集合的划分

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集合的划分与覆盖

1. 集合的划分

Def (1) (2) (3) 例1-53 设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划分分别为:

1 {{a, b, c}}, 2 {{a, b},{c}}, 3 {{a, c},{b}}, 4 {{b, c},{a}}, 5 {{a},{b},{c}}.

3. 集合的基数有限集合的基数就是的元素个数. 借助于集合对等概念, 可以将其扩展到无限集合. Def 若集合A和B对等, 则称这两个集合的基数(cardinality)相同. |A|.
• | N |然数集合N对等的集合称为可列集合(countable set).
1.集合对等 Def A ~ B: 存在双射f : A B.

N ~ E. Z~N? (0, 1) ~ R. N ~ N N. Theorem 1-28(对等的性质) (1) A ~ A. (2) A ~ B B ~ A. (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.

取 r 0.b0b1b2 ...bn ... :
1, ann 1 bn , n 0,1,2,... 3, ann 1

6. 基数的比较 Def 给定集合A和B, 若存在A到B的单射, 则称A的基数小于等于B的基数, 记为|A| |B|. 若进一步, 不存在A到B的双射, 则称A的基数小于B的基数, 记为|A| < |B|. 由定义易知, 若存在B到A的满射, 则|B| |A|. 显然, 0 . Problem 是否存在集合A, 满足 0 | A | ? (著名的连续统假设?!)

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念，它是由一些确定的事物构成的整体。

在数学中，集合有着丰富的应用和理论基础，下面将从集合的定义、表示、运算等方面进行全面总结。

一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总和。

用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

如果元素x属于集合A，我们用x∈A来表示。

如果元素y不属于集合A，我们用y∉A 来表示。

二、集合的表示1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}括起来。

例如，集合A={1,2,3,4}表示A为包含有元素1、2、3、4的集合。

2. 描述法：通过给出满足某个条件的元素来表示集合。

例如，集合B={x|x是正整数且x<5}表示B为包含小于5的正整数的集合。

三、集合的运算1. 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示共同属于A和B的元素组成的集合。

2. 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B中所有元素组成的集合。

3. 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

4. 互斥：如果集合A和集合B没有共同元素，则称A和B互斥。

5. 子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，表示为A⊆B。

6. 相等：如果集合A和集合B互为子集，则称A与B相等，表示为A=B。

四、集合的性质1. 空集：不含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

2. 等价类：将集合中的元素划分为若干等价类，每个类都满足某个特定的条件。

3. 无穷集合：包含无限多个元素的集合，例如自然数集合N、整数集合Z等。

五、集合的应用集合在数学中广泛应用于各个领域，特别是在概率论、统计学和离散数学中有着重要的作用。

在实际生活中，集合也常用于对事物进行分类、归纳和分析。

六、集合的补充除了上述基本的集合概念和运算外，还有一些补充的概念：1. 有限集合：只包含有限个元素的集合。

2. 无限集合：包含无限个元素的集合。

集合的交集、并集与补集

集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。

在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。

这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。

本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。

一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。

记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。

如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。

交集的定义可以扩展到多个集合之间。

对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。

交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。

假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。

因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。

二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。

记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。

如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。

并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。

对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。

并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。

集合划分

集合划分维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索把一个集合划分成6 块的欧拉图表示。

在数学中，集合X 的划分是把X 分割到覆盖了X 的全部元素的不交叠的“部分”或“块”或“单元”中。

更加形式的说，这些“单元”关于被划分的集合是既全无遗漏又相互排斥的。

目录[隐藏]1 定义2 例子3 划分和等价关系4 注解5 引用6 参见[编辑]定义集合X 的划分是X 的非空子集的集合，使得所有X 的元素x 都精确在这些子集的其中一个内。

等价的说，X 的子集的集合P 是X 的划分，如果没有P 的元素是空集。

(NB - 某些定义不需要这个要求)P 的元素的并集等于X。

(我们称P 的元素覆盖X。

)P 的任何两个元素的交集为空。

(我们称P 的元素是两两不相交。

)P 的元素有时叫做划分的块或部分。

[1]当我们说“集合”这个概念时，划分的思想已经存在了。

当我们说给定一个集合时，也就给定了该集合的补集。

一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。

因此说上面的定义是再次划分的定义。

可以说划分和定义是一个概念。

原始定义也就是初始划分。

原始定义和公理又是一个概念。

给定一个公理也就是给定一个划分。

[编辑]例子所有单元素集合{x} 都有精确的一个划分就是{ {x} }。

对于任何集合X，P = {X} 是X 的一个划分。

空集有精确的一个划分，就是没有块的划分。

对于集合U 的任何非空真子集A，A 和它的补集一起是U 的一个划分。

如果我们不使用前面定义中的公理1，则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。

集合{ 1, 2, 3 } 有五个划分。

{ {1}, {2}, {3} }，有时指示为1/2/3。

{ {1, 2}, {3} }，有时指示为12/3。

{ {1, 3}, {2} }，有时指示为13/2。

{ {1}, {2, 3} }，有时指示为1/23。

{ {1, 2, 3} }，有时指示为123。

注意如果我们使用了前面定义中的公理1，则{ {}, {1,3}, {2} } 不是一个划分(因为它包含空集)；否则它是{1, 2, 3} 的一个划分。

集合的划分

集合的划分：，都是的子集，并且 12,,.......n A A A S （1） 12......n A A A S =U U （2）,1i j A A i j n =∅≤<≤I则称是集合的一个划分12,,.......n A A A S 一、划分的存在性例1、能否给出集合{}1,2......,2005的一个划分，使得的内部各元素之和恰成等差数列1234,,,A A A A 123,,,A A A A 4分析:从假设存在开始讨论，从而推出矛盾或性质解 ;若存在符合条件的， 1234,,,A A A A 不妨设内元素之和分别为 1234,,,A A A A ,,2,3a a d a d a d +++ 则2312.....2005a a d a d a d ++++++=+++ 奇数，矛盾故这样的划分不存在。

4610032005a d +=×例2、 S 为个正实数组成的集合对得每非空子集n S A ，令()f A 为A 的所有元素的和证明集合{}(),f A A S A ⊆≠∅，可以划分为个子集，使得每个子集中最大数与最小数的比小于2n 分析：设 {}1212,,......,,......n n S a a a a a a =<<则()f A 最小值为，最大值为1a 12......n a a a ++对称原则平均分：证明很麻烦分点：11212,,......,......n a a a a a a +++ 1S a =1{}1212,,......,,......n n S a a a a a a =<< 证明：设{}1212,,......,,......n n S a a a a a a =<<1，令 1S a ={}12112()......()......i i S f A a a a f A a a a −=++<≤++i令： (max)(min)i i i S S λ=显然112λ=<2i ≥时 1212 (i)i i a a a a a a λ1−++<++若12......i a a a a 1i −≤++ 则2i λ< 若12......i i a a a a 1−>++ 12121............12i i i i ia a a a a a a a λ−++++==+<例3、设整数，3n >1(1)6k n n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦n 集合x 由1(12n n )+个元素构成，已知n x 中有个元素是蓝色的，k 个元素时红色的，其他元素是白色的，证明k n x 可以划分为使恰有个元素12,,......n A A A m 1,2,......,m n =，且的所有元素同色m A 分析：真正起作用的时元素个数所以问题转化为;可以将1，这几个数用红蓝白三色来染，使得蓝色数和为，红色为，其中,2,......,n k k 1(1)6k n n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦解：数学归纳法：不确定(1n n ⇒+))?k ⇒为避免这种情况，令(6n n ⇒+归纳假设和递推：假设时n s =命题成立，即1对染色，可使蓝色数目和为k ，红色数目和为k ，其中,2,......,s 11(1)(1)66k n n s s ⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当6n s =+时，要证1,2,......,,1,2,3,4,5,6s s s s s s s ++++++可以三染色，使得蓝色数目和为'1(6)(7)6k s s ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，红的数目和为k ，只需证可对三染色，是蓝色数目和为，红色数目和也为1,2,3,4,5,6s s s s s s ++++++'k k −'k k −而'11(6)(7)(1)2766k k s s s s s ⎡⎤⎡⎤−=++−+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因此，只需将3,4s s ++染色为蓝色，将2,5s s ++染为红色，将染为白色即可1,6s s ++故原命题得证回顾关键：简化问题避开困难。

集合的分划与子集族

集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲）一、集合的划分例1、将集合{}1,2,,1989L 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i =L 使得：（1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。

例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n =例3、设集合{}1,2,,A m =L ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A L ，一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集例5、设集合12,,,n A A A L 和12,,,n B B B L 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥U ，求证：22n M ≥例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A =U UL U ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈L ，满足11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤-例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k +=L ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。

证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合；（2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M ==L ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==∅U I 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数二、C 族例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素例11、在某次竞选中各政党作出()0n n >种不同的诺言，有些政党可以作某些相同的诺言，现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言，但没有两个政党的诺言完全相同，求证：政党个数12n -≤例12、设正整数5n ≥，n 各不同的正整数12,,,n a a a L 有下列性质：对集合{}12,,,n S a a a =L 的任何两个不同的非空子集A 和B ，A 中所有数的和与B 中所有数的和都不会相等，在上述条件下，求12111na a a +++L 的最大值三、求解子集族例13、已知集合{}1,2,,10A =L ，求集合A 的具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2各元素，且每个子集中的任何两个元素的差的绝对值大于1例14、对于正整数2n ≥，如果存在集合{}1,2,,n L 的子集族12,,,n A A A L 满足（1）,1i i A i n ∉≤≤；（2）若{},,1,2,,i j i j n ≠∈L ，则j i i A j A ∈⇔∉；（3）任意{},1,2,,i j n ∈L ，i j A A ≠∅I ，则称n 是“和谐数”证明：（1）7是和谐数；（2）除2,3,4,5,6外，其余的n 都是和谐数例15、集合{}*1,2,,6,X k k N =∈L ，试作出X 的三元子集族A ，满足：（1）X 的任一二元子集至少被族A 中的一个三元子集包含；（2）26k =A四、有关子集族的最值问题例16、集合{}0,1,2,,9A =L ，{}12,,,k B B B L 是A 的一族非空子集，当i j ≠时，i j B B I 至多有两个元素，求k 的最大值例17、设{}0,1,2,,29A ⊆L 满足：对任何整数k 及A 中的任意数,a b （,a b 可以相同），30a b k ++均不是两个相邻整数之积，试确定所含元素个数最多的A例18、设{}1,2,,1997A =L ，对A 的任意一个999元子集X ，若存在,x y X ∈，使得x y <且x y ，则称X 为好集，求最大自然数()a a A ∈，使得任一含有a 的999元子集都为好集集合的分划与子集族1、已知集合{}1,2,,31,3A n n =-L ，可以分为n 个互不相交的三元组{},,x y z ，其中3x y z +=，则满足上述要求的两个最小的正整数n =2、设S 是一个有6个元素的集合，选取S 的两个子集（可以相同），使得它们的并集是S ，选取的顺序无关紧要，如{}{},,,,,,a c b c d e f 与{}{},,,,,,b c d e f a c 表示同一种取法，这样的取法有种3、设集合{}1,2,,9,A B A B ==∅U L I ，求证：在A 或B 中含有三个元素,,x y z ，使得2x y z +=4、已知集合M 是{}1,2,,2008A =L 的子集，且M 中任一两个元素之和均不能被3整除，求集合M 中元素个数的最大值5、试证：对于每个整数1r >，都能找到一个最小的整数()1h r >，使在集合(){}1,2,,h r L 分成r 组的任何分划中，都存在整数0,1a x y ≥≤≤，使数,,a x a y a x y ++++含于分划的同一组中6、已知这个空间被分成互不相交的5个非空集合，求证：必有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点7、{}1,2,,X n =L ，,,A B C 是X 的分划，即A B C X =U U ，并且,,A B C 两两的交集都是空集，如果,,A B C 中各取一个元素，那么每两个的和都不等于第三个，求()max min ,,A B C8、（1）证明：正整数集*N 可以表示为三个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2m n -=或5，则,m n 属于不同的集合（2）证明：正整数集*N 可以表示为四个彼此互不相交的集合的并集，使得：若*,m n N ∈，且2,3m n -=或5，则,m n 属于不同的集合，并说明此时将*N 表示为三个彼此互不相交的集合的并集时，命题不成立9、确定所有的正整数n 使得集合{}1,2,,n L 可以分成5个互不相交的子集，每个子集中元素之和相等10、设k 为正整数，k M 是22k k +与223k k +之间（包括这两个数在内）的所有整数组成的集合，能否将k M 拆分为两个不相交的子集,A B ，使得22x A x B x x ∈∈=∑∑11、给定正整数3n ≥，求具有下列性质的正整数m 的最小值：把集合{}1,2,,S m =L 任意分成两个互不相交的非空子集的并集，其中必有一个子集内含有n 个数（不要求它们互不相同）：12,,,n x x x L ，使得121n n x x x x -+++=L12、正整数4n ≥具有下列性质：把集合{}1,2,,n S n =L 任意分成两个互不相交的子集，总有某个子集，它含有三个数,,a b c （允许a b =），使得ab c =，求这样的n 的最小值13、设S 为n 个正实数组成的集合，对S 的每个非空子集A ，令()f A 为A 中所有元素之和，求证：集合(){},f A A S A ⊆≠∅可以拆分成n 个互不相交的子集，每个子集中的最大数与最小数之差为214、试求所有正整数k ，使集合{}1990,1991,,1990M k =+L 可以分解为两个互不相交的子集,A B ，且使两个集合中的元素之和相等15、给定集合{}121993,,,S Z Z Z =L ，其中121993,,,Z Z Z L 为非零复数（可视为平面上非零向量）．求证：可以把S 中元素分成若干子集，使得（1）S 中每个元素属于且仅属于一个子集；（2）每一子集中任一复数与该子集所有复数之和的夹角不超过90°；（3）将任二子集中复数分别作和，所得和数之间夹角大于90°．116、设,,r s n 都是正整数，并且r s n +=，求证：集合()12,,,r n n n A r r r ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L ， ()12,,,s n n n B s s s ⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭L 构成{}1,2,,2N n =-L 的分划的充要条件是r 和s 都与n 互质17、设集合{}1,2,,21A n =+L ，求一个包含元素最多的集合A 的子集B 使得B 中任意三个元素a ，b ，c 都有a b c +≠18、集合{}0,1,2,,9A =L 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有个19、设集合{}1,2,,2008A =L ，现对A 的任一非空子集X ，令X α表示X 中最大数与最小数之和，则所有这样的X α的算术平均数为20、集合{}1,2,,n L 的所有子集中全部元素之和的总和是21、如果一个正整数集合中没有3个数是两两互质的，则称之为“和谐”的，问从1到16的整数集中“和谐”的子集的元素的最大数目是多少22、设S 是集合{}1,2,,9L 的子集，且S 中任意两个不同的数作和，所得的数两两不同，求 {}max S23、设{}1,2,,50A =L ，求最小正整数n 使得A 中的每个n 元子集中都有3个数能作为直角三角形的三边长24、设3p ≥为质数，考虑集合{}1,2,,2p L 满足以下两个条件的子集A ：（1）A 恰有p 个元素；（2）A 中所有元素之和可被p 整除25、设2r ≥是一个固定的正整数，F 是一个无限集族，且每个集合中含有r 个元素，若F 中的任意两个集合的交集非空，求证：存在一个具有1r -个元素的集合与F 中的每一个集合的交集非空26、设2,n n N ≥∈，S 是一个n 元集合，求最小的正整数k ，使得存在S 的子集12,,,k A A A L 具有如下性质：对S 的任意两个不同元,a b ，存在{}1,2,,j k ∈L ，使得{},j A a b I 为S 的一元子集27、{}1,2,,50A =L ，求最小的正整数k ，使A 的每个k 元子集中都有两个数a b ≠使得()a b ab +28、S 是一个n 元集合，S 中最多有多少个这样的三元子集，使得其中任意两个三元子集都恰好有一个公共元29、集合{}1,2,,15S =L ，从S 中取出n 个子集12,,,n A A A L 满足下列条件：（1）7i A =；（2）3,1i j A A i j n ≤≤<≤I ；（3）对S 的任意三元子集M ，都存在某个,1,k A k n ≤≤使得k M A ⊂，求这样一组子集的个数n 的最小值30、设{}1,2,,2002A ⊆L ，对任意,a b A ∈（,a b 可以相同）总有ab A ∉，求A 的最大值31、称子集{}1,2,,11A M ⊆=L 为好的，如果它具有下述性质：“如果2k A ∈则21k A -∈且21k A +∈”（空集和M 都是好的），M 有多少个好子集32、n 为给定的正整数，n D 为235n n n 的所有正因数组成的集合，n S D ⊆，且S 中任一数都不能整除S 中另一数，求S 的最大值33、{}1,2,,2008A ⊆L ，且A 具有如下性质：A 中任两个不同元素之和不被7整除，求A 的最大值34、1230,,,A A A L {}1,2,,2003⊆L 的子集，且660i A ≥，证明：存在130i j ≤<≤，230i j A A ≥I35、{}1,2,,2000A ⊆L ，且A 中任意两数的差不等于4也不等于7，求A 的最大值36、已知12,,,n A A A L 满足：（1）30i A =；（2）1,1i j A A i j n =≤<≤I ；（3）12n A A A =∅I I L I ，求使这样一组集合存在的最大的正整数n37、设1221,,,n A A A +L 是B 的一族子集且满足条件：（1）2i A n =；（2）1,121i j A A i j n =≤<≤+I ；（3）B 中每个元素至少属于两个子集,,121k l A A k l n ≤<≤+，试问：对怎样的*n N ∈,可以将B 中每个元素贴上一张写有0或1的标签，使得每个i A 中恰有n 个元素贴有标签038、设{}1,2,,A S n ⊆=L ，A k =，()()*2,11k m N n m C ∈>-+，则存在S 中的元素1,,m t t L ，使得{},1,2,,j j A x t x A j m =+∈=L 中任意两个的交集为空集。

集合的等价关系和划分

集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。

本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。

等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。

对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。

2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。

3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。

等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。

每个等价类包含具有相同等价关系的元素。

等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。

划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。

对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。

2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。

划分可以通过等价关系来构建。

对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。

那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。

应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。

它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。

在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。

在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。

在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。

综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。

结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。

等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。

百练-集合的划分

百练-集合的划分描述把⼀个集A(本题中的集合均不含重复元素)分成若⼲个⾮空⼦集，使得A中每个元素属于且仅属于⼀个⼦集，那么这些⼦集构成的集合称为A 的⼀个划分。

⽐如A={1，2，3}，那么{ {1}，{2 ，3} }以及{ {1}，{2}，{3} } 都是A的划分。

现在给定⼀个整数n，我们希望知道包含n个元素的集合有多少不同的划分。

当n=3的时候，仍然考虑集合{1，2，3}，它的所有划分如下{ {1} ， {2} ， {3} }{ {1 ， 2} ， {3} }{ {1 ， 3} ， {2} }{ {1} ， {2 ， 3} }{ {1 ， 2 ， 3} }只有5种，但随n的增加，划分⽅法的个数会以指数速度增加。

⽐如n=4的时候，就有15种⽅法，考虑集合{1，2，3，4}，划分⽅式如下{ {1}，{2}，{3}，{4}}{{1}，{2}，{3，4}}{{1，2}，{3}，{4}}{{1，3}，{2}，{4}}{{1，4}，{2}，{3}}{{1}，{2，3}，{4}}{{1}，{3}，{2，4}}{{1，2}，{3，4}}{{1，3}，{2，4}}{{1，4}，{2，3}}{{1}，{2，3，4}}{{2}，{1，3，4}}{{3}，{1，2，4}}{{4}，{1，2，3}}{{1，2，3，4}}当n>15的时候，划分⽅法数将超过32位整数所能表⽰的范围，我们希望你的程序能计算出n<=15的时候，包含n个元素的集合的划分⽅法的个数输⼊⼀个整数n（0<=n<=15，n=0的时候认为有⼀种划分⽅法）输出包含n个不同元素的集合的划分⽅法的个数样例输⼊315样例输出51382958545提⽰递归公式,设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个⾮空⼦集组成的集合。

F(n,m) = 1, where n=0, n=m, n=1, or m=1F(n,m) = 0, where n<m否则F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)例如:考虑3个元素的集合，可划分为① 1个⼦集的集合：{{1，2，3}}② 2个⼦集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}③ 3个⼦集的集合：{{1}，{2}，{3}}∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;如果要求F(4,2)该怎么办呢？A.往①⾥添⼀个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}B.往②⾥的任意⼀个⼦集添⼀个4，得到{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7解题思路：递归。

集合的划分名词解释

集合的划分名词解释在数学中，集合是一个基本的概念，用于描述具有某种共同特征的对象的整体。

然而，并非所有的集合都是均匀的、没有内在结构的。

有时，人们需要将一个集合划分为不同的子集，以便更好地理解和分析集合中的元素。

这种操作被称为集合的划分。

集合的划分是指将一个集合分割成多个互不相交的子集，这些子集的并集等于原集合，并且它们的交集为空集。

换句话说，划分是将一个整体切割成若干个部分，每个部分都是独立的、可数的，并且所有部分的结合能够完全覆盖整个整体。

划分可以用图形化的方式来展示。

假设我们有一个集合A，包含了元素a、b、c、d、e，我们可以将集合A划分为三个子集，分别是{a, b}、{c, d}和{e}。

这样的划分可以用一个图示来表示，如下所示：{a, b} {c, d} {e}\ / /\ / /\ / /A在这个图示中，每一个大的方框代表一个集合，每一个小的方框代表集合中的一个子集。

注意，这些子集之间没有交集，且并集等于原集合A。

集合的划分在数学中应用广泛，尤其在集合论、代数学、离散数学和计算机科学等领域中起着重要的作用。

它帮助我们研究和探索集合的内在结构、性质和关系。

集合的划分有一些重要的特性和性质。

首先，划分中的每个子集都是互不相交的。

这意味着任意两个子集之间的交集为空集。

其次，划分中的每个子集不为空，即每个子集至少包含一个元素。

最后，划分中的子集的并集等于原集合。

这些特性使得划分成为一个有效的工具，可以对集合中的元素进行分类和组织。

在日常生活和实际问题中，集合的划分也经常被使用。

以音乐为例，我们可以将音乐作品按照风格划分为古典音乐、流行音乐和民族音乐等子集。

而在餐厅的菜单上，食物种类的划分也是常见的，例如将主菜、甜品和饮料分开列示。

总结而言，集合的划分是将一个集合分割为多个互不相交的子集的操作，以帮助我们更好地理解和分析集合中的元素。

它在数学研究和实际问题中都是一种重要的工具，通过图形化的方式展示了集合内在的结构和关系。

六、集合的划分与覆盖

(1)在其中任取两个元素 i∩ Bh，Aj∩ Bk，考察 i∩Bh )∩(Aj∩Bk), 在其中任取两个元素A 考察(A 在其中任取两个元素 i. 若i≠j且h=k，且，因为A 因为 i∩Aj= ∅, 故(Ai∩ Bh )∩(Aj∩ Bk) ＝(Ai∩Aj)∩(Bh ∩Bk) = ∅∩(Bh ∩Bk ) =∅ ∅ ii. 若i≠j且h≠k ，且因为A 因为 i∩Aj= ∅, Bh∩Bk= ∅, 故(Ai∩ Bh )∩(Aj∩ Bk) ＝(Ai∩Aj)∩(Bh ∩Bk) = ∅∩∅ = ∅ ∅ iii. 若i=j且h≠k，且，相同。情况与 i 相同。
三.加细加细
定义：给定X的任意两个划分的任意两个划分{A 定义：给定的任意两个划分 1, A2, ……Ar }和和 { B1, B2, ……Bs }，若对于每一个 j均有 k ，使得每一个A ，若对于每一个均有B Aj ⊆ Bk，则{A1, A2, ……Ar }称为 B1, B2, ……Bs } 的加细。称为{ 加细。称为定理：任何两种划分的交叉划分都是原来划分的一种加细。定理：任何两种划分的交叉划分都是原来划分的一种加细。证明设{A1, A2, ……Ar }和{ B1, B2, ……Bs }的交叉划分为的交叉划分为T, 和的交叉划分为中任意元素A 必有A 对T中任意元素 i∩ Bj，必有 i∩ Bj ⊆ Ai 和 Ai∩ Bj ⊆ Bj 中任意元素是原划分的加细。故T是原划分的加细。是原划分的加细作业：作业：P130 (2) (5)
二. 交叉划分
定义：是同一集合A的两种划定义：若{A1,A2,…,Ar}与{B1,B2,…,Bs}是同一集合的两种划与是同一集合分，则其中所有Ai ∩ Bj ≠ ∅组成的集合，称为是原来则其中所有组成的集合，两种划分的交叉以分割成{植物动物}，植物，例如：所有生物的集合，可以分割成植物，动物，也可以史前生物，史前植物，分割成{史前生物史后生物}，则它们的交叉划分为{史前植物分割成史前生物，史后生物，则它们的交叉划分为史前植物，史后植物，史前动物，史后动物。史后植物，史前动物，史后动物}。定理设{A1,A2,…,Ar}与{B1,B2,…,Bs}是同一集合的两种划分，与是同一集合X的两种划分，是同一集合的两种划分其交叉划分亦是原集合的一种划分。则其交叉划分亦是原集合的一种划分。证明：若题设的交叉划分是：证明：若题设的交叉划分是： {A1∩ B1，A1∩ B2，…，A1∩ Bs，，， A2∩ B1，A2∩ B2，…，A2∩ Bs，…，，， Ar∩ B1，Ar∩ B2，…，Ar∩ Bs} ，

集合的所有知识点总结

集合的所有知识点总结一、概述集合是数学中的一个基本概念，也是其他学科中常用的工具。

简单来说，集合是一组对象的总体。

这些对象可以是任何东西，比如数字、字母、符号、人、花、树等等。

在集合中，每个对象被称为元素。

数学符号“∈”表示一个元素属于某个集合，而“∉”则表示一个元素不属于某个集合。

集合可以进行四种基本操作：并集、交集、差集和补集。

并集是指两个集合中所有元素的总体。

交集是指两个集合中共同拥有的元素总体。

差集是指一个集合中不属于另一个集合的元素总体。

补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的总体，也可以看作相对于某一个全集的差集。

集合的数量用基数来表示，可以用各种方法进行计算。

集合可以划分为有限集和无限集。

有限集指元素数量有限的集合，而无限集则是元素数量无限的集合。

集合还可以用各种方法进行分类，比如空集、单元素集、相等集、真子集等。

二、基本操作1.并集并集是指两个或多个集合中所有元素的总体。

符号“∪”表示并集操作。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2.交集交集是指两个或多个集合中共同拥有的元素总体。

符号“∩”表示交集操作。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3.差集差集是指一个集合中不属于另一个集合的元素总体。

符号“\”表示差集操作。

例如，设A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。

4.补集补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的总体，也可以看作相对于某一个全集的差集。

符号“ᶜ”表示补集操作。

例如，设A={1,2,3}，全集为Z={1,2,3,4,5,6}，则Aᶜ={4,5,6}。

三、基数基数表示集合中元素的数量，也称为集合的势或大小。

符号“|#|”表示基数。

例如，设A={1,2,3}，则|#A|=3。

四、划分集合可以划分为有限集和无限集。

有限集指元素数量有限的集合，而无限集则是元素数量无限的集合。

数学划分与分划

数学划分与分划
在数学中，术语“划分”与“分划”通常指的是集合的分割或划分。

这两个概念都涉及将一个集合拆分成若干互不相交的子集。

1. 划分（Partition）
在集合理论中，划分是指将一个集合分割成若干个非空的互不相交的子集，这些子集的并集等于原始集合。

形式化地说，对于集合X 的一个划分P，满足以下条件：
1.对于每个子集A属于P，A不为空。

2.所有的子集A属于P互不相交，即A和B（A和B属于
P，A不等于B）的交集为空集。

3.所有子集的并集等于原始集合X，即X=⋃A∈PA
举例来说，对于集合X = {1, 2, 3, 4}，其中{{1, 2}, {3}, {4}}是X的一个划分。

2. 分划（Equivalence Partition）
在软件测试等领域，分划指的是将输入域划分成不同的等价类，以便更有效地测试程序的各个方面。

分划通常是为了检查程序在不同条件下的行为是否一致。

在这个上下文中，分划与划分的概念密切相关。

例如，对于一个接收正整数作为输入的程序，可以将输入域分划为奇数和偶数两个等价类。

在每个等价类中，选择一个典型的值进行测试，以确保程序在不同的输入条件下能够正确运行。

总体而言，无论是划分还是分划，都涉及将一个整体分割成若干部分，以更好地理解和处理问题。

在集合理论和软件测试等领域，这两个概念有不同的用法和含义。

高一上册数学各章节知识点

高一上册数学各章节知识点一、开集与闭集在高一数学课程中，我们首先学习了集合的概念。

集合是由元素所构成的整体。

根据元素与集合之间的关系，我们可以将集合划分为开集和闭集。

1. 开集：如果一个集合中的每个元素都具有特定的性质，并且该性质对集合外的任何元素都不成立，那么这个集合就是一个开集。

例如，以点A为圆心，以r为半径所构成的圆内部的所有点构成的集合就是一个开集。

因为对于圆外的任意一点B来说，点B不在圆内部，故不满足该集合的性质。

2. 闭集：如果一个集合中包含了它的所有极限点，那么这个集合就是一个闭集。

例如，假设有一个数列{an}={1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}，其极限为0。

那么这个数列所构成的集合{1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ,0}就是一个闭集，因为它包含了自身的极限点0。

二、函数与方程函数与方程在数学中是非常重要的概念，它们是解决各种数学问题的基础。

1. 函数：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个自变量与一个或多个因变量之间建立起映射关系。

函数通常用f(x)或y来表示。

例如，y = 2x + 1就是一个函数，其中x是自变量，y是因变量，2x + 1就是函数的表达式。

2. 方程：方程是一个等式，其中包含有未知数，并且要求找到能够使等式成立的未知数的取值。

方程通常用字母表示。

例如，2x + 3 = 7就是一个方程，其中x是未知数，要求找到使得等式成立的x的取值。

三、数列与数列求和数列是一系列按照特定规律排列的数，它们在高一数学课程中经常出现。

数列求和则是计算数列中所有数值的和。

1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

通常用a1表示首项，d表示公差。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其中首项a1=1，公差d=2。

2. 等差数列的求和公式：等差数列的求和可以利用求和公式进行计算。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，其中首项a1=1，公差d=2，n表示项数，则该等差数列的求和公式为Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)。

第5讲集合的基本划分(数学竞赛)

第5讲集合的基本划分[知识点金]集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法. 覆盖若把一个集合A 分成若干个叫做分块的非空子集，使得A 中的每个元素至少属于一个分块，这些分块的全体叫做A 的一个覆盖，即是：设A 为非空集合,S={}，其中A,(i=1,2,...,m)且=A则集合S 称作集合A 的覆盖.划分给定集合A 的一个覆盖S ，若A 中的每一个元素属于且仅属于S 的一个分块，那么S 称作是A 的一个划分.即是：若S 是集合A 的覆盖，且满足=,这里(i j)则称S 是A 的划分.抽屉原则抽屉原则的常见形式一、把n+k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体.二、把mn+k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体.三、m 1+m 2+…+m n +k （k ≥1）个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m 1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m 2+1个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入了m n +1个物体.四、把m 个物体以任意方式全部放入n 个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m 表示n 整除m ），一定存在一个抽屉中至少放入了nm个物体；②当n 不能整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了[nm]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）.五、把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素. 容斥原理基本形式()n n nk j i k jini j i jii n A A A A AA AA A A A A ⋂⋂-+-⋂⋂+⋂-=⋃⋃+<<≤=≤<≤∑∑∑211111211||其中|A|表示集合A 中元素的个数。

数学的集合概念

数学的集合概念集合是数学中一个基本且重要的概念。

它是一种将一组元素汇集在一起的方式，可以用来表示一个整体的概念。

本文将从集合本身的概念和性质、集合的分类、集合之间的关系、集合的基本运算、集合的函数和映射、集合的逻辑和推理以及集合的应用等方面来介绍数学的集合概念。

1. 集合本身的概念和性质集合是由一组特定元素组成的整体。

这些元素可以是任何东西，例如数字、点、图形等。

集合中的元素可以是任意的，既可以是有限的，也可以是无限的。

集合本身具有一些性质，例如封闭性、结合性、交换性等。

2. 集合的分类根据集合中元素的特点，可以将其分为不同的类型。

例如，空集是不包含任何元素的集合；单元集只包含一个元素的集合；自然数集是包含所有自然数的集合；实数集是包含所有实数的集合等。

此外，还可以根据集合的其他性质对其进行分类，例如基数、序数、域、单调性、完备性等。

3. 集合之间的关系集合之间存在一定的关系，这些关系可以通过集合的基本运算得到。

例如，两个集合的交集是由两个集合中共有的元素组成的集合；两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合；补集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合等。

4. 集合的基本运算集合的基本运算是数学集合中重要的概念之一。

常见的集合基本运算包括交集、并集、补集、差集等。

这些运算可以用于获取两个或多个集合之间的关系，或者用于对集合进行操作和变换。

在集合的基本运算中，需要注意一些特殊的规则和约定，例如空集和任意集合的交集都是空集，空集和任意集合的并集都是该任意集合等。

5. 集合的函数和映射函数和映射是数学中重要的概念之一，它们可以用于描述两个集合之间的关系。

在数学集合中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的工具。

而映射则是一种将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的方式。

通过函数和映射，我们可以对集合进行各种操作和变换，例如映射可以将一个集合中的每个元素映射为一个平方数，从而得到一个新的集合。

第5讲集合的划分与覆盖

7
的所有不同的划分有: 例设A = {a, b, c}, 则A的所有不同的划分有的所有不同的划分有
π1 ={{a, b, c}},π2 ={{a, b},{c}}, π3 ={{a, c},{b}},π4 ={{b, c},{a}}, π5 ={{a},{b},{c}}.
最小划分最大划分
8
例：设 A={a,b,c,d,e,f,g,h},考虑下列 A 的子集合：考虑下列的子集合：
i∈I j∈J
所以 π 是 A 的一种划分。
10
给定集合A的两种按如上形式定义的划分给定集合的两种按如上形式定义的划分π1, π2，若对于任的两种按如上形式定义的均存在B 意Ai∈ π1，均存在 j ∈π2，使得 Ai Bj，则称划分π1是加细划分。 π2的加细划分。
π2
π1
11
定理：任何两种划分的交叉划分，定理：任何两种划分的交叉划分，都是这两种划分的加细。例
显然?中元素非空对于?中两个不同元素jiaa?和lkba?他们的交为?所有元素的并是aaababajjjiiijijjii?????????????所以?是a的一种划分
§1.5 集合的划分与覆盖
分门别类的思想是我们认知世界的基本方法之一。我们在了解与掌握外部世界时习惯于采用分类处理的办法。集合的分类，即对所处理的对象进行科学分类正是这种思想的体现。
5
设A是任意集合，πP(A)。如果下列3个条件成立：是任意集合，πP(A)。如果下列3个条件成立： P(A) 1) 3) π； φ π； Aj∈ 2) 任意 Ai, Aj∈ π，有 Ai∩Aj =
Ai ∈π
φ;
U Ai = A.
则称π是集合的一种划分的一种划分。则称π是集合A的一种划分。

集合的划分（setsub）

集合的划分（setsub）集合的划分（setsub）题⽬描述设ｓ是⼀个具有n个元素的集合，ｓ＝｛a1，a2，......，an｝，现将ｓ划分成K个满⾜下列条件的⼦集合s1，s2，......，sk，且满⾜：1．si≠φ2．si∩sj＝φ(1≤i，j≤ki≠j)3．s1∪s2∪s3∪...∪sk＝ｓ则称s1，s2，......，sk是集合ｓ的⼀个划分。

它相当于把ｓ集合中的n个元素a1，a2，......，an放⼊k个（0<k≤n<30）⽆标号的盒⼦中，使得没有⼀个盒⼦为空。

请你确定n个元素a1，a2，......，an放⼊k个⽆标号盒⼦中去的划分数s(n，k)。

输⼊⼀⾏，两个整数n、k输出⼀⾏，⼀个整数s(n,k)样例输⼊10 6样例输出22827【分析】我⼀开始觉得这题写个暴搜应该能AC。

然⽽我写了，没过。

可能因为我太弱了，也可能因为今天中午在⾷堂⼲饭没有理同班同学，rp--。

回归正题。

原题写的不太明⽩。

不过看数据点应该是输出划分出的集合个数。

举个例⼦。

当n=5时，k=1-->s(n,k)=1k=2-->s(n,k)=15k=3-->s(n,k)=25k=4-->s(n,k)=10由此可以推出:s(n,k)=s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k).当k=1或k=n时，s(n,k)=1;当n<k或k<0时，s(n,k)=0.1 #include <bits/stdc++.h>2using namespace std;3int s(int a,int b)4 {5if(b<=0||a<=0||a<b)6 {7return0;8 }9if(b==1||b==a)10 {11return1;12 }13return s(a-1,b-1)+s(a-1,b)*b;14 }15int main()16 {17int n,k;18 scanf("%d %d",&n,&k);19 printf("%d",s(n,k)) ;20return0;21 }。

集合的划分

集合的划分与覆盖

集合的全部知识点总结

集合的交集、并集与补集

集合划分

集合的划分

集合的分划与子集族

集合的等价关系和划分

百练-集合的划分

集合的划分名词解释

六、集合的划分与覆盖

集合的所有知识点总结

数学 划分与分划

高一上册数学各章节知识点

第5讲 集合的基本划分(数学竞赛)

数学的集合概念

第5讲 集合的划分与覆盖

集合的划分（setsub）

数学划分与分划

第5讲集合的基本划分(数学竞赛)

第5讲集合的划分与覆盖