数学建模上机练习习题及答案

练习1 基础练习
一、矩阵及数组操作：
1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）。

A=eye(3) B=eye(15,8) C=ones(3) D=ones(15,8) E=zeros(3) F=zeros(15,8) G=(-1+(1-(-1))*rand(3)) H=1+sqrt(4)*randn(5)
2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数
a=fix(0+(10-0)*rand(10));
K=find(a>=5);
Num=length(K)或者num=sum(sum(a>=5))
num =
53
3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。

如已给定矩阵A在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行
在命令窗口中输入A(find(sum(abs(A'))==0),:)=[];
删除整列内容全为0的列。

A(：，find(sum(abs(A'))==0))=[];
二、绘图：
4．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像： y1=2x+5； y2=x^2-3x+1， 并且用legend 标注 x=0:0.01:10; y1=2*x+5; y2=x.^2-3*x+1; plot(x,y1,x,y2,'r') legend('y1', 'y2')
12345678910
-1001020304050607080
5．画出下列函数的曲面及等高线： z=x^2+y^2+sin(xy)． 在命令窗口输入： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);
z=x.^2+y.^2+sin(x.*y)；contour3(x,y,z); meshc(x,y,z)
5
10
15
5
10
15
100
200
300
400
三、程序设计：
6．编写程序计算（x在[-3，3]，间隔0.01）
建立M文件d.m
x=input('请输入x的值:');
if x>=-3&x<-1
y=(-x.^2-4*x-3)/2;
elseif x>=-1&x<1
y=-x.^2+1;
elseif x>=1&x<=3
y=(-x.^2+4*x-3)/2;
else
y='error'
end
y
在命令窗口输入x 的值：
7．有一列分数序列：
求前15项的和。

a=1;
b=2;
sum=0;
for k=1:15
c=b/a;
sum=sum+c;
t=b;
b=a+b;
a=t;
end
sum
sum =
24.5701
8．用至少三种方法编写函数实现求任意整数n的阶乘。

方法一：
function f=factor(n)
if n<=1
f=1;
else
f=factor(n-1)*n;
end
方法二：function result = fa(n)
n=input('please input n:');
result = 1;
for i = 1:n
result = result * i;
end
方法三：n=input('please input n:');
x=1:n;
prod(x)
9．将任意大于6的偶数m写成两个素数p1、p2的和（试着写出所有的m=p1+p2的可能形式）。

解：
function y=f(n);
n=input('请输入n的值:');
if mod(n,2);
error('n不是素数.请重新运行程序.')
elseif n<=6;
error('n必须大于6.请重新运行程序.')
else
for m=1:n;
for k=m:n;
if (isprime(m))&(isprime(k))&(m+k==n);
disp([num2str(n),'=',num2str(m),'+',num2str(k)]);
break;
end;
end;
end;
end;
10．是否任意3的倍数m可以写成三个素数p1、p2、p3的和（试着写出所有的m=p1+p2+p3
的可能形式）？
解：function y=fg(n);
n=input('请输入n的值:');
if mod(n,3);
error('n不是3的倍数.请重新运行.')
elseif n<6;
error('n必须不小于6.')
else
for m=1:n;
for k=m:n;
for p=k:n
if(isprime(m))&(isprime(k))&(isprime(p))&(m+k+p==n);
disp([num2str(n),'=',num2str(m),'+',num2str(k),'+',num2str(p)]);
break;
end;
end;
end;
end;
end；
四、数据处理与拟合初步：
11．通过测量得到一组数据：
分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出拟合曲线进行对比。

解：
t=1:10;
y=[4.842,4.362,3.754,3.368,
3.169,3.038,3.034,3.016,3.012,3.005];
x1=exp(-t)
x1 =
0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.0001 0.0000
x2=t.*exp(-t)
x2 =
0.3679 0.2707 0.1494 0.0733 0.0337 0.0149 0.0064 0.0027 0.0011 0.0005
y1=polyfit(x1,y,1)
y1 =
5.2165 3.1564
y1=5.2165*exp(-t)+3.1564
y1 =
5.0754 3.8624 3.4161 3.2519 3.1915
3.1693 3.1612 3.1581 3.1570 3.1566
y2=polyfit(x2,y,1)
y2 =
5.0273 2.9973
y2=5.0273*t.*exp(-t)
y2 =
1.8494 1.3607 0.7509 0.3683 0.1694 0.0748 0.0321 0.0135 0.0056 0.0023
plot(t,y,t,y1,'r--',t,y2,'gx')
1
2
3
4
5
6
12．计算下列定积分
第一个：
建立m文件：
function f=jifen1(x) f=exp(-2*x);
在命令窗口输入：
[z1,n]=quad(@jifen1,0,2) 得到结果：
z1=
0.4908
n =
25
第二个：
x=0:0.01:2;
z2=exp(2*x);
trapz(x,z2)
得到结果：
ans =
26.8000
第三个：
t=-1:0.01:1;
z3=x.^2-3*x+0.5;
trapz(x,z3)
得到结果：
ans =
1.6667
13．微分方程组
当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并
画出相空间轨道图像。

t=0:0.01:25;
[x,y]=dsolve('Dx=0.5-x','Dy=x-4*y','x(0)=1','y(0)=-0.5','t') x =
1/2+1/2*exp(-t)
y =
1/8+1/6*exp(-t)-19/24*exp(-4*t)
plot(t,x,t,y)
图像如下：
t=0:0.01:25;
x=1/2+1/2*exp(-t);
y =1/8+1/6*exp(-t)-19/24*exp(-4*t);
plot(t,x,t,y)
0510152025
-0.50
0.5
1
14．设通过测量得到时间t 与变量y 的数据：
t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41];
分别采用多项式： y=a 0+a 1t+a 2t^2
和指数函数 y=b 0+b 1e^t+b 2te^t
进行拟合，并计算均方误差、画出拟合效果图进行比较。

解：
t=[0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.41];
tt=0:0.01:2.3;
a=polyfit(t,y,2)
yy1=polyval(a,tt);
z1=polyval(a,t);
wucha1=sqrt(sum((z1-y).^2))
B=[ones(size(t')) exp(-t)' ( t.*exp(-t))']; b=B\y'
yy2=b(1)+b(2)*exp(-tt)+b(3)*tt.*exp(-tt);
z2=b(1)+b(2)*exp(-t)+b(3)*t.*exp(-t);
wucha2=sqrt(sum((z2-y).^2))
figure(1);
plot(t,y,'+',tt,yy1,t,z1,'o')
figure(2);
plot(t,y,'+',tt,yy2,t,z2,'o')
00.51 1.52 2.5
15．观察函数：y=e^x-1.5cos(2*pi*x)
在区间[-1,1]上的函数图像，完成下列两题：
（1）用函数fzero求解上述函数在[-1,1]的所有根，验证你的结果；（2）用函数fminbnd求解上述函数在[-1,1]上的极小、极大、最小和最大值，在函数图像
上标出你求得的最小值点作出验证。

注：可以用help fzero命令查看fzero的调用格式，fzero典型的调用方法是：
fzero(@myfun,x0) %返回函数myfun在x0附近的根；fminbnd典型的调用方法是：
fminbnd(@myfun,x1,x2) %返回函数myfun在区间[x1,x2]上的
最小值。

(1)x=-1:0.01:1;
y=exp(x)-1.5*cos(2*pi*x); plot(x,y,'g')
hold on
>> y0=0;
>> plot(x,y0,'k')
z=fzero('f',-0.8)
z =
-0.7985
>> z=fzero('f',-0.1)
z =
-0.1531
>> z=fzero('f',0.1)
z =
0.1154
（2）f.m
function y=f(x);
y=exp(x)-1.5*cos(2*pi*x); x=fminsearch('f',-0.2,0.2)
x =
-0.0166
>> x=fminsearch('f',-1,1)
x =
-1.0062
f1.m
function y=f(x);
y=-exp(x)+1.5*cos(2*pi*x);
x=fminsearch('f1',0.4,0.6)
x =
0.5288
>> x=fminsearch('f1',-0.6,-0.4) x =
-0.4897
x1=-1.0062 ;
y1=exp(x1)-1.5*cos(2*pi*x1)
y1 =
-1.1333
plot(x1,y1,'*')
练习2 气象观察站调整问题
某地区内有12个气象观察站（位置如图),现有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.
问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？试结合方差分析和回归分析方法确定最终保留的观察站。

提示：
解：程序代码：
a=[272.6,324.5,158.6,412.5,292.8,258.4,334.1,303.2,292.9,243.2,159.7,331.2;251.6,287.3,349.5,2 97.4,227.8,453.6,321.5,451.0,446.2,307.5,421.1,455.1;192.7,433.2,289.9,366.3,466.2,239.1,357.4, 219.7,245.7,411.1,357.0,353.2;246.2,232.4,243.7,372.5,460.4,158.9,298.7,314.5,256.6,327.0,296. 5,423.0;291.7,311.0,502.4,254.0,245.6,324.8,401.0,266.5,251.3,289.9,255.4,362.1;466.5,158.9,22 3.5,425.1,251.4,321.0,315.4,317.4,246.2,277.5,304.2,410.7;258.6,327.4,432.1,403.9,256.6,282.9,3 89.7,413.2,466.5,199.3,282.1,387.6;453.4,365.5,357.6,258.1,278.8,467.2,355.2,228.5,453.6,315.6, 456.3,407.2;158.5,271.0,410.2,344.2,250.0,360.7,376.4,179.4,159.2,342.4,331.2,377.7;324.8,406.
5,235.7,288.8,192.6,284.9,290.5,343.7,283.4,281.2,243.7,411.1]；
y=std(a,0,1)
输出结果：
y =
Columns 1 through 6
100.2660 80.9270 108.2444 63.9747 94.1034 94.2002
Columns 7 through 12
38.0479 85.0735 106.4092 57.2472 86.5136 36.8299
练习3 中国总人口的灰色动态预测运用灰色系统理论及其建模原理，预测2020年和2050年中国人口。

灰色预测法原理可参考：灰色预测法.ppt
注：以上所有作业均要求编写M文件，目的在于熟悉常用建模方法的使用和相关的Matlab语言。

练习4 优化问题练习
1、线性规划
规划问题不等式约束默认是≤，所有不等式约束都要变成b
)
(的形式。

f≤
x
函数原型：X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)
f：目标函数的系数列向量
A：不等式约束条件的系数矩阵
b：不等式约束条件的
Aeq：等式约束条件的系数矩阵
beq：等式约束条件的
lb：未知数的下界
ub：未知数的上界
x0：初值
option：选项
例：求解如下规划问题
2、二次规划
函数原型：X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) 将目标函数写成如下形式：
例：求解如下规划问题
3、0-1规划
函数原型：X = bintprog(f,A,b,Aeq,beq,X0,OPTIONS)
例：求解如下规划问题
4、有约束的最值问题
函数原型：X=fimincon(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS) fun ：目标函数
nonlcon ：非线性约束条件函数
例1：
例2：目标函数:2122
12)1()(100)(x x x x f -+-= 约束条件： 12
221≤+x x。