数学建模例题及解析

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例１差分方程—-资金的时间价值

问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起

每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。

a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：

需要借多少钱，用记;

月利率(贷款通常按复利计）用R记；

每月还多少钱用x记;

借期记为N个月。

b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为

ｋ=0，1，２，３，

而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下

(1)

c. （1)的求解。由

（2）这就是之间的显式关系。

d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得

(3）

A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0

A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0

5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的

数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。

注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。

例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对

夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢?

解：现在的问题就是要求使的ｘ，由(2）式知

现=6000０，R=0。01,k=30０，算得x=63２元，这说明这对夫妇有能力买房。例题２恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60００0元，

22年还清，只要;（ｉ）每半个月还31６元；(iｉ）由于文书工作多了的关系要

你预付三个月的款，即316×6=1896元。这对夫妇想:提前三年还清当然是好事,

每半个月还3１6元，那一个月不正好是还632元，只不过多跑一趟去交款罢了；

要预付18%元,当然使人不高兴，但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟，

是１896元的十几倍哪!这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢?这对

夫妇请教你给他们一个满意的回答。

具体解法略.

问题2：养老基金

今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人的养老基

金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，再存入某种利息

较高而又安全的“银行”（也可称为货币市场）到60岁退休时可以动用。也就是

说,若退休金不足以维持一定的生活水平时，就可以动用自己的养老基金，每月

取出一定的款项来补贴不足部分.假设月利率及=0．01不变，还允许在建立养老

A（不论多少），每月存入y元（个人和单基金时自己可以一次性地存入一笔钱0

位投入的总和）；通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简

化的假设，但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。本问题实际上有两个阶段,

即退休前和退休后,其数学模型为

其中x为每月要从养老基金中提出的款项.

习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的

积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为０．01 （以复利计)，每月存入300

元,试问当小李6０岁退休时，他的退休基金有多少？又若,他退休后每月要从银行提取l0０0元，试问多少年后他的退休基金将用完?你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件）。

习题２渔业（林业）管理问题

设某养鱼池（或某海域）一开始有某种鱼条,鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，记第N年有鱼条,则池内鱼数按年的变化规律为

注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的。若对某海域的渔业作业中=1０000０吨,R＝0.02,x＝100０吨，试问会不会使得若干年后就

没有鱼可捕捞了(资源枯竭了）？

例２比例分析法—-席位分配

问题:某学校有三个系联合成立学生会，

(１)试确定学生会席位分配方案。

（2)若甲系有100名，乙系60名,丙系４0名。学生会设2０个席位，分配方案如何？

（3）若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系，分配方案有何变化？（４)因为有2０个席位的代表会议在表决提案时有可能出现１0： 1０的平局，会议决定下一届增加1席,若在第(３）问中将学生会席位增加一席呢?（5)试确定一数量指标衡量席位分配的公平性，并以此检查（1）-（4).

公平而又简单的席位分配办法是按人数的比例分配，若甲系有100名,乙系60名，丙系４0名。学生会设20个席位，三个系分别应有10，6，4个席位.

按比例分配的席位按惯例分配的席位

系别学生人数所占比例

（％）

甲10351．５10.31０

乙6331。56。36

丙3417.０3。４4

总和2０0100.02０。020

19席分配完毕后，剩下的1席按照惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．

因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10:10的平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位，计算的结果令人吃惊：总

系别学生人数所占比例（%）按比例分配的席位按惯例分配的席位

甲１0３５1。510。81511

乙６３3１．5６。６1５7