相似三角形的定义及判定

27.2.1 相似三角形的判定

第1课时 相似三角形的定义及判定

学习目标

1．了解相似比的定义；(重点)

2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)

3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点) 教学过程

一、情境导入

如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．

二、合作探究

探究点一：相似三角形的有关概念

如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：

(1)△OAC 和△OBD 的相似比；

(2)BD 的长．

解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．

解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与

△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21

； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24

＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 探究点二：平行线分线段成比例定理

【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实

如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.

(1)求CB AB

的值； (2)求AB 的长．

解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58

，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB .

解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53

； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58

，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.

方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．

【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论

如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．

解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC

，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5

，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式． 探究点三：相似三角形的引理

【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似

如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．

解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.

方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．

【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长 如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O . (1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；

(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．

解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.

解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB

.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23

，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；

(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74

EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.

方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．

小试牛刀：

2、如图，已知△ABC 相似于△ACD ，AD=7，BD=2。

（1）求△ABC 和△ACD 的相似比； （2）求AC 的长度。

A

B C

D

三、板书设计

1．相似三角形的定义及有关概念；

2．平行线分线段成比例定理及推论；

3．相似三角形的引理．

教学反思

本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.