全等三角形 旋转综合题

图1C

B

图2

C

B 第12-13讲 全等三角形旋转综合题

例1．如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是等腰三角形，BD=CD ，∠BDC=1200，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN. （1）探究BM 、MN 、NC 之间的关系，并说明理由. （2）若△ABC 的边长为2，求△AMN 的周长.

（3）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由.

练：在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别由两点M,N,D 为ABC ∆外一点，且

︒=∠︒=∠120,60BDC MDN ,BD=CD.探究：当点M,N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM,NC,MN 之间

的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系。 （1）如图（1），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_________；此时

_______=L

Q

(2)如图（2），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。

（3）如图（3），当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则Q=______(用L x ,表示)

（3）

(2)

(1)

例2．如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°。 （1）请猜测线段EF 、BE 、DF 之间的等量关系并证明。

（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠EAF ＝

1

2

∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何？请加以证明。 （3）应用：在条件（2）中，若∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD （如图3），求此时△CEF 的周长。

练：如图17(1)，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点．①若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF ． ②若⊿AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF 的周长是否随⊿AEF 位置的变化而变化？ （2）如图17(2)，已知正方形ABCD 的边长为1，

BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果⊿CEF 的周长为2． 求∠EAF 的度数．

（3）如图17(3)，已知正方形ABCD ，F 为BC 中点

E 为CD 边上一点，且满足∠BAF=∠FAE ．

求证：AE=BC+CE ．

C D F 图1 图2

C 图3

A

C F E D

C B

A F E D C B

A

B D

A

F

E G

C

例3．如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：1

2

EF AC AB +

=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BA C ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11E F ，111

2

AC 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

（3）在（2）的条件下，当113A E =，112C E =时，求BD 的长．

例4．如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.

（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；

（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.

图1

A

B

C

D

E

F 图2

A

B

C

D

1

E 1

F 1A 1

C

B

A

C

例5．如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90C ，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且

DAE FAE ∠=∠．

（1）请你通过观察、测量、猜想，得出AEF ∠的度数；

（2）若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C ∠不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

图 3图 2

图 1F F F E

E E D D D C C C B B B A A A