教学设计中对”问题“的设计

作业-----《-我在教学设计中对数学“问题”的设计》在1976年，25位国际著名数学家于美国伊利诺斯大学的一次国际会议上提

吃了27个数学问题，围绕着这些问题或猜想的数学活动和攻关，无疑推动着数学科学的发展，可见数学教学的最终落脚点必然是解决数学问题。问题是学习数学的心脏，好的数学问题更是学好数学的灵魂。在中学数学教学中，教师若能自由驾驭教材，随时设计出符合教学要求，切合学生实际的好的数学问题，必将极大地激发学生学习数学的兴趣，如果能够让学生根据自己的数学能力提出有创意的数学问题，那就更能有效地提高他们学习数学、应用数学的能力。

通过本次“有效教学模式”专题的培训学习，使我的保证课堂教学有效性的能力得以提升，学生学习的有效性有了保障，

教学模式从来就是多样化的，但不论何种模式，必须以促进“学生有效学习”为终极目标。下面是我的一节习题课的片段，我的设计意图是“促进学生有效学习，提高用数学意识，提升用所学数学知识提出数学问题，解决实际问题的能力”。我把几个主要问题的设计思想归纳如下：

一、倒推法

这是根据事先想好的答案来设计相应问题的方法，实际上也是一种由答案出题目的方法，用这种方法编造的题目，由于推演的过程不一定是可逆的，其解不一定刚好是预定的结果，要想完全按预定结果编题，就必须在倒推过程中，注意保证处处可逆。

例：请同学设计一道以x=1+ⅰ，y=1—ⅰ为解的二元一次方程组的题。

同学们根据设计要求分析讨论后明确; 因为以x=1+ⅰ，y=1—ⅰ为解的二元一次方程组具有标准形式：

α1﹙1﹢ⅰ﹚﹢β1﹙1﹣ⅰ﹚＝γ1,

｛α2﹙1﹢ⅰ﹚﹢β2﹙1﹣ⅰ﹚＝γ2，所以只要定出α1、α2、β1、β2、γ1、γ2即可。由于这六个参数中，独立的只要四个，任给α1＝1﹢2ⅰ，β1＝2﹢ⅰ，α2＝1﹣2ⅰ，β2＝2﹣ⅰ，代入上式可算出γ1＝2﹢2ⅰ，γ2＝4﹣4ⅰ。于是一道以预先给定的1±ⅰ为解的二元一次方程组的题就设计出来了。然后请其他各组同学展示自己组的设计问题并解答。

二、换元法

这是一种对已知命题中的变量进行代换来设计问题的方法，常用的代换方法

为简单的代数代换和三角代换。一般地讲，由这种方法设计出来的题目，总是

比较灵活、新颖、复杂。题目往往发生了质的区别。

例课堂上和同学们一起对固定的抛物线方程y’²＝4x’作代换：令x’＝x﹣α，y’＝y－α，（α∈R），得一变动的抛物线方程﹙y－α﹚²＝4﹙x－α﹚，其顶点坐标为﹙α，α﹚，显然分布在定直线y＝x上，由于抛物线系﹙y－α﹚²＝4﹙x－α﹚﹙α∈R﹚可由已知抛物线

y²＝4x“沿直线y＝x平移”产生，于是同学们根据平移的性质，小组讨论，总结。一道综合性的解析几何题就设计出来了：

“已知抛物线系x＝¼﹙y²－2αy＋α²＋4α﹚（α∈R），证明它们的顶点分布在一条直线l上，并且与抛物线系相交又与l平行的直线被此抛物线系戴出的弦长相等”。

三、变换命题法

根据四个命题的概念，每一个数学命题都可以变出另外三个题目来：视原题目为原命题，则另外三个题目就分别是原命题的逆命题，否命题和逆否命题。具有特殊重要意义的逆命题，如果它成立，就得到了一个与原问题完全不同的新问题了，另外，对同一个问题，还可以通过改变其前提结论，或增加、减少它们的条件，或对其进行推广、延伸，得到一系列新问题。

例同学们知道平面上的四边形，若四个内角均为90º°，则此四边形必为矩形，现在把前提扩大一下，让我们在空间来重新考虑这个问题。若空间里的四边形ABCD满足∠DAB ＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，看看ABCD是否还是矩形。

c

A D E

B

图 2

这里问题的关键在于，此时，A、B、C、D、是否共面，若共面，结论仍为矩形；若不共面，可设ABD平面为π，CE⊥π，E为垂足，连BE、DE，则由三垂线定理之逆，知∠ABE＝∠ADE＝90°，推知∠BED＝90°，于是BE²＋DE²＝BD²＝BC²＋DC²与BE²＋DE²＜BC²＋DC²显然矛盾，所以A、B、C、D不可能不共面。ABCD为平面四边形，结论仍为矩形。于是一道饶有趣味的立体几何题通过改变命题的前提就产生了。同学们设计出的有代表性的问题是：“若A、B、C、D是空间四点，满足∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA ＝90°，则ABCD是一个矩形。”

四、几何直观法

几何图像往往是数量关系的形象表示，因此几何直观就成了解题和设计问题的

一个重要源泉。用这种方法设计数学题，必须对各种曲线的性质有深刻理解，

必须善于用运动变化的观点来观察曲线。设计时既要注意到各种几何量的变化

情况，也要注意各种几何图形之间的相互关系，用几何直观设计的题目，必须

经过严格证明才能引用。

例引导学生利用对数函数图像设计一个与对数有关的题。

图 2

同学们观察到对数函数y＝㏒αx在﹙0，1﹚间的图像陡于在﹙1，∞﹚间的图像﹙不论a＞1还是0＜a＜1﹚，这意味着，当0＜x＜1时，│㏒α﹙1－x﹚│＞㏒α﹙1﹢x﹚│这个事实可以用y＝㏒αx的凹凸性加以证明，以a＞1为例。此时y″＝﹣1／x²㏑a＜0，y是下凹函数。取A﹙1,0﹚为切点画切线BC，则整个曲线位于BC的下方。设A1﹙1－X，0﹚, 过A1与X轴垂直的直线交切于B，交曲线与B′。过A2﹙1＋X，0﹚与X轴垂直的直线交切于C，交曲线于C′。上述特性意味着│㏒α﹙1－X﹚│＝│A1B′│＞│A1B │＝│A2C│＞│A2C′│＝│㏒a﹙1＋X﹚│。同学们观察到的结果得到证实，通过进一步讨论，同学们设计出问题如下：

“证明：当α＞0，α≠1且0＜X＜1时，有│㏒a﹙1－X﹚│＞│㏒a﹙1＋X﹚│。”此题的初等证法如下：│㏒α﹙1－X﹚│－│㏒α﹙1＋X﹚│＝(1／│lg a│)│lg﹙1－X﹚│－(1／lg a│)│lg﹙1＋X﹚＝(﹣1／Ilga│)lg﹙1－X﹚－(1／llgα│)lg﹙1＋X﹚＝(﹣1／│lgα│)lg﹙1－X²﹚＞0。

反思：

本课完成了预定设计目标。

同学们对这种自己设计问题，自己解决问题的习题课饶有兴趣，活动积极，富有成果，不仅提高了解决问题的能力，而且培养了提出问题的能力和质疑能力。并从中感受到数学的魅力和成功的喜悦。进一步放大了课堂教学实效。

这种课堂教学设计还应进一步完善，特别是提出问题的部分还应根据不同学生的能力和需要富有变化，在今后的教学、研究过程中我会做出更多的努力。