高考理数真题训练08 平面解析几何(解答题)(原卷版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。
集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。
可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1ln cos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A． BC ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=，14cos 25αα+=，714sin()sin()cos .6625ππαααα⎫+=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷)(含解析)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学全解全析（1）满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是().1A ().2B ().3C ().4D2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz等于 ().A i ().B i - ().1C ± ().D i ±【标准答案】:D 。
【试题分析】 可设2z b i =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±【高考考点】: 共轭复数的概念、复数的运算。
【易错提醒】: 可能在以下两个方面出错：一是不能依据共轭复数条件设2z bi =+简化运算；二是由248b +=只求得 2.b =【学科网备考提示】: 理解复数基本概念并进行复数代数形式的四则运算是复数内容的基本要求，另外待定系数法、分母实数化等解题技巧也要引起足够重视。
3、函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是5.已知4cos()sin 365παα-+=，则7sin()6πα+的值是 23().5A -23().5B 4().5C - 4().5D 【标准答案】:C 。
【试题分析】：334cos()sin cos sin 36225παααα-+=+=，134cos sin 225αα+=， 7314sin()sin()sin cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭【高考考点】: 三角函数变换与求值。
【易错提醒】: 不能由334cos()sin cos sin 36225παααα-+=+=得到134c o s s i n 225αα+=是思考受阻的重要体现。
【学科网备考提示】:三角变换与求值主要考查诱导公式、和差公式的熟练应用，其间会涉及一些计算技巧，如本题中的为需而变。
2008年高考全国卷2理科数学(含解析)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。
【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。
其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。
需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。
建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。
数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+，因是实数且0b ≠，所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按32()()()a bi a bi a bi +=++进行展开，也有人按3()()()()a bi a bi a bi a bi +=+++进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。
(2008年-2020年)高考数学分类汇编全国1卷(理)--平面解析几何初步(含全部答案解析)
D．190 cm
12 (2020) 15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示. O 为圆孔
及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的 切点，四边形 DEFG 为矩形， BC DG ，垂足为 C ， tan ∠ ODC 3 ， BH / / DG , EF 12cm, DE 2cm, A 到直线 DE 和 EF 的距离均为
交于 A, B 两点， | AB | 4 3 ，则 C 的
实轴长为
（A） 2
（B） 2 2
（C）4
（D）8
x 1 0,
8（2015）（15）若
x,
y
满足约束条件
x
x
y y
0,值为
.
x 2y 1 9（2017）14．设 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值为
|
PA
|
|
PB
|
cos
2
=
x2 (1
2 sin2
)
=
x2 (x2 1) x2 1
=
B
x4 x2 x2 1
x y 0
x 2 y 2 ≤ 0,
10（2018）13．若
x
，
y
满足约束条件
x
y
1≥
0,
则 z 3x 2y 的最大值
y ≤ 0,
为
.
11（2019）4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足
底的长度之比是 5 1（ 5 1 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维
C 交于 A ,B 两点， AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）
平面解析几何(解答题专题)三年高考(2017-2019)理数真题(原卷版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．5．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为5． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．8．【2017年高考全国III 卷理数】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.9．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2a x c=±）10．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．12．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．13．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．14．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．15．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1 (3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,A B两点．若OAB△的面积为26，求直线l的方程．16．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上．P MBAOyx（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．17．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点)，求k 的值．18．【2017年高考全国I 理数】已知椭圆C ：22221()0x y a ba b +=>>，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．19．【2017年高考全国II 理数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u ru u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20．【2017年高考北京卷理数】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1，1).过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.21．【2017年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △的面积为6，求直线AP 的方程．22．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线13:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且|:||2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.。
2008高考试卷分类汇编08----解析几何1
2008高考试卷分类汇编08----解析几何1一、选择题1．（安徽理8文10）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．(解：设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与 曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3k k k ≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确。
2．（北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
3．（北京理7）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90解：圆心(5,1)M ,12l l ，关于y x =对称时CP y x ⊥=直线，CP ∴==CM =30CPM ∠=,60MPN ∠=4．（福建理11文12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，22c e a ===∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈5．（广东文6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --=解：点C (1,0)-，与直线0x y +=垂直，可设待求的直线方程为y x b =+，将点C 的坐标代入求出1b =，故所求直线方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)6．（海南宁夏理11）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线 焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(12)， D ．(12)-， 解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A 。
2008年高考新课标全国I卷数学(理)试题精解精析(解析版)
2008年普通高等学校统一考试数学（理科）参考答案一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A10．D11．A12．C二、填空题 13．314．321515．43π 16．1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． 4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外,也大致对称,其分布较均匀．三、解答题 17．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ,由已知条件,11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩,解出13a =,2d =-．所以1(1)25n a a n d n =+-=-+． （Ⅱ）21(1)42n n n S na d n n -=+=-+24(2)n =--． 所以2n =时,n S 取到最大值4． 18．解：如图,以D 为原点,DA则(100)DA =，，uu u r ,(001)CC '=，，u u u r ．连结BD ,B D ''．在平面BB D D ''中,延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，u u u r,由已知60DH DA <>=，o uuu r uu u r, 由cos DA DH DA DH DADH =<>，uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rg可得2m解得2m =,所以1DH ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu r ．（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC +⨯+⨯'<>==，uuu r uuu r 所以45DH CC '<>=，o uuu r uuu r． 即DP 与CC '所成的角为45．（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，u u u r．因为01101cos 2DH DC ⨯+⨯+⨯<>==，uuu r uuu r , 所以60DH DC <>=，o uuu r uuu r． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30． 19．解：（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为150.8100.26EY =⨯+⨯=,221(56)0.8(106)0.24DY =-⨯+-⨯=,220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=,2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-⨯+-⨯+-⨯=．（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212100100100x x DY DY -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22243(100)100x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 2224(46003100)100x x =-+⨯, 当6007524x ==⨯时,()3f x =为最小值．20．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，． 设11()M x y ，,M 在2C 上,因为253MF =,所以1513x +=, 得123x =,13y =．M 在1C 上,且椭圆1C 的半焦距1c =,于是 222248193 1.a bb a ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去2b 并整理得 4293740a a -+=,解得2a =（13a =不合题意,舍去）． 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由12MF MF MN +=u u u r u u u u r u u u r知四边形12MF NF 是平行四边形,其中心为坐标原点O , 因为l MN ∥,所以l 与OM 的斜率相同,故l的斜率323k ==．设l的方程为)y x m =-．由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，消去y 并化简得 22916840x mx m -+-=．设11()A x y ，,22()B x y ，,12169mx x +=,212849m x x -=． 因为OA OB ⊥uu r uu u r,所以12120x x y y +=． 121212126()()x x y y x x x m x m +=+-- 2121276()6x x m x x m =-++22841676699m m m m -=-+g g21(1428)09m =-=．所以m =．此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->, 故所求直线l的方程为y =-,或y =+．21．解： （Ⅰ）21()()f x a x b '=-+, 于是2123210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩，， 解得11a b =⎧⎨=-⎩，， 或948.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因a b ∈Z ，,故1()1f x x x =+-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =,21y x=都是奇函数． 所以函数1()g x x x=+也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1()111f x x x =-++-． 可知,函数()g x 的图像按向量(11)=，a 平移,即得到函数()f x 的图像,故函数()f x 的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭，．由0201()1(1)f x x '=--知,过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦． 令1x =得0011x y x +=-,切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，． 令y x =得021y x =-,切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，． 直线1x =与直线y x =的交点为(11)，．从而所围三角形的面积为00000111212112222121x x x x x +---=-=--．所以,所围三角形的面积为定值2．22．解：（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线,所以OA AM ⊥． 又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中,由射影定理知,2OA OM OP =g ．（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线,BN OK ⊥．同（Ⅰ）,有2OB ON OK =g,又OB OA =, 所以OP OM ON OK =g g ,即ON OMOP OK=． 又NOP MOK =∠∠,所以ONP OMK △∽△,故90OKM OPN ==∠∠． 23．解：（Ⅰ）1C 是圆,2C 是直线．1C 的普通方程为221x y +=,圆心1(00)C ，,半径1r =． 2C的普通方程为0x y -+=．因为圆心1C到直线0x y -=的距离为1, 所以2C 与1C 只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '：24x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=,2C '：12y x =,联立消元得2210x ++=,其判别式24210∆=-⨯⨯=,所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点,和1C 与2C 公共点个数相同． 24．解：（Ⅰ）44()2124848.x f x x x x ⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩， ≤，， ≤，图像如下：（Ⅱ）不等式842x x --->,即()2f x >, 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图像可知,原不等式的解集为(5)-∞，．2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。
2008高考解答题专题训练五 解析几何参考答案(文)
（Ⅰ）解：设抛物线S 的方程为22.y px = 显然0,0.k b ≠≠-----------------1分 由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得22200.y py p +-= 由0∆>，有0p >，或160.p <- 设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2p y y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y px x +∴+=-+-=-=+设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==，331110,.82p p x y ∴=-=∵点A 在抛物线S 上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =∴抛物线S 的方程为216.y x = （Ⅱ）解：当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ 方程为y kx b =+，显然0,0.k b ≠≠ ------------------------------------------------9分设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ，∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQk k ⋅=-∴1,QP P Qy y x x ⋅=-∴0.P Q P Q x x y y += 将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k=从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅== ∴22160.b b k k += ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =- ∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-， 此时动直线PQ 过定点(16,0). 当直线PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴， 又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩ 得到(16,16),(16,16)P Q -， 此时直线PQ 亦过点(16,0).综上所述，动直线PQ 过定点(16,0)M .（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， 即曲线W 的方程是26.x y = （Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为3y kx =+， 由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =， 化简得2690x kx --=. 设1122() () A x y B x y ，，，， 则12126 9.x x k x x +==-，2||6(AB k ∴==同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k=， 即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. 3．（Ⅰ）解：)2,0(p F ，∴设直线l 的方程为2p kx y +=.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,2,22py x p kx y 可得0222=--p pkx x .……2分设),(),(2211y x B y x A 、，则,221pk x x =+221p x x -=．,444)(2)2()2(2222222212122121pp p k p k p x x kp x x k p kx p kx y y =++-=+++=+⋅+=⋅ ∴2212143p y y x x -=+=⋅.（Ⅱ）解：由py x 22=，可得px y 22=，∴p x y ='.∴抛物线在B A 、两点处的切线的斜率分别为px p x 21,. ∴在点A 处的切线方程为)(111x x p x y y -=-，即pxx p x y 2211-=.……7分同理在点处B 的切线方程为p xx p x y 2222-=.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,2,2222211px x p x y p x x p x y 可得⎪⎩⎪⎨⎧-==.2,p y pk x即点Q 的纵坐标为2p-.………………9分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知， )2,(ppk Q -，2222)1()22()0(p k p p pk +=++-=， 又),21()(222212121k p p x x k pkx p kx y y +=++=+++=+.)1(4)21(244)(2)2)(2(222222212121p k p p k p p p y y p y y p y p y +=++⋅+=+++=++=∴=. ……13分4．（Ⅰ）解：由题知，曲线W 是以(1,0)F 为焦点，以直线1x =-准线的抛物线， 所以曲线W 的方程为24y x =．………… 2分（Ⅱ）解：因为直线l 与曲线W 交于A 、B 两点，所以 l 的斜率k 存在，且0k ¹设直线l 的方程为(1)y k x =+，由2(1),4y k x y x=+⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k +-+=． 因为直线l 与曲线W 交于A 、B 两点， 所以0k ≠，2244(2)40k k ∆=-->， 即||1k <且0k ≠．设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ,则212242k x x k-+=，121x x =，点C 的坐标为11(,)x y -， 11(1)y k x =+，22(1)y k x =+． 所以11(1,)FC x y =--，22(1,)FB x y =- ------------------------8分又因为1221(1)(1)()x y x y ----1221(1)(1)(1)(1)x k x x k x =-++-+12(22)k x x =- 0=， 所以FC FB λ=．（Ⅲ）由题意121||||2S PF y y =⋅+12|(2)|k x x =++2242|(2)|k k k -=+4||k = 因为||1k <且0k ≠，所以S 的取值范围是(4,)+∞． 5．（Ⅰ）解：设椭圆方程为22221y x a b+=（a >b>0）．依题意，12c e a ==, c=1，2a ∴=，2223b a c =-=，………………………………2分 ∴所求椭圆方程为 22143y x +=．………4分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率k 不存在，则不满足2AF FB =．当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为1y kx =+．因为直线l 过椭圆的焦点F （0，1），所以k 取任何实数, 直线l 与椭圆均有两个交点A 、B ．设A 1,122(),(,),x y B x y联立方程 221,1.43y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得22(34)690k x kx ++-=．…………6分122634k x x k -∴+=+， ① 122934x x k -⋅=+， ② 由F （0，1），A 1,122(),(,)x y B x y ，则1122(,1),(,1)AF x y FB x y =--=-，2AF FB =，∴1122(,1)2(,1)x y x y --=-，得212x x -=．……………………8分将212x x -=代入①、②，得22634k x k =+， ③ 222968x k =+， ④……………10分 由③、④ 得，226()34k k =+2968k +， 化简得223634k k =+92，解得245k =，5k =±.∴直线l的方程为：15y x =±+．…………13分 6．（Ⅰ）解：设椭圆方程为：22221(0).x y a b a b+=>>由22b =得 1b =. 又FE OF =，∴2221,.a c a c c c ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得1a c ==. ∴椭圆方程为：2212x y +=.离心率2c e a ==.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知点F 坐标为（1，0），又直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ,则AB 的方程为(1)y k x =-.由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-= （*）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是（*）方程两根，且12x x <，∴12x x == ∵////AD BC x 轴，且1||||3BC AD =， ∴22211()3a a x x c c-=-即12(23=，解得1k =±. ∴直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=. （Ⅲ）∵点(1,0),(2,0)F E ，∴EF 中点N 的坐标为3(,0)2. (1)当AB x ⊥轴时，111(1,),(1,),(2,)A y B y C y --，那么此时AC 的中点为3(,0)2，即AC 经过线段EF 的中点N . --------------------------9分 (2)当AB 不垂直x 轴时，则直线AB 斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =-,由（*）式得22121222422,1212k k x x x x k k -+==++. 又∵2211222,x y =-<得130,2x -≠ 故直线,AN CN 的斜率分别为：112122112(1),2(1),3323222y k x yk k k x x x -====----121121(1)(1)(23)223x x x k k k x ----∴-=⋅-.又1211212(1)(1)(23)3()24x x x x x x x ----=+--,22221[124(1)4(12)]012k k k k=---+=+. ∴120,k k -=即12k k =.且,AN CN 有公共点N ，∴ ,,A C N 三点共线. ∴直线AC 经过线段EF 的中点N . 综上所述，直线AC 经过线段EF 的中点. 7．（Ⅰ）解：由点M 是BN 中点，又0=⋅，可知PM 垂直平分BN .所以|PN |=|PB |，又|PA |+|PN |=|AN |，所以|PA |+|PB |=4.由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为12222=+b y a x ，由2a =4，2c =2，可得a 2=4，b 2=3.可知动点P 的轨迹方程为.13422=+y x ……6分 （Ⅱ）解：设点PB y x P ),,(00的中点为Q ，则)2,21(0y x Q +， 0020200202020212424143312)1(||x x x x x x y x PB -=+-=-++-=+-= 即以PB 为直径的圆的圆心为)2,21(00y x Q +，半径为01411x r -=， 又圆422=+y x 的圆心为O （0，0），半径r 2=2，又121161)433(41412141)2()21(||020*********++=-+++=-+=x x x x x y x OQ =0411x +， 故|OQ |=r 2－r 1，即两圆内切.…………13分 8．（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ， 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得3k =±，适合（1）式， 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=. （Ⅱ）解：① 当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以2121212127777(1)(1)3333MA MB x x y y x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭将(3)代入，整理得 2222227(1)(35)(6)493319k k k k MA MB k k ⎛⎫+-++- ⎪⎝⎭⋅=+++4.9= ② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、，，此时亦有4.9MA MB ⋅= 综上，4.9MA MB ⋅= 9．（Ⅰ）解：连结OP ，因为Q 为切点，PQ ⊥OQ ，又勾股定理有，222OQ OP PQ -=又由已知22,PA PQ PA PQ ==故，即()()()222221b 2a 1b a -+-=-+…化简得03b 2a =-+-----------------------------------4分 （Ⅱ）解：由03b 2a =-+，得32a b +-=()5456a 5132a a 1b a PQ 22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+=-+=故当56a =时，线段PQ 长取最小值552-------------------------------------8分（Ⅲ）解：设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，由于圆O 的半径为1，所以有101+≤≤-R P R 即R 1-≥OP 且R 1+≤OP而()5956a 532a a b a OP 22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+=+=故当56a =时，553min =OP ，此时b=1553,53min -=R 故半径取最小值时，圆P 的方程是222)1553()53()56(-=-+-y x ------------------------------------------14分10．（Ⅰ）解： 设直线l的方程为y kx =+22(12x kx ++=.整理，得221()102k x +++=. ① 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222184()4202k k k ∆=-+=->，解得k <k >.∴ 满足条件的k 的取值范围为2,(,)22k ∈-∞-+∞（ ……… 6分（Ⅱ）解：设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x1+x 2，y 1+y 2),由①得12212x x k+=-+.② 又1212()y yk x x +=++.③因为 0)A ，(0, 1)B ， 所以( 1)AB=.所以OP OQ +与AB 共线等价于 1212)x x y y ++. 将②③代入上式，解得2k =. 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线. 11．（Ⅰ）解：由题意, 直线l 的斜率一定存在，可设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，则由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-).2(4,18422x k y y x 得2222(2)(48)416240k x k k x k k -+--+-=． 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，由2OA OB OP +=，知P 为AB 中点， 所以12124,8x x y y +=+=．…………3分由21224842k kx x k -+==-，得1k =．所以直线l 的方程为2y x =+．……5分 （Ⅱ）解：由1282++=x x y ，得82+='x y ．设（0x ，0y ）为曲线1282++=x x y 上一点，过（0x ，0y ）的切线方程为))(82(000x x x y y -+=-，即128))(82(02000+++-+=x x x x x y .与l 方程联立得⎩⎨⎧+=+++-+=,2,128))(82(02000x y x x x x x y 解得7210020+-=x x x . …………9分 又由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.2,18422x y y x 解得A )0,2(-、B )8,6(. ∴ ]6,2[7210020-∈+-=x x x .故 222622260+≤≤-x .（Ⅲ）解：ABD ACD ∠=∠一定成立．由点P )4,2(和直线l 得1l ：6=+y x ．联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-,6,18422x y y x 得 C （546+-，5412-），D （546--，5412+）．所以0=⋅，即⊥．由对称性可知，⊥. 所以A 、B 、C 、D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠. 12．（Ⅰ）解：设双曲线方程为).0,0(12222>>=-b a by a x 由已知得.1,,2,32222==+==b c b a c a 得故双曲线C 的方程为1322=-y x . …………6分 （Ⅱ）解：联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.13,22y x m kx y .0336)31(222=----m kmx x k 整理得 直线与双曲线有两个不同的交点，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-∴.0)31(12,031222k m k ------------------------------------------8分可得.1322->k m ① ).0,0(1313131,,.31,3132,316).,(),,(),,(222002210221002211≠≠-=-+-=∴⊥-=+=-=+=-=+m k kk km k m k MN AB k m m kx y k km x x x k km x x y x B MN y x N y x M AB 由题意则的中点为设 整理得3k 2=4m +1. ②…………………10分将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2=4m +1>0（k ≠0），即m >－41.……12分 ∴m 的取值范围是（－41，0）∪（4，+∞）…13分13．（Ⅰ）证明：设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，由222c aa b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得a ，a=b ， ∴双曲线的渐近线方程为y=±x 。
008全国历年高考数学题------解析几何(理)
008全国历年高考数学题------解析几何(理)2015年5．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）（A ）（-3，3） （B ）（-6，6）（C ）（3-，3） （D ）（）14．一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
20．在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线:(0)l y kx a a =+>交与,M N 两点，（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。
2014年4．（5分）已知F 为双曲线C ：x 2﹣my 2=3m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A .B. 3C.m D. 3m10．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A ．B ．3C ．D ．220．（12分）已知点A （0，﹣2），椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.2012年（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。
2021-2023年高考数学真题分类汇编：平面解析几何解答题
专题08平面解析几何（解答题）近三年高考真题1．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,2的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于【解析】（1）设点P 点坐标为(,)x y ，由题意得||y ，两边平方可得：22214y x y y ，化简得：214y x，符合题意．故W 的方程为214y x．（2）解法一：不妨设A ，B ，C 三点在W 上，且AB BC ．设21(,)4A a a ，21(,)4B b b ，21(,4C c c ，则22(,)AB b a b a ，22(,)BC c b c b．由题意，0AB BC，即2222()()()()0b a c b b a c b ，显然()()0b a c b ，于是1()()0b a c b ．此时，||b a ．||1c b ．于是{||min b a ，||}1c b ．不妨设||1c b ，则1a b b c，则||||||||AB BC b a c b||b a c b|||b a c b||c a1|b c b c设||x b c，则1()(f x x x 322(1)()x f x x ，又11222222222(1)(31)(1)(21)()x x x x x f x x x．显然，2x为最小值点．故()(2f x f 故矩形ABCD的周长为2(||||)2()AB BC f x ．注意这里有两个取等条件，一个是||1b c，另一个是||b c ，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A ，B ，D 在抛物线W 上，C 不在抛物线W上，欲证命题为||||2AB AD ．由图象的平移可知，将抛物线W 看作2y x 不影响问题的证明．设(A a ，2)(0)a a ，平移坐标系使A 为坐标原点，则新抛物线方程为22y x ax ，写为极坐标方程，即22sin cos 2cos a ，即2sin 2cos cos a．欲证明的结论为22sin()2cos()sin 2cos 3322||||cos 2cos ()2a a ，也即222sin 2cos ||||cos cos sin sin a a ．不妨设22||||cos sin，将不等式左边看成关于a 的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当22sin 0cos cos a 即sin 2cos a时取得，因此欲证不等式为21cos ||cos sin，即21||cos sin ，根据均值不等式，有2|cos sin |由题意，等号不成立，故原命题得证．2．（2023•上海）已知抛物线2:4y x ，在 上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a ．（1）若A 到抛物线 准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a 时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线 上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线:3l x ，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为Q ．若在P 的位置变化过程中，||4HQ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）抛物线2:4y x 的准线为1x ，由于A 到抛物线 准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a ，解得a ；（2）当4a 时，点A 的横坐标为2444，则(4,4)A ，设(,0)B b ，则AB 的中点为4(,2)2b ，由题意可得24242b ，解得2b ，所以(2,0)B ，则402423AB k，由点斜式可得，直线AB 的方程为2(2)3y x ，即2340x y ，所以原点O 到直线AB13；（3）如图，设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t A a H t t a ，则22444AP t a k t a t a，故直线AP 的方程为24()4a y a x t a，令3x ，可得24(3)4a y a t a ，即24(3,(3))4a Q a t a，则24|||(3)|4a HQ t a t a，依题意，24|(3)|44a t a t a恒成立，又24(3)2204a t a a a t a ，则最小值为24a ，即2a ，即2a ，则221244a a a ，解得02a ，又当2a 时，1624442t t，当且仅当2t 时等号成立，而a t ，即当2a 时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(0，2]．3．（2022•上海）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a b，直线:0l x y ， 下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F ，0)、2F ，0)．（1）2a ，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM 中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆 上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ，22:1,(0,42x y A ，AM ∵的中点在x 轴上，M ，代入0x y 得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM，则4tan 3BAM ，即24tan 3OAF ，234OA OF ，b．②若3cos 5BMA，则4sin 5BMA ，∵4MBA， 34cos()252510MBA AMB ，cos BAMtan 7BAM ．即2tan 7OAF ， 7OA ， 7b ，综上b或27．（3）设(cos ,sin )P a b ，62a ，很明显椭圆在直线的左下方，则62a ，即) ，222a b ∵，) ，)22a ，|sin()|1 ，整理可得(1)(35)0a a ，即513a ，从而58626233d a ．即d 的最小值为83．4．（2022•浙江）如图，已知椭圆22112x y ．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点1(0,2Q 在线段AB上，直线PA ，PB 分别交直线132y x 于C ，D 两点．（Ⅰ）求点P 到椭圆上点的距离的最大值；（Ⅱ）求||CD 的最小值．【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点(,)M x y ，则222222||(1)12122111213PM x y y y y y y ，[1y ，1]，而函数211213z y y 的对称轴为1[1,1]11y ，则其最大值为21114411(213111111， 1441211||1111max PM，即点P 到椭圆上点的距离的最大值为121111；（Ⅱ）设直线11221:,(,),(,)2AB y kx A x y B x y ，联立直线AB 与椭圆方程有2212112y kx x y，消去y 并整理可得，22(121)1290k x kx ，由韦达定理可得，121222129,121121k x x x x k k， 22212121222212366161||()4()121121k k x x x x x x k k k，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，直线111:1y AP y x x ，直线221:1y BP y x x ，联立1111132y y x x y x 以及2211132y y x x y x，可得12341244,(21)1(21)1x x x x k x k x，由弦长公式可得21234124415||1()|||22(21)1(21)1x x CD x x k x k x1212212121225|5|[(21)1][(21)1](21)(21)()1x x x x k x k x k x x k x x66|231555k，当且仅当316k 时等号成立，||CD的最小值为5．5．（2022•北京）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b的一个顶点为(0,1)A，焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN 时，求k的值．【解析】（Ⅰ）由题意得，12bc，1b，c ，2a ，椭圆E的方程为2214x y ．（Ⅱ）设过点(2,1)P 的直线为1(2)y k x，1(B x，1)y，2(C x，2)y，联立得221(2)141y k xx y，即2222(14)(168)16160k x k k x k k，∵直线与椭圆相交， △2222[(168)]4(14)(1616)0k k k k k，0k，由韦达定理得212216814k kx xk，2122161614k kx xk，111ABykx∵， 直线AB为1111yy xx，令0y ，则111xxy，11(1xMy，0)，同理22(1xNy ，0)，1212211212211||||||()|11(2)(2)22x x x x x xMNy y k x k x k x x212112122()11||||(2)(2)x xk x x k22|216162(168)41414k k，2|2k，1|2，4k ．6．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y ．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在C 上，且120x x ，10y ．过P且斜率为Q且斜率为的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M 在AB 上；②//PQ AB ；③||||MA MB ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）由题意可得ba，2 ，解得1a，b ，因此C 的方程为2213y x ，（2）解法一：设直线PQ 的方程为y kx m ，(0)k ，将直线PQ 的方程代入2213y x 可得222(3)230k x kmx m ，△2212(3)0m k ，120x x ∵122203kmx x k ，2122303m x x k，230k，1222333x x k ，设点M 的坐标为(M x ，)M y，则1122))M M M M y y x x y y x x ，两式相减可得1212)M y y x x ，1212()y y k x x ∵，1212)()M x x k x x ，解得23M kmX k ，两式相加可得12122())M y y y x x ，1212()2y y k x x m ∵，12122)()2M y x x k x x m ，解得M y ，3M M y x k，其中k 为直线PQ 的斜率；若选择①②：设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 234243k x x k ，342123ky y k ，此时点M 的坐标满足(2)3M M M My k x y x k，解得234221()32M k X x x k ，34261()32M k y y y k ，M 为AB 的中点，即||||MA MB ；若选择①③：当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点(2,0)F ，此时不在直线3y x k上，矛盾，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)(0)y m x m ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y m x y，解得3x，3y ，同理可得4x，4y 此时234212()23M m x x x m ，34216()23M my y y m，由于点M 同时在直线3y x k 上，故2362m m k，解得k m ，因此//PQ AB ．若选择②③，设直线AB 的方程为(2)y k x ，并设A 的坐标为3(x ，3)y ，B 的坐标为4(x ，4)y ，则3333(2)y k x y，解得3x，3y ，同理可得4x4y 设AB 的中点(C C x ，)C y ，则234212()23C k x x x k ，34216()23C ky y y k ，由于||||MA MB ，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线1()C C y y x x k上，将该直线3y x k 联立，解得2223M C k x x k ，263M C ky y k ，即点M 恰为AB 中点，故点M 在直线AB 上．（2）解法二：由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为0．若选①③ ②，则M 为线段AB 的中点，假设AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ，此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，从而12x x ，已知不符．综上，直线AB 的斜率存在且不为0，直线AB 的斜率为k ，直线AB 的方程为(2)y k x ．则条件①M 在直线AB 上，等价于20000(2)(2)y k x ky k x ，两渐近线的方程合并为2230x y ，联立方程组，消去y 并化简得：2222(3)440k x k x k ，设3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，线段中点为(N N x ，)N y ，则2342223N x x k x k ．26(2)3N N ky k x k ，设0(M x ，0)y ，则条件③||||AM BM 等价于222203030404()()()()x x y y x x y y ，移项并利用平方差公式整理得：3403434034()[2()]()[(2()]0x x x x x y y y y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，3403403434[2()][2()]0y y x x x y y y x x，00()0N N x x k y y ，200283k x ky k ，由题意知直线PM的斜率为QM的斜率为，由1010)y y x x，2020)y y x x，121202)y y x x x ，直线PQ的斜率1201212122)x x x y y m x x x x，直线00:)PM y x x y，即00y y ，代入双曲线的方程为22330x y，即)3y y 中，得0000(()]3y y ，解得P的横坐标为100)]3x y ，同理，2022003()3x y y x ，012002200323x x x x x y x ，03x m y， 条件②//PQ AB 等价于003m k ky x ，综上所述：条件①M 在AB 上等价于200(2)m k ky k x ，条件②//PQ AB 等价于003ky x ，条件③||||AM BM 等价于200283k x ky k ．选①② ③：由①②解得20223k x k 20002843k x ky x k ， ③成立；选①③ ②：由①③解得：20223k x k ，20263k ky k ，003ky x ， ②成立；选②③ ①：由②③解得：20223k x k ，20263k ky k ， 02623x k ， ①成立．7．（2022•上海）已知椭圆222:1(1)x y a a，A 、B 两点分别为 的左顶点、下顶点，C 、D 两点均在直线:l x a 上，且C 在第一象限．（1）设F 是椭圆 的右焦点，且6AFB，求 的标准方程；（2）若C 、D 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD 与直线BC 的交点是否在椭圆 上，并说明理由；（3）设直线AD 、BC 分别交椭圆 于点P 、点Q ，若P 、Q 关于原点对称，求||CD 的最小值．【解析】（1）由题可得(0,1)B ，(,0)F c ，因为6AFB，所以1tan tan 63b AFBc c，解得c ，所以214a ，故 的标准方程为2214x y ；（2）直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A a ，(0,1)B ，(,2)C a ，(,1)D a ，则直线3:1BC y x a ，直线11:22AD y x a ，交点为3(5a ，4)5，满足2223()45()15a a ，故直线AD 与直线BC 的交点在椭圆上；（3）(0,1)B ，(cos ,sin )P a ，则直线sin 1:1cos BP y x a ，所以sin 1(,1)cos C a，(,0)A a ，(cos ,sin )Q a ，则直线sin :()cos AQ y x a a a，所以2sin (,cos 1D a，所以222222sin cos 4sin cossin 12sin 222222||11cos cos 12222sin cos CD cos sin sin，设tan 2t ，则11||2()21CD t t，因为114a ba b ，所以114411t t t t，则||6CD ，即||CD 的最小值为6．8．（2021•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b的一个顶点(0,2)A ，以椭圆E 的四个顶点围成的四边形面积为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 分别与直线3y 交于点M 、N ，当||||15PM PN 时，求k 的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b过点(0,2)A ，则2b ，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以1222a b，解得a ，故椭圆E 的标准方程为22154x y；（Ⅱ）由题意，设过点(0,3)P ，斜率为k 的直线为直线l ，设直线l 的方程为(3)(0)y k x ，即3y kx ，当0k 时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以0k ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程组223154y kx x y，可得22(45)30250k x kx ，则△22(30)425(45)0k k ，解得||1k ，所以1212223025,4545k x x x x k k，则221212121222036(3)(3)3()945k y y kx kx k x x k x x k ，121212224(3)(3)()645y y kx kx k x x k，直线AB 的方程为11(2)(2)(0)0y y x x ，即1122y y x x ，直线AC 的方程为22(2)(2)0)0y y x x，即2222y y x x ，因为直线AB 交3y 于点M ，所以令3y ，则112M x x y ，故11(,3)2x M y ，同理可得22(,3)2x N y ，注意到12225045x x k，所以1x ，2x 同号，因为120y ，220y ，所以M x ，N x 同号，故||||||||||M N M N PM PN x x x x ，则1212211212(2)(2)|||||||22(2)(2)x x x y x y PM PN y y y y 1221121212(3)(3)2()||2()4x kx x kx x x y y y y 121212122()||2()4kx x x x y y y y 22222253024545||20364844545kk k k k k k5||k ，故||||5||PM PN k ，又||||15PM PN ，即5||15k ，即||3k ，又||1k ，所以1||3k ，故k 的取值范围为[3 ，1)(1 ，3]．9．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线22(0)y px p 的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且||2MF ．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足2||||||RN PN QN ，求直线l 在x轴上截距的取值范围．【解析】（Ⅰ）依题意，2p ，故抛物线的方程为24y x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线:(1)AB y k x ，将直线AB 方程代入抛物线方程可得，2222(24)0k x k x k ，则由韦达定理有，242,1A B A B x x x x k，则4A B y y ，设直线1:(1)AM y k x ，其中11A A y k x，设直线2:(1)BM y k x ，其中21B B yk x ，则12(1)(1)(1)(1)0011(1)(1)(1)(1)(1)(1)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B y y y x y y x y k x x k x k x x k x k k x x x x x x x x，2122244(1)(1)1121A B A B y y k k k x x k k，设直线:2()l y x t ，联立2()(1)y x t y k x ，可得22R k t x k ，则2||||||22R k t k kt x t t k k ，联立12()(1)y x t y k x ，可得1122P k t x k ，则111112||||||22P k t k k t x t t k k ，同理可得，222222,||||22Q Q k t k k tx x t k k，又2||||||RN PN QN ，2112212||||222k k t k k tk kt k k k ，即2222(1)()234k kt k t k k ，22222222(1)343(2)12(2)16161243333()(1)(1)(2)(2)(2)22244t k k k t t k k k k k ，224(21)3(21)t t t t ，即21410t t，解得7t或71)t t ；当直线AB 的斜率不存在时，则直线:1AB x ，(1,2)A ，(1,2)B ，(1,0)M ，直线MA 的方程为1y x ，直线MB 的方程为1y x ，设直线:2()l y x t ，则(12,22)P t t ，2122(,)33t t Q ，(1,22)R t ，(,0)N t ，又2||||||RN PN QN，故22(1)(22)t t 解得t满足(,77,1)(1,) ．直线l 在x轴上截距的取值范围为(,77,1)(1,) ．10．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F ，0)，2F ，0)，点M 满足12||||2MF MF ．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解析】（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为22221(0,0),1x y a b x a b ，根据题意22222c a c a b，解得14a b c，C 的方程为221(1)16y x x ；（2）（法一）设1(,)2T m ，直线AB 的参数方程为1cos 2sin x t y m t，将其代入C 的方程并整理可得，2222(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m ，由参数的几何意义可知，1||TA t ，2||TB t ，则2212222121216117m m t t sin cos cos，设直线PQ 的参数方程为1cos 2sin x y m，1||TP ，2||TQ ，同理可得，212212117m cos ，依题意，22221212117117m m cos cos，则22cos cos ，又 ，故cos cos ，则cos cos 0 ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设1(,)2T t ，直线AB 的方程为11()2y k x t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设1212x x ，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，22222111111(16)(2)1604k x k tk x k k t t ，由韦达定理有，22211111212221111624,1616k k t t k k tx x x x k k ，又由111111(,),(,)22A x k x k t T t可得11||)2AT x ，同理可得21||)2BT x ，222111221(1)(12)11||||(1)()()2216k t AT BT k x x k，设直线PQ 的方程为233441(),(,),(,)2y k x t P x y Q x y ，设3412x x ，同理可得22222(1)(12)||||16k t PT QT k ，又||||||||AT BT PT QT ，则22122212111616k k k k ，化简可得2212k k ，又12k k ，则12k k ，即120k k ，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．11．（2021•乙卷（文））已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】（1）由题意知，2p ，24y x ．（2）由（1）知，抛物线2:4C y x ，(1,0)F ，设点Q 的坐标为(,)m n ，则(1,)QF m n，9(99,9)PQ QF m nP 点坐标为(109,10)m n ，将点P 代入C 得21004036n m ，整理得22100362594010n n m ，当0n 时，2100259n n K m n，当0n 时，2101019259325n n K m n n n，当且仅当925n n ，即35n 时，等号成立，取得最大值．故答案为：13．12．（2022•甲卷（文））设抛物线2:2(0)C y px p 的焦点为F ，点(,0)D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，||3MF ．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ，ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ，AB 的倾斜角分别为 ， ．当 取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）由题意可知，当x p 时，222y p，得M y，可知||MD ，||2p FD ．则在Rt MFD 中，222||||||FD DM FM，得22())92p，解得2p ．则C 的方程为24y x ；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(A x ，3)y ，4(B x ，4)y ，当MN 与x 轴垂直时，由对称性可知，AB 也与x 轴垂直，此时2，则0 ，由（1）可知(1,0)F ，(2,0)D ，则1212221212124tan 44MN y y y y k y y x x y y，又N 、D 、B 三点共线，则ND BD k k ，即24240022y y x x，242224002244y y y y，得248y y ，即428y y；同理由M 、D 、A 三点共线，得318y y ．则34123434124tan 2()y y y y x x y y y y．由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设:1MN l x my ，由241y x x my ，得2440y my ，124y y m ，124y y ，则41tan 4m m，41tan 242m m，则11tan tan 12tan()1111tan tan 122m m m m m m，∵1tan m，1tan 2m，tan 与tan 正负相同，22， 当 取得最大值时，tan() 取得最大值，当0m时，1tan()142m m；当0m 时，tan() 无最大值， 当且仅当12m m，即2m 时，等号成立，tan() 取最大值，此时AB 的直线方程为33344()y y x x y y ，即34344()0x y y y y y ，又123412128()888y y y y m y y y y∵34128816y y y y ，AB的方程为4160x，即40x ．13．（2023•甲卷（文））已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于A ，B两点，||AB ．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，且0FM FN，求MFN 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ，（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 由24y x x my n，可得2440y m n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．14．（2023•甲卷（理））设抛物线2:2(0)C y px p ，直线210x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p 的值；（2）F 为22y px 的焦点，M ，N 为抛物线上的两点，且0MF NF，求MNF 面积的最小值．【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22102(0)x y y px p，消去x 得：2420y py p ，124y y p ，122y y p ，△21680p p ，(21)0p p ，12p，12|||4AB y y ，216848p p ，2260p p ，(23)(2)0p p ，2p ；（2）由（1）知24y x ，所以(1,0)F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线:MN x my n ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由24y x x my n，可得2440y my n ，所以124y y m ，124y y n ，△22161600m n m n ，因为0MF NF ，所以1212(1)(1)0x x y y ，即1212(1)(1)0my n my n y y ，即221212(1)(1)()(1)0m y y m n y y n ，将124y y m ，24y n ，代入得22461m n n ，224()(1)0m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 或3n 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d12|||MN y y1|n ，所以MNF 的面积11||1|22S MN d n ，又3n 或3n 3n 时，MNF 的面积2(212min S ．15．（2023•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知1||3A F ，2||1A F ．（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；（Ⅱ）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若△1A PQ 的面积是△2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【解析】（Ⅰ）由题意可知，31a c a c ，解得21a c，222413b a c ．则椭圆方程为22143x y ，椭圆的离心率为12c e a ；（Ⅱ）由题意可知，直线2A P 的斜率存在且不为0，当0k 时，直线方程为(2)y k x ，取0x ，得(0,2)Q k ．联立22(2)143y k x x y ，得2222(43)1616120k x k x k ．△2222(16)4(43)(1612)1440k k k ，221612243P k x k ，得228643P k x k ，则21243P k y k ．11212322111216124(2)4()224343A PQ A A Q A A Pk k k S S S k k k ．22211261()24343A FP k k S k k ． 3221612124343k k k k k ，即223k ，得6(0)2k k ；同理求得当0k 时，62k ． 直线2A P 的方程为6(2)2y x ．16．（2022•天津）椭圆22221(0)x y a b a b的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足||3||2BF AB ．（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于(N N 异于)M ．记O 为坐标原点，若||||OM ON ，且OMN 3【解析】（1）∵22||3||BF aAB a b 22234a a b ，223a b ，2223()a a c ，2223a c ，222633c e a ；（2）由（1）可知椭圆为222213x y a a，即2223x y a ，设直线:l y kx m ，联立2223x y a ，消去y 可得：2222(31)6(3)0k x kmx m a ，又直线l 与椭圆只有一个公共点，△2222364(31)(3)0k m k m a ，2223(31)m a k ，又2331M km x k ， 22233131M M k m m y kx m m k k ，又||||OM ON ， 222223(()3131km m m k k ，解得213k，3k ，又OMN的面积为2113||||||||2231M km ON x m k ，212224m ，又k 2223(31)m a k ，26a ，22b ， 椭圆的标准方程为22162x y ．17．（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a 上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ，求PAQ 的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得224111a a ，化简得42440a a ，22a ，故双曲线方程为2212x y ，由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m ，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m ，故122421km x x k ，21222221m x x k ，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x ，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m ，故2222(22)4(12)(4(1)02121k m km m k m k k ，即(1)(21)0k m k ，而直线l 不过A 点，故1k ；（2）设直线AP 的倾斜角为，由tan PAQ22tan21tan 2PAQ PAQ，得tan 22PAQ 由2PAQ ， 2PAQ，得tan AP k，即1112y x ，联立1112y x ，及221112x y得1110533x y ，同理22x y 故12122068,39x x x x ，而12||2|,|||2|AP x AQ x，由tan PAQsin 3PAQ，故12121||||sin 2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x ．18．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为( 0)．（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于P ，证明P 在定直线上．【解析】（1）双曲线C中心为原点，左焦点为( 0)，则222c a b c c e a，解得24a b ，故双曲线C 的方程为221416x y ；（2）证明：过点(4,0) 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，则可设直线MN 的方程为4x my ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，记C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，则1(2,0)A ，2(2,0)A ，联立224416x my x y ，化简整理可得，22(41)32480m y my ，故△222(32)448(41)2641920m m m 且2410m ，1223241m y y m ，1224841y y m ，直线1MA 的方程为11(2)2y y x x，直线2NA 方程22(2)2y y x x ，故21211212(2)(2)22(2)(6)y x y my x x y x y my 121211212()26my y y y y my y y 12212483222414148641m m y m m m y m 1212162141483641m y m m y m ，故2123x x ，解得1x ，所以1P x ，故点P 在定直线1x 上运动．19．（2021•上海）已知22:12x y ，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(P m，0)(m ，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，11||||BF PF ，求m 的值；（2）若1213F A F A ，且原点O 到直线l的距离为15，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m 12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为 的方程：2212x y ，所以22a ，21b ，所以2221c a b ，所以1(1,0)F ，2(1,0)F ，若B 为 的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ，1||1PF m ，又11||||BF PF ，所以1m（2）设点A ，sin ) ，则2221211)213F A F A sin cos sin ，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos ，故()33A ，设直线l的方程为(0)33y kx k ，由原点O 到直线l，则15d ，化简可得231030k k ，解得3k 或13k ，故直线l的方程为13y x或3y x（舍去，无法满足m ，所以直线l的方程为139y x ；（3）联立方程组2212y kx km x y ，可得22222(12)4220k x k mx k m ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k ，因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y ，又y kx km ，故化简为122212x x k ，又122216882||||1212k k m x x k k ，两边同时平方可得，2224210k k m ，整理可得22142k m ，当m 时，221042k m ，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条．20．（2021•甲卷（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P满足AP ，写出P 的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【解析】（1）由极坐标方程为，得2cos ，化为直角坐标方程是22x y ，即22(2x y，表示圆心为C 0)（2）【解法1】根据题意知，点P 的轨迹是以A为缩放比例将圆1C 作位似变换得到的，因此1C的圆心为(3 0)，半径差为2 ，所以圆C 内含于圆1C ，圆C 与圆1C 没有公共点．【解法2】设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y ，1(1AM x ，1)y ，由AP ，即1111)x x y ，解得11(1)122x x y y ，所以1)1M x)y ，代入C的方程得221)1)2x ，化简得点P的轨迹方程是22(34x y，表示圆心为1(3C ，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y， 为参数；计算1|||(332CC ，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．21．（2023•北京）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b，A 、C 分别为E 的上、下顶点，B 、D 分别为E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的一个动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．【解析】（1）由题意可得：24b，c e a，222a b c ，解得2b ，29a ， 椭圆E 的方程为22194x y ．（2）证明：(0,2)A ，(3,0)B ，(0,2)C ，(3,0)D ，直线BC 的方程为132x y ，化为2360x y ．设直线AP 的方程为：2y kx ，(0)k ，4(N k ，2) ．联立222194y kx x y ，化为：22(49)360k x kx ，解得0x 或23649k k，236(49k P k ，22818)49k k ．直线PD 方程为：22218849(3)36349k k y x k k ，即22188(3)273612k y x k k ，与2360x y 联立，解得26432k x k k ，2281896k y k k．264(32k M k k，2281896k k k ．2228182296464332MN k k k k k k k k，23CD k，//MN CD ．22．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b，右焦点为F ，0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN ．【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率3c a，又c所以a 2221b a c ，故椭圆的标准方程为2213x y ；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当||MN 时，设直线MN 的方程为x ty s ，此时圆心(0,0)O 到直线MN的距离1d ，则221s t ，联立方程组2213x ty s x y ，可得222(3)230t y tsy s ，则△22222244(3)(3)12(3)24t s t s t s ，因为2||3MN t ，所以21t ，22s ，因为直线MN 与曲线222(0)x y b x 相切，所以0s，则s ，则直线MN的方程为x ty恒过焦点F ，故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN的方程为x my ，则圆心(0,0)O 到直线MN的距离为1d ，解得21m ，联立方程组2213x my x y，可得22(3)10m y ，即2410y ，所以||44MN所以必要性成立；综上所述，M，N，F三点共线的充要条件是||MN．23．（2021•天津）已知椭圆22221(0)x y a ba b的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且||BF．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若//MP BF，求直线l的方程．【解析】（1）因为离心率5e，||BF所以222caaa b c，解得a ，2c ，1b ，所以椭圆的方程为2215x y ．（2）先证明椭圆22221x ya b上过点(M x，)y的椭圆的切线方程为：00221xx yya b．由于椭圆过点0(x，0)y，则2200221x ya b①，对椭圆求导得22b xya y，即切线的斜率22b xka y，故切线的方程2002()b xy y x xa y，将①代入得00221xx yya b．则切线MN 的方程为0015x x y y ，令0x ，得01N y y，因为PN BF ，所以1PN BF k k ，所以1(12PN k ，解得2NP k ，设1(P x ，0)，则01120NPy k x ，即1012x y ，因为//MP BF ，所以MP BF k k ，所以0001122y x y ，即000122y x y ，所以000122x y y，又因为220015x y ，所以22002042115520y y y ，解得06y ，因为0N y ，所以00y ，所以06y，036x ，所以6156y，即0x y ．24．（2021•甲卷（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线:1l x 交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ．已知点(2,0)M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设1A ，2A ，3A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【解析】（1）因为1x 与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，令1x ，则2y p ，根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在x 轴下方，故2),(1,2P p Q p ，因为OP OQ ，故112(202p p p，抛物线C 的方程为：2y x ，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y ．另（1）根据抛物线的对称性，由题意可得45POx QOx ，因此点P ，Q 的坐标为(1,1) ，由题意可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p ，可得12p ，因此抛物线C 的方程为2y x ．而圆M 的半径为圆心M 到直线l 的距离为1，可得M 的方程为22(2)1x y ．（2）很明显，对于12A A 或者13A A 斜率不存在的情况以及23A A 斜率为0的情况满足题意．否则：设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时），设直线12A A 方程为0kx y ，根据点(2,0)M 到直线距离为11，解得k 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x ，此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ，直线12A A 的方程为1212()0x y y y y y ，1 ，即22212121(1)230y y y y y ，同理，由对称性可得，22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是方程222111(1)230y t y t y 的两根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．（2）另设2(i i A y ，)i y ，1i ，2，3，由直线的两点式可知，直线12A A 的方程为222122122()()()()y y y y y y x y ，化简可得1212()0x y y y y y ，因为直线12A A 与圆M2212121(2)1()y y y y ，整理得22212121(1)230y y y y y ，同理有22213131(1)230y y y y y ，所以2y ，3y 是关于y 的方程222111(1)230y y y y y 的两个根，则2112323221123,11y y y y y y y y ，依题意有，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y ，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1y y y y d y y y y ，此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切，综上，直线23A A 与M 相切．25．（2023•乙卷（文））已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b的离心率为3，点(2,0)A 在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．【解析】（1）由题意，22232c a b a b c，解得32a b c ． 椭圆C 的方程为22194y x ；证明：（2）如图，要使过点(2,3) 的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设:3(2)PQ y k x ，即23y kx k ，0k ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2223194y kx k y x ，得22(49)8(23)16(3)0k x k k x k k ．△22[8(23)]4(49)16(3)17280k k k k k k ．1228(23)49k k x x k ，12216(3)49k k x x k ，直线11:(2)2y AP y x x，取0x ，得112(0,)2y M x ；直线22:(2)2y AQ y x x，取0x ，得222(0,2y N x ． 1212211212222(2)2(2)22(2)(2)y y y x y x x x x x 12211212(23)(2)(23)(2)22()4kx k x kx k x x x x x 121212122(43)()4(23)22()4kx x k x x k x x x x 222216(3)8(23)2(43)4(23)4949216(3)8(23)244949k k k k k k k k k k k k k k k 32322322223296649648723272481082164832481636k k k k k k k k k k k k k k 1082636．MN 的中点为(0,3)，为定点．。
三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题08 平面解析几何(解答题)(教师版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2021·北京高考真题】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =， 因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =， 故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.2．【2021·全国高考真题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-， 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．【2021·浙江高考真题】如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RNPN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),743743,11,⎡-∞---++∞⎣.【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q y ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-， 所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-， 故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+≤<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题. 4．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.5．【2021·全国高考真题（理）】已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+， 所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.8．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1=22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m ，10t =时，p 10． 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.11．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠． 于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.13．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d==由两点之间距离公式可得||AM==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C 的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2）3.【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）由3AP PB=可得123y y=-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.15．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.16．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.17．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a ==222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．19．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.20．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为31，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134342S m S m m m m m=-=--=+++++当m =时，12S S 取得最小值1G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（）A．b2=3a2B．a2=3b2C．b2=9a2D．a2=9b23．（5分）函数f（x）=﹣x 的图象关于（）A．y 轴对称B．直线y=﹣x 对称C．坐标原点对称D．直线y=x 对称4．（5 分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（5分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．7．（5 分）（1﹣）6（1+）4的展开式中x 的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．（5分）若动直线x=a 与函数f（x）=sinx 和g（x）=cosx 的图象分别交于M，N 两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．29．（5 分）设a＞1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A．B．C．（2，5）D．10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C．D．12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，若向量与向量共线，则λ=．14．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a=．15．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于．16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣，cosC=．（1）求sinA 的值（2）设△ABC 的面积S△ABC=，求BC 的长．18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 ．（I）求一投保人在一年度内出险的概率p；（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB=4，点E 在CC1 上且C1E=3EC．（I）证明：A1C⊥平面BED；（II）求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．20．（12 分）设数列{a n}的前n 项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．（I）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（II）若a n+1≥a n，n∈N*，求a 的取值范围．21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（I）若，求k 的值；（II）求四边形AEBF 面积的最大值．22．（12 分）设函数．（I）求f（x）的单调区间；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．（5 分）设a，b∈R 且b≠0，若复数（a+bi）3是实数，则（）A．b2=3a2B．a2=3b2C．b2=9a2D．a2=9b2【考点】A5：复数的运算．【分析】复数展开，化为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部为0 即可．【解答】解：（a+bi）3=a3+3a2bi﹣3ab2﹣b3i=（a3﹣3ab2）+（3a2b﹣b3）i，因是实数且b≠0，所以3a2b﹣b3=0⇒b2=3a2故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，是基础题．3．（5 分）函数f（x）=﹣x 的图象关于（）A．y 轴对称B．直线y=﹣x 对称C．坐标原点对称D．直线y=x 对称【考点】3M：奇偶函数图象的对称性．【分析】根据函数f（x）的奇偶性即可得到答案．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．4．（5 分）若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】根据函数的单调性，求a 的范围，用比较法，比较a、b 和a、c 的大小．【解答】解：因为a=lnx 在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选：C．【点评】对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0 或1 的应用，本题是基础题．5．（5 分）设变量x，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y 的最小值．【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）从20 名男同学，10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件从30 名同学中任选3 名参加体能测试共有C303 种结果，而满足条件的事件是选到的3 名同学中既有男同学又有女同学共有C201C102+C202C101 种结果．代入公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，；3020 10 20 10 ∵试验发生的所有事件从 30 名同学中任选 3 名参加体能测试共有 C 3 种结果，满足条件的事件是选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学共有C 1C 2+C 2C 1 种结果，∴由古典概型公式得到，故选：D ．【点评】本题考查的是古典概型，可以从它的对立事件来考虑，概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．7．（5 分）（1﹣）6（1+）4 的展开式中 x 的系数是（） A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】展开式中 x 的系数由三部分和组成： 的常数项与展开式的 x 的系数积 的展开式的 x 的系数与的常数项的积；的的系数与的的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数．【解答】解： 的展开式的通项为∴展开式中常数项为 C 60，含 x 的项的系数为 C 62，含的项的系数为﹣C 61的展开式的通项为∴ 的展开式中的 x 的系数为 C 42，常数项为 C 40，含的项的系数为 C 41故的展开式中 x 的系数是：C 60C 42+C 62C 40﹣C 61C 41=6+15﹣24=﹣3 故选：B ．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（5 分）若动直线 x=a 与函数 f （x ）=sinx 和 g （x ）=cosx 的图象分别交于 M ， N 两点，则|MN |的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象． 【分析】可令 F （x ）=|sinx ﹣cosx |求其最大值即可． 【解答】解：由题意知：f （x ）=sinx 、g （x ）=cosx 令 F （x ）=|sinx ﹣cosx |= |sin （x ﹣）|当 x ﹣=+kπ，x=+kπ，即当 a=+kπ 时，函数 F （x ）取到最大值故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和函数解析式的关系．属基础题．9．（5 分）设 a ＞1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A ．B ．C ．（2，5）D ．【考点】KC ：双曲线的性质． 【专题】11：计算题． 【分析】根据题设条件可知 ，然后由实数 a的取值范围可以求出离心率 e 的取值范围．【解答】解：，因为是减函数，所以当a＞1 时，所以2＜e2＜5，即，故选：B．【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用．10．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE、SD 所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．【解答】解：建立如图所示坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E，= ，=（﹣1，﹣1，﹣）∴cos＜＞=故选：C．【点评】本题主要考查多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．11．（5 分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y﹣2=0 与x﹣7y﹣4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】16：压轴题．【分析】利用原点在等腰三角形的底边上，可设底边方程y=kx，用到角公式，再借助草图，选项判定结果即可．【解答】解：l1：x+y﹣2=0，k1=﹣1，，设底边为l3：y=kx 由题意，l3 到l1 所成的角等于l2 到l3 所成的角于是有，解得k=3 或k=﹣，因为原点在等腰三角形的底边上，所以k=3．k= ，原点不在等腰三角形的底边上（舍去），故选：A．【点评】两直线成角的概念及公式；本题是由教材的一个例题改编而成．（人教版P49 例7）解题过程值得学习．12．（5 分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B．C．D．2【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2 为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选：C．【点评】本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）设向量，若向量与向量共线，则λ= 2 ．【考点】96：平行向量（共线）．【分析】用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解．【解答】解：∵a=（1，2），b=（2，3），∴λα+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3）．∵向量λα+b 与向量c=（﹣4，﹣7）共线，∴﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0，∴λ=2．故答案为2【点评】考查两向量共线的充要条件．14．（5分）设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0 垂直，则a= 2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵y=e ax∴y′=αe ax∴曲线y=e ax在点（0，1）处的切线方程是y﹣1=a（x﹣0），即ax﹣y+1=0∵直线ax﹣y+1=0 与直线x+2y+1=0 垂直∴﹣a=﹣1，即a=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．15．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A，B 两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先设点A，B 的坐标，求出直线方程后与抛物线方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，求出两根，再由抛物线的定义得到答案．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）由，，（x1＞x2）∴由抛物线的定义知故答案为：【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用16．（5 分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；充要条件②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；．（写出你认为正确的两个充要条件）【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；L2：棱柱的结构特征．【专题】16：压轴题；21：阅读型．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及棱柱的结构特征及类比推理，由平行六面体与平行四边形的定义相似，故我们可以类比平行四边形的性质，类比推断平行六面体的性质．【解答】解：类比平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形为平行四边形，则我们类比得到：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体．类比平行四边形的性质：两条对角线互相平分，则我们类比得到：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；故答案为：三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，cosB=﹣，cosC=．（1）求sinA 的值（2）设△ABC 的面积S△ABC=，求BC 的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由cosB，cosC 分别求得sinB 和sinC，再通过sinA=sin（B+C），利用两角和公式，进而求得sinA．（Ⅱ）由三角形的面积公式及（1）中的sinA，求得AB•AC的值，再利用正弦定理求得AB，再利用正弦定理进而求得BC．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故AB×AC=65，又，故，．所以．【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用．属基础题．18．（12 分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000 元的赔偿金．假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000 元的概率为1﹣0.999 ．（I）求一投保人在一年度内出险的概率p；（II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000 人中出险的人数为ξ，由题意知ξ服从二项分布一投保人在一年度内出险的对立事件是没有一个人出险．（2）写出本险种的收入和支出，表示出它的盈利期望，根据为保证盈利的期望不小于0，列出不等式，解出每位投保人应交纳的最低保费．【解答】解：由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000 人中出险的人数为ξ，由题意知ξ～B（104，p）．（I）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000 元赔偿金，则发生当且仅当ξ=0，=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，又P（A）=1﹣0.999104，故p=0.001．（II）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ+50000，盈利η=10000α﹣（10000ξ+50000），盈利的期望为Eη=10000α﹣10000Eξ﹣50000，由ξ～B（104，10﹣3）知，Eξ=10000×10﹣3，Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104．Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．∴每位投保人应交纳的最低保费为15 元．【点评】解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．19．（12 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB=4，点E 在CC1 上且C1E=3EC．（I）证明：A1C⊥平面BED；（II）求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；15：综合题；35：转化思想．【分析】法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直；（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A1C⊥平面DBE．（Ⅱ）求出平面DA1E 和平面DEB 的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．【解答】解：解法一：依题设知AB=2，CE=1．（I）连接AC 交BD 于点F，则BD⊥AC．由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）在平面A1CA 内，连接EF 交A1C 于点G，由于，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE 与∠FCA1 互余．于是A1C⊥EF．A1C 与平面BED 内两条相交直线BD，EF 都垂直，所以A1C⊥平面BED．（6 分）（II）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG 是二面角A1﹣DE﹣B 的平面角．（8分），． ，又，．．所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为．（（12 分））解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 D ﹣xyz ．依题设，B （2，2，0），C （0，2，0），E （0，2，1），A 1（2，0，4）．，．（3 分）（Ⅰ）因为，，故 A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又 DB ∩DE=D ，所以 A 1C ⊥平面 DBE ．（6 分）（Ⅱ）设向量=（x ，y ，z ）是平面 DA 1E 的法向量，则，．故 2y +z=0，2x +4z=0．令 y=1，则 z=﹣2，x=4，=（4，1，﹣2）．（9 分） 等于二面角 A 1﹣DE ﹣B 的平面角，所以二面角 A 1﹣DE ﹣B 的大小为．（12 分），．n n n n ﹣n +1 n n +1 n n nnn nn +1 n n +1 nn n nn ﹣1【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12 分）设数列{a n }的前 n 项和为 S n ．已知 a 1=a ，a n +1=S n +3n ，n ∈N *．（I ） 设 b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （II ） 若 a n +1≥a n ，n ∈N *，求 a 的取值范围．【考点】81：数列的概念及简单表示法；8H ：数列递推式． 【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）依题意得 S =2S +3n ，由此可知 S ﹣3n +1=2（S ﹣3n ）．所以 b =S ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．（ Ⅱ ） 由题设条件知 S =3n + （ a ﹣ 3 ） 2n ﹣ 1 ， n ∈ N * ， 于是， a =S ﹣ S 1=，由此可以求得 a 的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n +1﹣S n =a n +1=S n +3n ，即 S n +1=2S n +3n ，由此得 S ﹣3n +1=2S +3n ﹣3n +1=2（S ﹣3n ）．（4 分） 因此，所求通项公式为 b =S ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．①（6 分） （Ⅱ）由①知 S =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，当 n ≥2 时，a =S ﹣S =3n +（a ﹣3）×2n ﹣1﹣3n ﹣1﹣（a ﹣3）×2n ﹣2=2×3n ﹣1+（a ﹣3）2n ﹣2， a ﹣a =4×3n ﹣1+（a ﹣3）2n ﹣2= ，当 n ≥2 时， ⇔a ≥﹣9．又 a 2=a 1+3＞a 1．综上，所求的 a 的取值范围是[﹣9，+∞）．（12 分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．21．（12 分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（I）若，求k 的值；（II）求四边形AEBF 面积的最大值．【考点】96：平行向量（共线）；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2 满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2 的表达式，进而根据求得x0 的表达式，由D 在AB 上知x0+2kx0=2，进而求得x0 的另一个表达式，两个表达式相等求得k．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF 的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线AB，EF 的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2 满足方程（1+4k2）x2=4，故．①由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得；由D 在AB 上知x0+2kx0=2，得．所以，化简得24k2﹣25k+6=0，解得或．（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．由（Ⅰ）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），不妨设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，根据E 与F 关于原点对称可知y2=﹣y1＞0，故四边形AEBF 的面积为S=S△OBE +S△OBF+S△OAE+S△OAF=•（﹣y1）==x2+2y2===，当x2=2y2时，上式取等号．所以S 的最大值为．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．22．（12 分）设函数．（I）求f（x）的单调区间；（II）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a 的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（2）令g（x）=ax﹣f（x），根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0 恒成立，再利用分类讨论的方法求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）．（2 分）当（k∈Z）时，，即f'（x）＞0；当（k∈Z）时，，即f'（x）＜0．因此f（x）在每一个区间（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间（k∈Z）是减函数．（6分）（Ⅱ）令g （x ）=ax ﹣ f （x ），则= = ．故当时，g'（x）≥0．又g（0）=0，所以当x≥0 时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9 分）当时，令h（x）=sinx﹣3ax，则h'（x）=cosx﹣3a．故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，即sinx＞3ax．于是，当x∈（0，arccos3a）时，．当a≤0 时，有．因此，a 的取值范围是．（12 分）【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．。
2017-2019三年高考数学(理科)分类汇编专题08平面解析几何(解答题)(K12教育文档)
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专题08 平面解析几何（解答题)1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ，与x 轴的交点为P ． (1）若｜AF |+｜BF ｜=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求｜AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2）3。
【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． (1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=,得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-．(2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,利用根与系数的关系构造等量关系。
2008年高考数学试卷(辽宁.理)含详解
2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学（供理科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体和只公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合3||0|,||3|1x M x x N x x x +==<=≤--，则集合||1|x x ≥＝ (A )M N ⋂ (B )M N ⋃ (C )R (M N ⋂) (D ) R (M N ⋃)(2)135(21)lim(21)x n n n →∞++++-=+(A )14 (B )12 (C )1 (D )2 (3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ()(2,2)A k ∈ ()(,2)2,)B k ∈-∞⋃+∞ ()(3,3)C k ∈- ()(,3)3,)D k ∈-∞⋃+∞(4)复数11212i i +-+-的虚部是 1()5A i 1()5B 1()5C i - 1()5D -(5)已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC - ()2A OA OB - ()2B OA OB -+ 21()33C OA OB - 12()33D OA OB -- (6)设P 为曲线C :223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,4π],则点P 横坐标的取值范围为 1()[1,]2A -- ()[1,0]B - ()[0,1]C 1()[,1]2D(7)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为奇数的概率为 1()3A 1()2B 2()3C 3()4D (8)将函数21212a y a y +=+=的图象按向量平移得到函数的图象，则()(1,1)A a =-- ()(1,1)B a =- ()(1,1)C a = ()(1,1)D a =- (9)一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(A )24种 (B )36种 (C )48种 (D )72种(10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0,2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为(A ()3B (C 9()2D (11)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1、EF 、CD 都相交的直线 ()A 不存在 (B )有且只有两条 (C )有且只有三条 (D )有无数条 (12)设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f 3()4x x ++的所有x 之和为(A )-3 (B )3 (C )-8 （D ）8第Ⅰ卷（选择题共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.(13)函数1,0,,0x x x y e x +<⎧=⎨≥⎩的反函数是__________.(14)在体积为的球的表面上有A 、B 、C 三点，AB =1，BC ，A 、C 两点的球，则球心到平面ABC 的距离为_________. (15)已知21(1)()n y x x x x+++的展开式中没有．．常数项，*n N ∈，且2≤n ≤8,则n =______.(16)已知()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，则ω＝__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3，求a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：(Ⅰ)根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； (Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BP=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D ',截面PQGH ∥A D '.(Ⅰ)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(Ⅱ)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(Ⅲ)若D E '与平面PQEF 所成的角为45°，求D E '与平面PQGH 所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，点P 到两点（0，-）、（0，3）的距离之和等于4，设点P 的轨迹为l 、直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点. （Ⅰ）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ,求k 的值；（Ⅲ）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |. （21）（本小题满分12分）在数列|a n |,|b n |中，a 1=2, b 2=4，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈）(Ⅰ)求a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++.（22）（本小题满分14分） 设函数f (x )=ln ln ln(1).1xx x x-+++ (Ⅰ)求f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ,使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为（0,+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分） 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42R π如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球的体和只公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 V =243R π()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球的半径一、选择题 1.已知集合{}30,31x M x N x xx ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭,则集合{}1x x为( )A.M NB.M NC.()RMN D.()RMN答案：C解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学 解析版
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，， 一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b cA ．B ．C ．D ．4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B． C． D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96B ．84C ．60D ．48第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c-=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．C DE AB21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>．答案与解析：1.C解析： 由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或； 2.A解析：根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A解析：2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D解析：222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5.C 解析：243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B解析：2(1)2(1)21,(1),()y x xy x e f x e f x e --=⇒=-==7. D解析：3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==-8.A解析：π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x --=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或. 10.D解析：由题意知直线1x ya b +=与圆221x y +=22111a b+1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知cos sin 1a b αα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C解析：由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高1AO==（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=.另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA=+2111126,,33OA AB a OA AB⋅===则1AB与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA ABAO AB⋅=.12.B解析：分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9解析：如图，作出可行域，作出直线0:20l x y-=，将0l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2解析：由抛物线21y ax =-的焦点坐标为 1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38解析：设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====.16.答案：16解析：设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO ==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c-= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD ==，DG =，EG==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角CAD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0fx '=求得两根为x =即()f x 在⎛-∞⎝⎭递增，⎝⎭递减， 3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）2313--，且23a >解得：74a ≥20．解：（Ⅰ）对于甲：对于乙：0.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=．22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a < 211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立； （ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得 1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==， 121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得 k k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k i i i a b a a ==--∑若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0 若对任意i k ≤都有b a i >，则k k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln ki i a b a b==--∑b ka b a ln 11-->b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解
参考 式 如果 件 A B 互斥 那
球的表面
式
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果 件 A B 相互独立 那
S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体 那 式
P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果 件 A 在一次试验中发生的概率是 p
V=
4 3 πR 3
sin x 2 + cos x
求 f ( x ) 的单调区间 如果对任何 x
0
都有 f ( x )
ax
求 a 的取值范围
an
n ∈ N*
求 a 的取值范围
21
本小题满
12
设椭圆中心在坐标原点 于点 D
A(2 0) B(0 1) 是它的 个 点 直线 y = kx(k > 0)
点
AB 相交
椭圆相交于 E F
uuu r uuur 若 ED = 6 DF
求 k 的值
求四边形 AEBF 面 的最大值
22
本小题满
12
设函数 f ( x ) =
1 − 0.99910
4
求一投保人在一 度内出险的概率 p 设保险 开办该项险种业 除赔偿金外的成本 50 000 元 保证盈利的期望
第 3
共 15
小于 0 求 19 本小题满
投保人 交纳的最 保费 单 12
元
如
四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中 证明
AA1 = 2 AB = 4
点 E 在 CC1 D1 A1
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科 学(必修+选修Ⅱ)
第 卷1至2 第 卷 3 至 10
2008年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} 2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．3．（5 分）在△ABC 中，=，=．若点D 满足=2，则=（）A．B．C．D．4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．（5 分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10 项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．236．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+27．（5 分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，则a 的值为（）A．2 B．C．﹣D．﹣28．（5 分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5 分）设奇函数（f x）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式＜0 的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）10．（5 分）若直线=1 与圆x2+y2=1 有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．11．（5 分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB1 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5 分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为．14．（5 分）已知抛物线y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，．若以A，B 为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．16．（5 分）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N 分别是AC，BC 的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（I）求的值；（II）求tan（A﹣B）的最大值．18．（12 分）四棱锥A﹣BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（I）证明：AD⊥CE；（II）设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E 的大小．19．（12 分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（I）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a 的取值范围．20．（12 分）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验．（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（II）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．21．（12 分）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F 垂直于l1 的直线分别交l1，l2 于A，B 两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（I）求双曲线的离心率；（II）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（12 分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（I）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（II）证明：a n＜a n+1＜1；（III）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．2008 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）函数的定义域为（）A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x 的不等式组，即为函数的定义域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}故选：C．【点评】定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0 且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．2．（5 分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A 答案满足要求，故选：A．【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变．3．（5 分）在△ABC 中，=，=．若点D 满足=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D 点把BC 分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选：A．【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的4．（5 分）设a∈R，且（a+i）2i 为正实数，则a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．【点评】本题的计算中，要注意到相应变量的范围．5．（5 分）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10 项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10 我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．【点评】在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称，则f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x 对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y 互换，即得反函数的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（e y﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2∴答案为A．【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法．7．（5 分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，则a 的值为（）A．2 B．C．﹣D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a 的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0 垂直，∴直线ax+y+1=0 的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义的求法，考查导数的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的性质的灵活运用．8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需将函数y=sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．9．（5 分）设奇函数（f x）在（0，+∞）上为增函数，且（f1）=0，则不等式＜0 的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】16：压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x 与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x 与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1 时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1 时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0 时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1 时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x 的取值范围是﹣1＜x＜0 或0＜x＜1．故选：D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．10．（5 分）若直线=1 与圆x2+y2=1 有公共点，则（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r，∴，故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题．11．（5 分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB1 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC 为正四面体，设棱长为2，求出AB1 及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1 到底面的距离A1D 的长度，即知点B1 到底面的距离B1E 的长度，再求出AE 的长度，在直角三角形AEB1 中求AB1 与底面ABC 所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为D，所以三棱锥A1﹣ABC 为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1 是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2 ，A1D= =，所以AB1 与底面ABC 所成角的正弦值为= = ；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1 到底面的距离是B1E，如图，A1 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，设为D，故DA= ，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB 于中点S，过B1 作AB 的垂线段，垂足为F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF 中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1 与底面ABC 所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选：B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．12．（5 分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96 B．84 C．60 D．48【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】16：压轴题．【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．【解答】解：分三类：种两种花有A42 种种法；种三种花有2A43 种种法；种四种花有A44 种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选：B．【点评】本题也可以这样解：按A﹣B﹣C﹣D 顺序种花，可分A、C 同色与不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为9 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；13：作图题．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0 平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z 在y 轴上的截距最小时，z 有最大值，求出此时直线y=2x﹣z 经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y 中即可．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0 平移至过点A 处时，函数z=2x﹣y 有最大值9．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．14．（5 分）已知抛物线y=ax2﹣1 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1 的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1 的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为故答案为2【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力．15．（5 分）在△ABC 中，AB=BC，．若以A，B 为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．答案：．【点评】本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确计算．16．（5 分）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D 的余弦值为，M，N 分别是AC，BC 的中点，则EM，AN 所成角的余弦值等于．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角 C ﹣AB ﹣D 的平面角，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则，=故EM，AN 所成角的余弦值故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c．（I）求的值；（II）求tan（A﹣B）的最大值．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，（I）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（II）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C 为△ABC 的内角，我们易得tanA=4tanB ＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A ﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，则；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0当且仅当时，等号成立，故当时，tan（A﹣B）的最大值为．【点评】在解三角形时，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于边角互化，使用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（I）证明：AD⊥CE；（II）设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E 的大小．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC 中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．（2）在面AED 内过点E 作AD 的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角，△CGE 中，使用余弦定理求出此角的大小．【解答】解：（1）取BC 中点F，连接DF 交CE 于点O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根据，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，则∠CGE 即为所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H 为垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE 中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°为CE 与平面ABE 所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH 中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC ﹣1；直角三角形ACH 中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE 中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD 为直角三角形，AD===，故CG===，DG= =，，又，则，∴，即二面角C﹣AD﹣E 的大小．【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．19．（12 分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（I）当a=3 时，求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a 的取值范围．【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．【专题】16：压轴题．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0 即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0 在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3 时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0 恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．20．（12 分）已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3 只中的1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取1 只化验．（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（II）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束），∴乙只用两次的概率为．若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．21．（12 分）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F 垂直于l1 的直线分别交l1，l2 于A，B 两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．（I）求双曲线的离心率；（II）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（1）由2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2 个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB 方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，∴渐近线的倾斜角范围为（0，），∴渐近线斜率为：，∴．∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB 中，注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB=，而由对称性可知：OA 的斜率为k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c= b．由于AB 的倾斜角为+∠AOB，故AB 的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot （∠AOB）=﹣2，∴AB 的直线方程为y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴4= •= •，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据，联想到对应的是2 渐近线的夹角的正切值，属于中档题．22．（12 分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{a n}满足0＜a1＜1，a n+1=f（a n）．（I）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（II）证明：a n＜a n+1＜1；（III）设b∈（a1，1），整数．证明：a k+1＞b．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．k k +1 【专题】16：压轴题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令 f′（x ）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明．（2） 由题意数列{a n }满足 0＜a 1＜1，a n +1=f （a n ），求出 a n +1=a n ﹣a n lna n ，然后利用归纳法进行证明；（3） 由题意 f （x ）=x ﹣xlnx ，a n +1=f （a n ）可得 a k +1=a k ﹣b ﹣a k ，然后进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f （x ）=x ﹣xlnx ，∴f′（x ）=﹣lnx ，当 x ∈（0，1）时，f′（x ）=﹣lnx ＞0故函数 f （x ）在区间（0，1）上是增函数；（II ） 证明：（用数学归纳法）（i ）当 n=1 时，0＜a 1＜1，a 1lna 1＜0，a 2=f （a 1）=a 1﹣a 1lna 1＞a 1，∵函数 f （x ）在区间（0，1）是增函数且函数 f （x ）在 x=1 处连续， ∴f （x ）在区间（0，1]是增函数，a 2=f （a 1）=a 1﹣a 1lna 1＜1，即 a 1＜a 2＜1 成立，（ⅱ）假设当 x=k （k ∈N +）时，a ＜a ＜1 成立，即 0＜a 1≤a k ＜a k +1＜1，那么当 n=k +1 时，由 f （x ）在区间（0，1]是增函数，0＜a 1≤a k ＜a k +1＜1，得 f （a k ）＜f （a k +1）＜f （1），而 a n +1=f （a n ），则 a k +1=f （a k ），a k +2=f （a k +1），a k +1＜a k +2＜1，也就是说当 n=k +1 时，a n ＜a n +1＜1 也成立，根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数 n ，a n ＜a n +1＜1 恒成立．（III ） 证明：由 f （x ）=x ﹣xlnx ，a n +1=f （a n ）可得 a k +1=a k ﹣a k lna k =，1）若存在某i≤k，满足a i≤b，则由（Ⅱ）知：a k+1﹣b＞a i﹣b≥0，2 ）若对任意i ≤k ，都有a i ＞ b ，则a k+1=a k ﹣a k lna k= = ≥a1﹣b1﹣ka1lnb=0，＞b 成立．即a k+1【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．。
2008年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)
+ ), 即y=sin(2x+ )=sin2(x+ ). ∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移 个单位长度即得函数y=cos(2x+ )的图像,选A. 9、答案： D 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 且f(-1)=-f(1)=0. 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴当x＜-1或0＜x＜1时,f(x)＜0, 当-1＜x＜0或x＞1时,f(x)＞0. 又不等式 ＜0, ∴解集为(-1,0)∪(0,1). 10、答案： D 解析:动点M在以原点为圆心的单位圆上, 所以直线 + =1过点M,只需保证原点到直线的距离
B C A ∴O′E= a.∴sin∠O′AE= . 12、答案： B 解析:方法一:4种花都种有 =24种;只种其中3种花: · · · =48种;
只种其中2种花: · =12种. ∴共有种法24+48+12=84种. 方法二:A有4种选择,B有3种选择,C可与A相同,则D有3种选择,若C与A不 同,则C有2种选择,D也有2种选择. ∴共有4×3×(3+2×2)=84. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中 横线上． 13．答案： 9 解析:由题意得可行域如图中阴影部分所示,则由图可得目标函数z=2x-y 的最大值为y=2x-z,过点(3,-3)时,此时z=9.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ 卷） 理科数学（必修+选修Ⅰ） 第Ⅰ卷
参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这 一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ） s t O A． s t O s t O s t O B． C． D． 3．在中，，．若点满足，则（ ） A． B． C． D．
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专题08 平面解析几何（解答题）
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2
221x y a
+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上
顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 1：22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1
的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且4
3
CD AB =．
（1）求C 1的离心率；
（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．
3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、
右顶点．
（1）求C 的方程；
（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．
4．【2020年高考北京】已知椭圆22
22:1x y C a b
+=过点(2,1)A --，且2a b =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程：
（Ⅰ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||
||
PB BQ 的值．
5．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆2
21:12
x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物
线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若1
16
p =
，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
6．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，
点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求12AF F △的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，且过点A （2，1）．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．
8．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且
AM 的斜率为
1
2
， （1）求C 的方程；
（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
9．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．
（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．
10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM
的斜率之积
3
2
3AP PB =
为−
12
.记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交
C 于点G .
（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.
11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，
切点分别为A ，B .
（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，
5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 12．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
13．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短
轴长为4 （1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．
14．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为F 1
（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2
2
2
(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=
5
2
．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
15．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(1
0)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；
（2）求1
2
S S 的最小值及此时点G 的坐标．
16．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交
于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
17．【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛
物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：
1
1
λ
μ
+
为定值．
18．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12
x C y +=的右焦点为F ，
过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．
19．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +
=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
20．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
)2
，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为
7
，求直线l 的方程．
21．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点
A ，
B 满足P A ，PB 的中点均在
C 上．
（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（2）若P 是半椭圆x 2
+2
4
y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．
22．【2018年高考天津卷理数】设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率
A 的坐标为(,0)b
，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；
（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．
若
4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点)，求k 的值．。