上海教材高中数学知识点总结

一、集合与常用逻辑 1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ

子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈

B A B B A B

A A

B A ⊆⇔=⊆⇔=

注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题

原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题

5．充分必要条件

p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值

①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝

二、不等式

1．一元二次不等式解法

若0>a ，02

=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则

02<++c bx ax 解集),(βα

02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα

注：若0a 情况 2．其它不等式解法—转化

a x a a x <<-⇔<⇔22a x <

⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >

0)

()

(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）

⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()

><⎧⎨⎪⎩⎪0

（01<

3．基本不等式 ①ab b a 22

2≥+ ②若+

∈R b a ,，则

ab b

a ≥+2

注：用均值不等式ab b a 2≥+、2

)2

(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”

三、函数概念与性质

1．奇偶性

f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称

②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性

f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)

或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)

或

0)

()(2

121>--x x x f x f

f(x)减函数：？

注：①判断单调性必须考虑定义域

②f(x)单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同

偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性

T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T

）

4．二次函数

解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2

+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)

对称轴：a

b

x 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(a

b

-

-∞递减，),2[+∞-a b 递增 当a

b x 2-=，f(x)min a b a

c 442

-=

奇偶性：f(x)=ax 2

+bx+c 是偶函数⇔b=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系

注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0

四、基本初等函数

1．指数式 )0(10≠=a a n n

a

a

1

=- m n m n

a a = 2．对数式

b N a =log N a b

=⇔（a>0,a ≠1）

N M MN a a a log log log +=

N M N

M a a a log log log -=

M n M a n a log log =

a b b m m a log log log =

a

b

lg lg =

n

a a

b b n log log =a

b log 1=

注：性质01log =a 1log =a a N a

N

a =log

常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x

与y=log a x

定义域、值域、过定点、单调性？

注：y=a x

与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 1

2

13

2

,,,-==

==x y x y x y x y

αx y =在第一象限图象如下：

五、函数图像与方程 1．描点法

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换 平移：“左加右减，上正下负”

)()(h x f y x f y +=→=

伸缩：)1

()(x f y x f y ϖ

ϖ=−−

−−−−−−→−=倍

来的每一点的横坐标变为原

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

)

()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴

注：)

(x f y =a

x =→直线)2(x a f y -=

翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，

并将下方部分沿x 轴翻折到上方

α>1 01<<α

α<0