的球分到7解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10隙中，就“把10个球隔成有序的73个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10????【基本题型的变形（一）】每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
??【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35B．28C．21D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。
这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。
【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：编号1：至少1个，符合要求。
排列组合插空法例题
排列组合插空法例题“哎呀，这排列组合可真是让人头疼啊！”小李皱着眉头说道。
好啦，小李别愁啦，让我来给你讲讲排列组合插空法的例题。
比如说，有 5 个不同的球，要放到 3 个不同的盒子里，每个盒子至少放一个球，问有多少种放法。
我们就可以用插空法来解决。
先将 3 个球排成一排，中间就有 2 个空，然后从这 2 个空中选 1 个空插入隔板，将球分成 2 部分，这样就可以分成3 个盒子。
所以一共有 C(2,1)种插隔板的方法。
再比如说，有 6 个人排成一排，其中甲、乙两人不相邻，问有多少种排法。
我们先将除甲、乙之外的 4 个人全排列，有 A(4,4)种排法，这 4 个人排好后会产生 5 个空，然后从这 5 个空中选 2 个空，将甲、乙插入，有A(5,2)种插空方法。
所以总的排法就是A(4,4)×A(5,2)。
再看一个例子，在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去 3 个节目，要求不相邻，那么有多少种不同的添加方法。
原来的 6 个节目排好后会产生 7 个空，从这 7 个空中选 3 个空插入 3 个节目，就有 A(7,3)种方法。
插空法主要用于解决不相邻问题，通过先排列其他元素，再在它们之间插入不相邻的元素。
这样可以将复杂的问题简单化。
就像在一个聚会上，有 10 个人要坐成一排，其中小明和小红不想坐在一起。
那我们就先让其他 8 个人坐好，他们之间会有 9 个空，然后从这 9 个空中选 2 个空让小明和小红坐进去，这样就保证了他们不相邻。
所以啊，小李，只要掌握了插空法的精髓，这类问题就都不难解决啦。
多做几道题练习一下，你肯定能熟练掌握的。
别再头疼啦，加油哦！。
完整版排列组合问题之捆绑法 插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 •若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，贝U有多少排队方法?【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■<种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有I -种例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D E三个人排列,有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：〜D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。
由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。
例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。
公务员行测《插空法速解排列组合》
插空法速解排列组合在行测数量关系中，排列组合问题算是考生最头疼的问题了，考生往往需要思考很长时间，却依旧做不出来，导致考生在做题过程中会直接跳过排列组合问题，这无疑会影响考生的最终得分。
其实在排列组合中有一部分特殊题型，能够达到快速解题的效果，今天公考通带大家一起来看一下排列组合中的常用方法——插空法。
例1.有A、B、C、D、E五个人要排成一行，A、B要求不相邻，问一共有多少种排列方法?A.24B. 36C.48D.72【答案】D。
解析：问一共有多少种排列方法，从问题可以看出是排列组合问题，因为存在排序，交换A、B、C、D、E五个人的位置会对结果造成影响，所以是排列。
但这个问题中有一个要求：“A、B要求不相邻”，则可以先排C、D、E，为A33；之后在C、D、E形成的四个空中选两个空插入A、B，为C42，也就满足了题干要求的“A、B要求不相邻”；但此时A、B交换顺序对结果有影响，应考虑A、B的顺序，为A42；所以列式为A33 x A42=6x6x2=72，选择D。
提醒：排列组合问题中，出现要求“不相邻”，可以用插空法进行快速解题。
解题步骤为①先考虑其他元素②选空③排空。
例2.五本不同的童话书和四本相同的漫画书整齐的摆放在书架上，现在要求所有漫画书不能摆放在一起，问有多少种摆放方法?A.120B.1200C.1800D.17280【答案】C。
解析：问有多少种摆放方法，属于排列组合问题，出现“不相邻”。
考虑用插空法，步骤1先考虑剩余元素。
五本不同的童话书没有要求，先将童话书进行全排列，为A55。
2选空，从五本漫画书形成的六个空中选择四个空房漫画书，为C64。
3排空，四本漫画书相同，交换漫画书的位置对结果无影响，因此可列式为A55 x C64 =120x15=1800，选择C。
提醒：插空法中第三步为排空，一定要注意交换元素顺序对结果是否有影响。
通过以上讲解可以发现，排列组合问题中也有能够快速解决的问题，学会这些问题能够提高我们的能力与成绩。
排列组合专题三 插空法
排列组合专题三插空法一、标准的插空法....................................................................................................................... - 1 -（一）插空法引入介绍....................................................................................................... - 1 - （二）插空法模型训练....................................................................................................... - 1 -二、插空中的定序....................................................................................................................... - 3 -三、插空中的转化：相邻至少与插空....................................................................................... - 3 -四、插空中的分类....................................................................................................................... - 4 -（一）三类元素各自不邻问题........................................................................................... - 4 - （二）相邻至多与插空....................................................................................................... - 5 - （三）部分同种元素相邻问题........................................................................................... - 5 - 五、疑惑诠释：插空法与分步法............................................................................................... - 6 -（一）分步插空法介绍....................................................................................................... - 6 - （二）分步插空法示例....................................................................................................... - 7 - （三）分步插空与插空法的区别....................................................................................... - 7 -一、标准的插空法（一）插空法引入介绍【例1】5个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】443A【例2】8个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？【答案】3655A A【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列（二）插空法模型训练【例1】5名妈妈和5个儿童进行排列，要求5个儿童不相邻，有多少种排法？【答案】5655A A【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？【答案】3544A A【例3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节和最后一节，有多少种排法？【答案】4433A A【例4】8名同学和2名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？【答案】2788A A【例5】把5名同学排到6个座位中，且B A ,不相邻，有多少种排法？【答案】2544A A【例1】文艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不能同时关，两端的灯必须一直亮，有多少种排法？【答案】28【例2】显示屏一排有7个小孔，可以显示0或1两种信号，每次显示3个小孔，但相邻孔不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？【答案】80三、插空中的转化：相邻至少与插空【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一节艺术课，有多少种排法？【答案】3433A A（一）三类元素各自不邻问题【引理】两人分类的相邻与不邻A,都不与C相邻，共有多少种排法？【例1】5人排成一排，B【答案】36【破解方法】1.从最多开始2.相邻与不邻的讨论【例1】5本不同的书，其中语文2本，数学2本，物理1本，对其进行排列，要求同一科目不相邻，有多少种排法？【答案】48【例2】文艺演出中有三类节目，3个歌舞类节目，2个小品类，1个相声类，对其排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120（二）相邻至多与插空【破解方法】讨论相邻个数【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】22222333A A C A （三）部分同种元素相邻问题【破解方法】打包+不邻【例1】将4个白球，1红1蓝1黄1绿进行排列，要求只有2个白球相邻，有多少种排法？【答案】441524A C C【例2】将4名男生，2名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少种？【答案】144【例3】某名学生默写英文单词()”会计“bookkeeper ，他记得这个单词是由3个""e ，2个""o ，2个""k ，r p b ,,各一个组成，2个""o 相邻，3个""e 恰有两个相邻，e o ,都不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？【答案】9000五、疑惑诠释：插空法与分步法（一）分步插空法介绍 1.可以用分步法理解2.用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复（二）分步插空法示例【例1】5名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？【答案】1344C A【例2】12名同学合影，前排站4人，后排站8人，摄影师从后排找2人站在前排，剩下的同学相对顺序固定，有多少种排法？【答案】2830C【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法. （三）分步插空与插空法的区别【例1】6个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？【答案】141544C C A【小结】避开相邻的特殊空也可以插入。
行测备考：排列组合之插空法
行测备考：排列组合之插空法
数量关系一直是行测考试中比较难的一部分，往往是考生容易丢分的地方。
数量关系中排列组合题目一直是考生的一大难题。
中公教育为考生介绍一种常用的解题方法——插空法。
【例1】：甲乙丙丁戊五个人坐成一排，若甲乙两人要求不能相邻而坐，则不同的安排方案有多少种?
A.120
B.36
C.48
D.72
注意：若排列组合问题中元素(位置)要求不相邻，则先将其他元素(位置)排列好，然后将不相邻元素(位置)放入产生的空位之中，这种方法称为插空法。
【例2】：某小区因水管维修，在一周内要停止两天供水，但为保持小区居民生活用水需求，不能连续两天停水，则一共有多少种停水日期方案?
A.42
B.30
C.21
D.15
【例3】：用1、2、3、4、5五个数字组成无重复的五位数中数字2和4不相邻的奇数有多少个?
A.36
B.48
C.96
D.120
注意：插空法应用时候一定要注意是否所有空位都能放入不相邻元素。
插空法排列组合题目
插空法排列组合题目插空法是一种常用的排列组合方法，它适用于解决问题中涉及到固定位置和空位的情况。
插空法的最大特点是简单明了，易于理解和掌握，下面将结合几个实例进行详细说明。
首先，插空法要求我们先确定问题中的空位、固定位和待填入数值的个数。
例如，有4个球员要选出2个做队长，那么可以用插空法解决。
首先，确定两个空位表示选出的两个队长，确定两个固定位表示未被选中的两名球员。
_ _ * *然后，我们需要确定待填入的数值，即球员编号。
在这道题中，球员的编号为1、2、3、4。
在填空之前，我们需要先判断每个空位可以填写的数值范围。
对于第一个空位，可以填写的数值范围为1~4，但是需要排除掉第二个固定位的数值。
因此，在第一个空位中填入数值时，只需要挨个试填，即1、2、3，即可得到所有可能的组合。
同样的，对于第二个空位，可以填写的数值范围为1~4，但需要排除掉第一个固定位置上的球员编号。
因此，在第二个空位中填入数值时，只需要再次挨个试填，即1、3、4，即可得到所有可能的组合。
按照上述方法，我们可以得到如下所有可能的组合：1 2 _ _1 3 _ _1 4 _ _2 3 _ _2 4 _ _3 4 _ _总结起来，插空法解决排列组合问题的步骤可以概括如下：1. 确定空位、固定位和待填入数值的个数。
2. 确定每个空位可以填写的数值范围，再依次试填所有可能的组合。
3. 将所有符合条件的组合记录下来，即为所求的结果。
插空法是一种非常简单实用的排列组合方法，尤其适用于题目中存在固定位置和空位的问题。
在学习插空法的过程中，我们需要注意对题目进行分析，然后合理安排空位和固定位的位置，然后进行试填，最后得到所有符合条件的组合。
总之，使用插空法解决排列组合问题，可以使我们在考试或者日常生活中更快更准确地处理排列组合问题。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
【基本题型例题】【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。
【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用之五兆芳芳创作捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比方：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑.这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区此外还需进行一定的顺序考虑.插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素按照题目要求拔出到已排好的元素的空隙或两端位置.插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采取将比分组数目少1的隔板拔出到元素中的一种解题战略.题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”.例1：分两种情况考虑14个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2种24个空，这就相当于考虑两个数在4种综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法.例2：A、B、C、D、E五团体排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法.插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三团体站在那有一共留出4个空，将A、B辨4个空的不合的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，C、D、E三团体也存在一个，综上，共有6*12=72种例3：A、B、C、D、E五团体排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法.捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既考虑其和C、D、E共4，又因为A、B两人，综上，共有48种.例4：将8个完全相同的球放到3个不合的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种办法？插隔板法：解决这道题只需将8个球分红三组，然后依次将每一个组辨别放到一个盒子中便可.8个球分红3个组可以这样，用2个隔板插到这8个球中，这样就分红了3个组.这时我们考虑的问题就转化成了我们在8个球的空隙中放2.8个球有7个空隙，7个空隙要放221种.个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，便可分红4天要吃的.种.不邻问题插板法解题要点“不邻问题”插板法——先排列，再插空“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素拔出已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的战略.例1：若有A、B、C、D、E五团体排队，要求A和B两团体必须不站在一起，则有多少排队办法?【解析】题目要求A和B两团体必须离隔.首先将C、D、E三团体排列，有种排法;若排成DCE，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也便是：︺D︺C︺E︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法.由乘法原理，共有排队办法：.例2：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不合的添加办法共有多少种?【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位(原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位)，有种办法;再用另一个节目去插8个空位，有种办法;用最后一个节目去插9个空位，有种办法，由乘法原理得：所有不合的添加办法为=504种.例3：一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不克不及同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不合的关灯办法有多少种?【解析】若直接解答须分类讨论，情况较庞杂.故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种办法(请您想想为什么不是)，因此所有不合的关灯办法有种.【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包含先排好元素“中间空位”和“两端空位”.解题进程是“先排列，再插空”.计数之插板法总结：插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中拔出若干个（b）个板，可以把n个元素分红（b+1）组的办法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分红的每一组至少分得一个元素(3)分红的组别彼此相异举个很普通的例子来说明：把10个相同的小球放入3个不合的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，C92=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用:a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此办法）1 ：把10个相同的小球放入3个不合的箱子，问有几种情况？2：把10个相同小球放入3个不合箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？b 添板插板法3：把10个相同小球放入3个不合的箱子，问有几种情况？4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不克不及再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不克不及再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？答案：1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不合箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？显然就是 c12 2=662、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不合箱子，每箱至少1个，几种办法？ c8 2=283、-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o暗示10个小球，-暗示空位,11个空位中取2个参加2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不克不及取空,此时若在第11个空位后参加第12块板，设取到该板时，第二组取球为空,则每一组都可能取球为空 c12 2=664、因为前2位数字唯一对应了合适要求的一个数，只要求出前2位有几种情况便可，设前两位为ab显然a+b<=9 ,且a不为0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - . 1代表9个1，-代表10个空位我们可以在这9个空位中拔出2个板，分红3组，第一组取到a个1，第二组取到b个110个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为01 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -在9个空位种插如3板，分红4组，第一组取a个1，第二组取b 个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不克不及取到空，所以添加2块板设取到第10b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0.。
排列组合 插空法模型(原卷版)
专题12 插空法模型【方法技巧与总结】插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n 个不同的元素排成一排，其中k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+）．求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共n k -个排成一排，其排列方法有k n k n A --种；②然后将要求两两不相邻的k 个元素插入1n k -+个空隙中，相当于从1n k -+个空隙中选出k 个，分别分配给两两不相邻的k 个元素，其排列方法有：k k n A 1+-种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有1n k k n k n k A A ---+⋅种． 【典型例题】例1．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ）A ．12种B ．48种C ．72种D ．120种例2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ）A ．从六门课程中选两门的不同选法共有30种B ．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种C ．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种D ．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种例3．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？A ．72B ．36C ．24D ．12例4．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.1415926π 3.1415927<<，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）A ．24个B ．36个C ．72个D ．60个例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ）A ．1440B ．2400C ．14400D ．86400例6．（2023·全国·高三专题练习）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）A ．622622A A A B ．6262A A C ．622672A A A D ．622662A A A例7．（2023·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ）A ．72B ．48C ．36D ．24例8．（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（ ）A ．24B ．48C ．144D ．240例9．（2023·全国·高三专题练习）志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）A ．240种B ．408种C ．1092种D ．1120种例10．（2023·全国·高三专题练习）第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕．带着“一起向未来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的2名男老师，2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作，每人服务1天，如果2名男老师不能安排在相邻的两天，2名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（ ）A ．120种B ．96种C ．48种D ．24种例11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（ ）A ．7377A A B ．3636A A C ．3133A A D ．6367A A例12．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（ ） A ．48B ．72C ．54D ．36例13．（2023·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种例14．（2023·高二课时练习）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．24例15．（2023·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式在北京鸟巢举行，小明一家五口人观看开幕式表演，他们一家有一排10个座位可供选择，按防疫规定，每两人之间必须至少有一个空位.现要求爷爷与奶奶之间有且只有一个空位，小明只能在爸爸妈妈中间且与他俩各间隔一个空位，则不同的就座方案有___________种.例16．（2023·上海·高三专题练习）已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有___________种（用数字作答）例17．（2023·全国·高三专题练习）“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和2个视频，一位学员准备学习这2篇文章和这2个视频，要求这2篇文章学习顺序不相邻，则不同的学法有________种．（用数字作答）例18．（2023·高三课时练习）已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有______例19．（2023·全国·高三专题练习）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_____．例20．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.。
插空法解排列组合题
插空法解排列组合题曾安雄插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。
下面举例说明。
一.数字问题例1.把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有二.节目单问题例2.在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：若直接解答则较为麻烦。
故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。
三.关灯问题例3.一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。
四.停车问题例4.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。
所以共有种方法。
五.座位问题例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。
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*作者：角狂风*
作品编号：1547510232155GZ579202
创作日期：2020年12月20日
实用文库汇编之插空法解排列组合题
曾安雄
插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。
下面举例说明。
一. 数字问题
例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？
解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有
二. 节目单问题
例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：若直接解答则较为麻烦。
故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后
一个节目去插九个空位有种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。
三. 关灯问题
例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。
四. 停车问题
例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2
辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种
方法。
所以共有种方法。
五. 座位问题
例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？
解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。
作者：角狂风
作品编号：1547510232155GZ579202
创作日期：2020年12月20日。