对口高考中二次函数常见题型
2024年广西中职对口数学高考真题-+参考答案
2024年广西壮族自治区中等职业教育对口升学考试真题数学注意事项：1.本试卷共4页，总分100分，考试时间60分钟，请使用黑色中性笔直接在试卷上作答.2.试卷前的项目填写清楚.题号一二三总分评分人得分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项填入相应题号下）1.已知集合M ={—1,1,x 2},则x 满足（）A.x ≠0且x ≠1B.x ≠-1且x ≠0C.x ≠0D.x ≠±12.函数y=ln √x -1+的定义域为（）A.{x |x ≠0且x ≠1} B.{x |x >1}C.{x |x ≥1}D.{x |0<x <1}3.下列函数为奇函数的是（）A.f (x )=x 2—1B.f (x )=|x |C.21)(x x x f +=D.f (x )=sin 2x 4.下列各值的大小不正确的是（）A.2ln 21<log 23B.(-2)3<(-3)3C.6-2<(-5)-2D.log 23<log 39_____1x (x -1)___5.圆心为(4,-5)且与x 轴相切的圆的方程为（）A.(x -4)2+(y +5)2=42B.(x +4)2+(y -5)2=42C.(x +4)2+(y -5)2=52D.(x -4)2+(y +5)2=526.下列说法正确的是（）A.若直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l //α；B.若直线l 在平面α外,则l //α；C.若l //b，直线b ⊂α,则l //α；D.若l //b ,直线b ⊂α,则l 平行于平面α内无数条直线.7.一个笔筒有2B 24支，另一个笔筒有HB 30支，从中任取一支，则有取法.（）A.24种B.30种C.54种D.720种8.从编号为1,2,3,…,10的大小相同的求中任取4个，则4个球中号码最大为7的概率（）A.212B.152C.74 D.31二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）9.不等式x 2-x -30≤0的解集为.10.已知α是第二象限的角，且tan α=-3，则cos α=.11.已知平面向量a =(1,k)，向量b =(-2,5)，则a //b,则k=.12.过点M(a ,-1),N(2,a )的直线,且与直线2y -x +1=0平行，则a =.13.如图，在正方体ABCD-A1B 1C 1D 1中,则异面直线A 1B 与AD 1所成角大小为.三、解答题（本大题共2小题，共30分，答题时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）14.在等差数列{a n}中，a n=n+8，求S10.（10分）15.某宾馆有相同标准床位100张，根据经验，当宾馆每天的床价不超过100元时，床位可以全部租出去；当床价超过100元时，每提高10元将有5张床空闲，为了提高效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，而且该宾馆每天支出的费用是5000元.(1)当床价为150元时，当天有多少张空床?(2)写出该宾馆一天出租床位的纯收入y与床价x之间的函数关系式.(3)宾馆床价多少时，纯收入最多?2024年广西壮族自治区中等职业教育对口升学考试真题数学（参考答案）一、选择题。
二次函数与一元二次方程不等式6种常见考法归类(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念2一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，我们把使ax 2＋bx ＋c ＝0的实数x 叫做二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数根y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合． 4、简单的分式不等式的解法(1)ax ＋bcx ＋d＞0(＜0)∅(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0). (2)ax ＋bcx ＋d ≥0(≤0)∅⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0(≤0)，cx ＋d ≠0. 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 图示如下： 思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立∅⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 6、利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数．（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． （3）求解所列出的不等式(组)． （4）结合题目的实际意义确定答案． 7、解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．注：(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 8、解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：∅关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.∅关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ∅关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 9、三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：10、根据一元二次不等式解集求参数已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 11、分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是转化为整式不等式求解．化分式不等式为标准形式的方法：移项，通分，不等式右边化为0，左边化为乘积的形式．特别地，形如y 1y 2＞a (a ≠0)的分式不等式，可同解变形为12y 2＞0，故可转化为解y 2(y 1－ay 2)＞0.12、一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 注：(1)一般地，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0)；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)对于x ∅R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0(≤0).(2)在解关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需研究二次项系数为0时是否满足题意． 13、解不等式应用题的步骤考点一 一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论考点三 根据一元二次不等式的解集求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 一元二次不等式的解法1．（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知集合{}|1M x x =>-，{}260N x x x =--<∣，则M N ⋂= ．2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+> （3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-4．（2023·上海·高一专题练习）二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则y >0的解集为（ ） A ．{x |2<x <1} B ．{x |1<x <2} C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <0或x >3}5．（2023秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）关于x 的不等式2230x x --<解集是 ．考点二 含参数的一元二次不等式的解法（一）对二项式系数的讨论6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.7．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.8．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．9．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集. （二）对判别式的讨论10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式210x ax ++<． 11．（2023·全国·高一假期作业）解关于x 的不等式2210x mx m -++>. （三）对两根大小的讨论12．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．13．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->14．（2023秋·高一校考单元测试）已知函数2()(21)2f x ax a x =-++. (1)当2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x ≤..15．（2023·全国·高三对口高考）解关于x 的不等式： (1)22(1)40ax a x -++< (2)(1)(2)02a x a x -+->-考点三 根据一元二次不等式的解集求参数16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．10B ．6C ．0D ．217．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知不等式250ax x b -+>的解集是{}32x x -<<-，则a b +的值为（ ）A ．7-B ．7C ．17-D ．1718．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -19．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-20．【多选】（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{3xx <-∣或4}x >，则下列结论正确的有（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{6}xx <-∣ C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为14xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭ 21．（2023秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知不等式210ax bx +->的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（ ）A ．{3|x x ≤-或2}x -≥B ．{|32}x x --≤≤C ．{|23}x x ≤≤D ．{|2x x ≤或3}x ≥22．【多选】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期中）已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是（ ）A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{}xc xd ≤≤∣的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么43b =或4b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{}xa xb ≤≤∣，那么4b a -= 23．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知函数()()2f x x a b x a =-++．(1)若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．24．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112a <≤ B ．12a << C ．12a ≤< D ．11a -<<25．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法26．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）不等式11x<-的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ． 28．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 29．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 30．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）（1）解关于x 的不等式2340+->x x ； （2）解关于x 的不等式115xx -≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立问题31．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．32．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．33．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．34．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .考点六 一元二次不等式的实际应用35．（2023秋·广西桂林·高一校考期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.36．（2023秋·浙江温州·高一校联考期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 37．（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间的关系为：2202200y x x =-+.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 .38．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,639．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
二次函数考试题型及答案
二次函数考试题型及答案
一、选择题
1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（-1，0），则a和b的取值范围是（）。
A. a>0，b<0
B. a>0，b>0
C. a<0，b<0
D. a<0，b>0
答案：A
2. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，那么下列说法正确的是（）。
A. b^2-4ac>0
B. b^2-4ac=0
C. b^2-4ac<0
D. b^2-4ac≥0
答案：A
二、填空题
3. 将二次函数y=2x^2-4x+1化为顶点式，得到y=2(x-1)^2-1。
4. 若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，-2），（2，1），则a+b+c=（）。
答案：-2
三、解答题
5. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），（2，1），求该二次函数的解析式。
解：将点（0，3）代入得c=3，将点（2，1）代入得4a+2b+3=1，解得
a=-1，b=2，所以该二次函数的解析式为y=-x^2+2x+3。
6. 已知抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（m，0）和B（n，0），且m+n=-1，mn=-2，求抛物线的解析式。
解：由题意可得b=-m-n，c=mn，代入m+n=-1，mn=-2，得b=1，c=-2，所以抛物线的解析式为y=ax^2+x-2。
二次函数考试题目及答案
二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。
又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。
将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。
因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。
由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。
根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。
将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。
因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。
3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。
将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。
又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。
解得a=-2，k=2。
因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。
4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。
将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。
因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。
5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
二次函数的考试常见题型
二次函数的考试常见题型题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法-1.已知二次函数y=x2+4x．(1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.二次函数y=12(x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型二、抛物线的平移1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该二次函数的解析式．(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到.5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是( )A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动题型三、二次函数图象的画法1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个二次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。
高考二次函数试题及答案
高考二次函数试题及答案1. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若其图像经过点（1，3），（2，-1），（3，-3），求a，b，c的值。
解：将点（1，3），（2，-1），（3，-3）代入二次函数f(x)=ax^2+bx+c，得到以下方程组：\begin{cases}a+b+c=3 \\4a+2b+c=-1 \\9a+3b+c=-3\end{cases}解此方程组，得到a=-2，b=4，c=-3。
因此，二次函数的解析式为f(x)=-2x^2+4x-3。
2. 某二次函数的图像开口向上，且经过点（-1，0），（2，0），求该二次函数的解析式。
解：由于二次函数的图像开口向上，可知a>0。
设二次函数的解析式为f(x)=a(x+1)(x-2)。
将点（-1，0）和（2，0）代入解析式，得到a=1。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2。
3. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a>0）的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-1，求b的值。
解：根据题意，二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1和x2。
根据根与系数的关系，有x1+x2=-b/a。
又因为x1+x2=-1，所以-b/a=-1，即b=a。
由于a>0，所以b>0。
4. 某二次函数的图像经过点（0，1），且其顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)^2-4。
将点（0，1）代入解析式，得到a(0-1)^2-4=1，解得a=5。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=5(x-1)^2-4=5x^2-10x+1。
5. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-2，0），（4，0），且在x=2时取得最大值，求a，b，c的值。
解：由于二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点（-2，0），（4，0），可知其对称轴为x=1。
2-3 微专题-涉及面积问题的函数应用题(对口招生、高职考(单考单招)数学总复习)
3 2
8
S x 5 x (0 x )
2
3
【练一练】
2023年宁波市中职一模试卷
如下图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，
CD=6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块
BNPM,使点P在边DE上，求：
（1）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义
DC 2r , AD
6 r 2r
2
1分
1 2
1
6
2
)
所以 S r AD DC ( 2)r 6r (0 r
2
2
2
因为对称轴
r
2分
6
6
(0,
)
4
2
因此窗户透光面积的最大值为
1
6 2
6
18
S max ( 2) (
,求S的最大值（5分）
面积S=_____________
真
题
再
现
解：（1）AD 111 3x 10 3x
2
2分
2
3 2
10 3 x
S x
x 5x
2
2
10 3x
又因为
x 0,
1
2
8
0 x
所以
3
2分
所以窗框面积S关于x的函数关系式为
10( x 2) 2 4120
因为
3分
x (0,8)
故当x=2时，费用最低为4120元
2分
练习： （2022年温州市二模）
34.窗户的形状如图所示，它的上部是半圆形，下部是矩形，如果窗框的外沿的周长固
二次函数综合问题(高考专题,含答案)
二次函数综合问题一、转化为最值问题（值域）1、设m 是实数，记M={m |m >1}，f(x)=log 3(x 2－4mx+4m 2+m+11-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则m ∈M ； (2)当m ∈M 时，求函数f(x)的最小值；(3)求证：对每个m ∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解：(1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log 3［(x －2m)2+m+11-m ］, 当m ∈M 时，m>1,∴(x －m)2+m+11-m >0恒成立，故f(x)的定义域为R 。
反之，若f(x)对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx+4m 2+m+11-m >0。
令Δ＜0，即16m 2－4(4m 2+m+11-m )＜0，解得m>1，故m ∈M 。
(2)解析：设u=x 2－4mx+4m 2+m+11-m ，∵y=log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f(x)最小。
而u=(x －2m)2+m+11-m ，显然，当x=m 时，u 取最小值为m+11-m ，此时f(2m)=log 3(m+11-m )为最小值。
(3)证明：当m ∈M 时，m+11-m =(m －1)+ 11-m +1≥3，当且仅当m=2时等号成立。
∴log 3(m+11-m )≥log 33=1。
2、x x f f bx ax x f a b a ==+=≠)(0)2()(02，并使方程，且，为常数，，已知有等根 （1）求()x f 的解析式；（2）是否存在实数()n m n m <,，使f(x)的定义域和值域分别为[]n m ,和[]n m 2,2。
解：0)2()(12=+=f bx ax x f ，且）（ ∴+=420a b又方程，即f x x ax bx x ()=+=2即有等根ax b x 210+-=()211004)1(2-===⨯⨯--=∆∴a b a b ，从而，即 x x x f +-=∴221)( 2121)1(2121)(222≤+--=+-=x x x x f ）（ 41212≤≤n n ，则有又f(x)在［m ，n ］上是增函数（或对称轴x ＝1≥n ） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤<∴n n f m m f n m 2)(2)(41 解得，m n =-=20∴存在m ＝-2，n ＝0使f(x)的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］。
二次函数与一元二次方程不等式5题型分类(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式5题型分类一、一元二次不等式1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．二、二次函数图象、方程及不等式的关系{x|x＜x_或x＞x} {x|x＜x＜x}R三、常用数集及表示符号x2－y2>0是一元二次不等式吗？此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则0,140,aa>⎧⎨+<⎩解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.四、不等式解法1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式（一）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边.2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系.(3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.题型1：解不含参数的一元二次不等式11．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ）A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >12．（2023秋·湖南长沙·高二长沙一中校联考阶段练习）已知集合{}()()1,0,1,2,3,4,{140}A B xx x =-=+-<∣，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2,3,4-B ．{}0,1,2,3C ．()1,4-D ．()0,313．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设集合{}2|560,{|20}A x x x B x x =-++=-<，则A B =（ ）A ．[1,2)-B ．[3,2)-C ．[2,2)-D ．(2,6]14．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（ ）A ．210x x -+>B ．2210x x -++>C ．225x x ->D ．22x x +<-15．（2023·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集： (1)(2)(3)0x x +->； (2)23710x x -≤； (3)2440x x -+-<； (4)2104x x -+≤； (5)223x x -+≤-； (6)2340x x -+>.16．（2023秋·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考开学考试）解下列不等式： (1)2450x x -++< (2)20252x x ≤-+ (3)2690x x -+≤ (4)290x -≤题型2：解含有参数的一元二次不等式21．（2023·全国·高一专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2{|1}x x a ≤≤ B ．1{|1}x x a ≤≤C ．2{|1}x x x a≤≥或 D ．2{|1}x x x a≤≥或22．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.23．（2023秋·高一课时练习）解关于x 的不等式：2(1)10(R)ax a x a ---<∈．24．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤． 25．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->26．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x的不等式()0f x ≥的解集.27．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）设集合{}25A x x =-≤≤，22{3210}B x x mx m m =-+--<.(1)当x N ∈时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A B B =，求实数m 的取值范围.（二）三个“二次”之间的关系及应用三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．(3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系.（三）分式不等式的解法（1）解分式不等式的策略:对于形如()()()00f x g x ><的不等式可等价转化为()()()00f x g x ><来解决;对于形如:()()()00f x g x ≥≤的不等式可等价转化为()()()00f x g x ≥≤来解决.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．（四）不等式恒成立问题1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，0,0,a >⎧⎨∆<⎩一、单选题1．（2023秋·高一课时练习）不等式201x x -≥-的解集是（ ） A ．{}2x x ≥B ．{1x x ≤或}2x >C ．{}1x x <D ．{1x x <或}2x ≥2．（2023秋·高一课时练习）若01t <<，则不等式()10x t x t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．1|x x t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或C ．1|x x x t t ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D ．1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭3．（2023秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为{}12x x <<，则a b +=（ ） A ．3B ．5C ．1-D ．3-4．（2023·全国·高一专题练习）关于x 的不等式2(2)10x a x a 的解集中，恰有2个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．{}|23a a <≤B ．{}|34a a <≤C ．{|32a a -≤<-或23}a <≤D ．{|32a a -≤<-或34}a <≤5．（2023·全国·高一专题练习）已知一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{13}xx -<<∣，则1b c a-+的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．1D ．26．（2023秋·高一单元测试）已知函数2()f x x tx t =+-（0t <），若集合{|()0,}A x f x x =<∈Z 有且只有一个元素，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞-B ．[9,4]--C ．9[,4)2--D ．9(,4]2--7．（2023秋·吉林长春·高一校考期中）如图是函数2y ax bx c =++的图象，则不等式20ax bx c ++>的解集为（ ） A ．{}2x x >B ．{}2x x >-C ．{|2x x <-或}2x >D ．{}22x x -<<8．（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式240x x m --≥对任意的x ∈R 恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．2B ．2-C ．4-D ．49．（2023·全国·高一专题练习）若命题“R x ∃∈，使得2210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B ．1a ≤-或1a ≥ C ．11a -≤≤ D ．1a <-或1a >二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的值可以是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．511．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|1x x <-或3}x >，则下列结论正确的是（ ）A ．0a <B ．0a b c ++>C ．0c >D ．20cx bx a -+<的解集为1{|3x x <-或1}x >12．（2023秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x 的不等式()240x a x a +-+<的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）A ．0B ．34C ．1D ．4313．（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）下列结论正确的是（ ）A ．不等式(2)03x x x +<-的解集为<2x -或03x << B ．不等式(2)03x x x +<-的解集为20x -<<或3x > C ．不等式1611x x <--的解集为3x <-或15x << D ．不等式1611x x <--的解集为31x -<<或5x > 14．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式230ax ax -+<的解集为∅，则实数a 可能是（ ）A ．0B ．2C ．9D ．13三、填空题15．（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）不等式282x x ->的解集是 .16．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式()200ax bx c a ++<≠的解是{2x x <或}3x >， 不等式20bx ax c ++>的解集为 .17．（2023·全国·高一专题练习）对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是 ．18．（2023·全国·高一课堂例题）当1x >时，不等式290x ax ++>恒成立，则实数a 的取值范围为 . 19．（2023秋·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）不等式212x x ≤-的解集为 . 20．（2023秋·全国·高一专题练习）若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为 .四、解答题21．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）解下列不等式：(1)260x x --+> (2)512x ≤- 22．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）解下列不等式：(1)22320x x -->(2)2350x x -+>(3)2620x x --+≥(4)2414x x -≥-23．（2023·全国·高一专题练习）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤； (3)5132x x +≤-； (4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.24．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式：20x x a ++<（R a ∈）；25．（2023秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于x 的不等式: 2(21)20ax a x -++<.26．（2023秋·广东东莞·高一校联考期中）设()()212f x x a x a =--+-.(1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()()0R f x a <∈.。
二次函数常见题型.doc
二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以x为自变量的二次函数y = (m - 2)x2 +m2 -m- 2的图像经过原点，则m的值是.2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y = kx + b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y = kx2 +hx一1的图像大致是( )3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如:已知一条抛物线经过(0,3), (4,6)两点，对称轴为x = \求这条抛物线的解析式。
34.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题,如：已知抛物线y = ax2 +bx + c (a/0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵(1)确定抛物线的解析式：(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】山抛物线的位置确定系数的符号例1 (1)二次函数y = ax2+bx + c的图像如图1,则点M (b,$)在() aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c (a夭0)的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=l和x二3时，函数值相等;③4a+b二0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.(5, 24).例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2, 0) > (xi, 0)，且l<x)<2，与y 轴 的正半轴的交点在点(0, 2)的卜方.下列结论：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0； @2a-b+l>0, 其中正确结论的个数为() A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案:D会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的—个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为() A(2, -3) B. (2, 1) C(2, 3) D. (3, 2)答案：C例4、(2006年烟台市)如图(单位：m),等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方 形移动，直到AB 与CD 重合.设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的而积为ym 2.(1)写出y 与x 的关系式;(2) 当x=2, 3. 5时，y 分别是多少？(3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴.例5、己知抛物线y= — x 2+x--. '2 2(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与一 元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax 2-(b+l)x-3a 的图象经过点P (4, 10),交x 轴于人(知0) , B(x 2,O) 两点(%! < x 2),交y 轴负半轴于(\点，旦满足3A0=0B. (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角ZMC0>ZAC0?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理山.(1) 解：如图..•抛物线交x 轴于点A3, 0), B(x2, 0),则 xi • X 2=3<0,又 Vxi<X2,A X 2>0, XI <0, ...30A=0B, .e.x 2=-3xi./.xi • X2=-3XI 2=-3. /.XI 2=1.xi<0, /. xi=-l. 「・• X2=3..••点A(-l, 0), P(4, 10)代入解析式得解得a=2 b=3....二次函数的解析式为尸2X 2-4X -6. (2) 存在点 M 使ZMC0<ZAC0.(2)解：点A 关于y 轴的对称点A' (1, 0),・・・直线A, C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0, -6), ..・符合题意的x 的范围为-l<x<0或(Kx<5.当点M 的横坐标满足-Kx<0或0<x<5时，ZMCOZACO.例7、 “己知函数y = +hx + c 的图象经过点A (c, 一2), 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。
二次函数实际问题易考题型总结(全)
二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。
解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。
经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。
解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。
分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。
2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。
二次函数3大题型6个考向
二次函数3大题型6个考向二次函数3大题型6个考向
目录1
二次函数的图象与性质
1.考向1二次函数的图象与性质
2.考向2二次函数图象与系数的关系
二次函数的图象与性质问题一般有两种命题形式：
•①给出函数解析式，分析函数的性质；
•②给出函数图象，分析系数之间的关系。
此类题型综合性较强，
通常运用数形结合的思想求解。
解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质及图象与系数的关系。
二次函数解析式的确定
二次函数的实际运用
二次函数的实际应用问题有四种常见类型：•①增长率问题;
•②利润最值问题；
•③图形面积问题；
•④抛物线型问题。
常与求最值结合考查。
解决此类问题的关键是根据题意求出二次函数的解析式，运用二次函数的性质结合自变量的取值范围确定最值须注意，自变量的取值范围要使实际问题有意义。
二次函数的考试常见题型
⼆次函数的考试常见题型⼆次函数的考试常见题型1.已知⼆次函数y=x2+4x．(1)⽤配⽅法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.⼆次函数y=12(x-4)2+5的图象的开⼝⽅向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知⼀抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型⼆、抛物线的平移1.(⽢肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直⾓坐标平⾯内，⼆次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该⼆次函数的解析式．(2)将该⼆次函数图象向右平移⼏个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另⼀个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度⽽得到.5.已知⼆次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动⽅向的描述中，正确的是( )A.先往左上⽅移动，再往左下⽅移动B.先往左下⽅移动，再往左上⽅移动C.先往右上⽅移动，再往右下⽅移动题型三、⼆次函数图象的画法1.(⼴东梅州中考题)已知⼆次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求⼆次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个⼆次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。
河南职高对口升学数学专题训练：一次函数二次函数及复合函数
一次函数二次函数及复合函数1.若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－52)B ．(52，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (2)<0，即4－4m ＋4<0⇒m >2，故选D.2．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是( )[答案] C[解析] 若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理由f (x )图象开口向下，导函数f ′(x )为减函数，排除D ；又f (x )单调增时，f ′(x )在相应区间内恒有f ′(x )≥0，排除B ，故选C.3．(文)已知二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b ]上的值域为[f (b )，f (a )]，则( )A ．x 0≥bB ．x 0≤aC ．x 0∈(a ，b )D ．x 0∉(a ，b )[答案] D[解析] ∵f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[f (b )，f (a )]，且f (x )为二次函数， ∴f (x )在[a ，b ]上单调递减，又f (x )对称轴为x ＝x 0，开口方向未知， ∴x 0≤a 或x 0≥b ，即x 0∉(a ，b )．(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( ) A ．a <－1 B ．a >1 C ．－1<a <1 D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，显然不合题意． ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝2a －2，∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.4．函数f (x )对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (2－x )．如果方程f (x )＝0恰有2013个实根，则所有这些实根之和为( )A ．0B ．2013C ．4026D ．8052[答案] B[解析] ∵x ∈R 时，f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，实根之和为1×2013＝2013.5．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a >1 D ．a ≥1 [答案] D[解析] 数形结合判断．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2][答案] A [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x2⇒－1≤x ≤0或0<x ≤1⇒－1≤x ≤1，故选A.[点评] 可取特值检验，如x ＝－2,2可排除B 、C 、D.7．已知y ＝f (x )是奇函数．若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________. [答案] 3[解析] 本题考查了奇函数的定义及函数值的求法． ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∵g (1)＝f (1)＋2 ①，g (－1)＝f (－1)＋2 ②， ∴①＋②得g (1)＋g (－1)＝4， ∴g (－1)＝4－g (1)＝3.[点评] 抓住已知条件f (x )的奇函数是解决本题的关键．8．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)的一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．[答案] 0或－1[解析] 由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a ，∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)，令g (x )＝0，则x ＝0或x ＝－1.9．函数f (x )＝(a ＋1)x ＋2a 在[－1,1]上的值有正有负，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－13，1)[解析] 由条件知，f (－1)·f (1)<0， ∴(a －1)(3a ＋1)<0，∴－13<a <1.10．(文)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3在[m,0]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．[答案] [－2，－1][解析] f (x )＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，对称轴x ＝－1，开口向上，f (－1)＝2，∴m ≤－1.又f (0)＝f (－2)＝3，∴m ≥－2，故m ∈[－2，－1]．(理)设函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋4，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0时，有f (x 1)>f (x 2)，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] 由题意得1－2a 2>0，得a <12.能力拓展提升11.已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：函数y ＝(2a －1)x为减函数，若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，23]B ．(0，12)C ．(12，23]D ．(12，1)[答案] C[解析] 命题p 等价于3a 2≤1，即a ≤23.命题q ：由函数y ＝(2a －1)x为减函数得：0<2a－1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23，因此选C.12．函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且f (x ＋1)为奇函数，当x >1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )图象的所有交点的横坐标之和是( )A ．1B ．2C ．4D ．5 [答案] D[解析] 该函数图象与直线y ＝2有三个交点(x 1,2)，(x 2,2)，(x 3,2)，x 1＝－1，x 2＋x 3＝6(其中(x 2,2)，(x 3,2)关于直线x ＝3对称)，则横坐标之和为5.13．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2][答案] D[解析] 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.14．(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于________．[答案] 2[解析] ∵f(x)＝(x－1)2＋1，∴f(x)在[1，b]上是增函数，f(x)max＝f(b)，∴f(b)＝b，∴b2－2b＋2＝b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝2或1(舍)．(理)已知函数f(x)的自变量的取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．函数f(x)＝x2的形如[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))的保值区间是________．[答案] [1，＋∞)[解析] 因为f(x)＝x2在[n，＋∞)(n∈(0，＋∞))上单调递增，所以f(x)在[n，＋∞)上的值域为[f(n)，＋∞)，若[n，＋∞)是f(x)的保值区间，则f(n)＝n2＝n，解得n＝1.15．(文)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．[解析] 要使函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)有意义，应有3－4x ＋x 2>0， 解得x <1或x >3，∴M ＝{x <1或x >3}．f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2，令2x＝t ，∵x <1或x >3，∴t >8或0<t <2. ∴y ＝4t －3t 2＝－3(t －23)2＋43(t >8或0<t <2)，由二次函数性质可知， 当0<t <2时，f (x )∈(－4，43]；当t >8时，f (x )∈(－∞，－160)； 当2x＝t ＝23，即x ＝log 223时，y ＝43.综上可知，当x ＝log 223时，f (x )取到最大值为43，无最小值．(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116，∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.*16.(文)(2011·西安检测)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值．[分析] (1)f (x )为偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x 取值的分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数．[解析] (1)由f (x )为偶函数知，f (－x )＝f (x )， 即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0. (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1≤x <a2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1. 由a 24－(a －1)＝a －224>0，知f (x )的最小值为a －1.(理)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2.∵x ≥1时，f ′(x )＝1－12x 2>0，∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)解法1：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立⇔a >－x 2－2x 恒成立⇔a >(－x 2－2x )max ，x ≥1.∵－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1， ∴当x ＝1时，(－x 2－2x )max ＝－3， ∴a >－3.解法2：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， ∴y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， ∴a >－3.1．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2][答案] C[解析] 如图所示．∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∵f(0)＝3，f(1)＝2，且f(2)＝3，可知只有当m∈[1,2]时，才能满足题目的要求．2．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－b2a<0，∴b<0，从而c>0，与A图不符；B中－b2a>0，∴b>0，∴c<0，与B图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，当b>0时，有c>0与C、D图不符，当b<0时，有c<0，此时－b2a>0，f(0)＝c<0，故选D.3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b[答案] A[解析] 设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.4．若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >(12)a >(0.2)aB ．(0.2)a>(12)a >2aC ．(12)a >(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a>(12)a[答案] B[解析] 若a <0，则幂函数y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数， 所以(0.2)a >(12)a >0.所以(0.2)a>(12)a >2a .5．(2012·江苏，5)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 要使函数有意义，应有被开方数大于或等于零． 由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 66，∴0<x ≤6， ∴函数的定义域为(0，6]．6．已知关于x 的函数f (x )＝x 2－2x －3，若f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．[答案] －3[解析] ∵二次函数f (x )＝x 2－2x －3中，a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，∴由f (x 1)＝f (x 2)得，x 1＋x 22＝－b2a＝1，所以x 1＋x 2＝2，则f (x 1＋x 2)＝f (2)＝－3.7．已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b (a >0，b >0)，若f (0)＝4，则f (1)的最大值为________．[答案] 7[解析] ∵f (0)＝4，∴a ＋2b ＝4，∴f (1)＝ab ＋a ＋2b ＋1＝ab ＋5，∵a >0，b >0，∴4＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤2，等号在a ＝2b ＝2，即a ＝2， b ＝1时成立．∴f (1)＝ab ＋5≤7.8．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．[解析] (1)由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝a ·－32＋b －8·－3－a －ab ，0＝a ·22＋b －8·2－a －ab ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)如图，由图象知，函数f (x )在[0,1]内单调递减，∴当x ＝0时，y ＝18，当x ＝1时，y ＝12，∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)解法1：令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c . ∵g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (x )max ＝g (1)≤0，即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等于ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．解法2：不等式－3x 2＋5x ＋c ≤0在[1,4]上恒成立，即c ≤3x 2－5x ，在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，∴g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.。
二次函数常见题型总结
二次函数常见题型总结题型一：二次函数解析式的求法1．抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求二次函数的解析式。
2．已知抛物线经过点)0,1(，且顶点为)1,2(-，求抛物线的解析式。
3．已知二次函数的图像关于直线x=3对称，最小值是0，与y 轴交于（0，1）点，求这个二次函数。
4．二次函数的图像经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3，求二次函数的解析式。
5．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y 轴交点的纵坐标是-32； （1） 确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。
题型二：二次函数的概念、解析式1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ．21y x =+ ；B ．22(2)y x x =--； C ．22y x=； D ．2(1)y x x =+ ． 2．已知二次函数的图像开口向上，且与y 轴的负半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式是______．3．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 4．一条抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的左侧，请写出一个符合条件的抛物线的解析式 ．（只需写一个）题型三：二次函数的平移1．抛物线23x y -=向左平移2个单位后得到的抛物线为（ ）（A ）232+-=x y ； （B ）232--=x y ； （C ）2)2(3+-=x y ； （D ）2)2(3--=x y ．2．在直角坐标平面上，将函数2y x =的图象向上平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ）A ．22y x =-B ．2(2)y x =-C ．22y x =+D ．2(2)y x =+ 3．将抛物线22y x =向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（ ） A ．222+=x y ；B ．2)2(2+=x y ；C ．2)2(2-=x y ；D ．222-=x y ．4．将二次函数22+=x y 的图像沿y 轴方向向下平移3个单位,则所得图像的函数解析式是_________________.5．将抛物线22(1)3y x =-+向左平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________． 6. 把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： .7. 抛物线y ＝22(1)3x -++向左平移1个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线解析式为10. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是（ ）.（A ）沿y 轴向上平移1个单位； （B ）沿y 轴向下平移1个单位； （C ）沿x 轴向左平移1个单位； （D ）沿x 轴向右平移1个单位.题型四：二次函数与坐标轴的交点 1．二次函数2322-=x y 的图像与y 轴的交点坐标是 ． 2. 函数322++-=x x y 的图像与y 轴的公共点坐标是 ．3．已知抛物线m x m x y ++-=)1(2与y 轴交于点)3,0(-P ，则=m ． 4．若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是__________.题型五：二次函数的对称轴、顶点坐标1．二次函数562-+=x x y 的图像的对称轴是直线 ． 2．二次函数122--=x x y 图像的对称轴是直线（ ）（A ）1=x （B ）2=x （C ）1-=x （D ）2-=x 3．抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ． 4．抛物线23y x =+的顶点坐标是__________．5．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 . 6．抛物线142+-=x x y 的顶点坐标为 ． 7．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) （A ）2)1(21-=x y ； （B ）3212+=x y ；（C ）3)1(212++=x y ；（D ）3)1(212+-=x y .【练习一】一、 选择题1、二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（ ） Ａ．()13-，Ｂ．()13，Ｃ．()13--，Ｄ．()13-，2、已知函数22y x =的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）．Ａ．22(2)2y x =++Ｂ．22(2)2y x =+-Ｃ．22(2)2y x =--Ｄ． 22(2)2y x =-+3、二次函数2365y x x =--+的最大值为（ ）A ．8B ．-8C ．2D ．-44、若二次函数c x x y +-=62的图像过321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-）,则321,,y y y 的大小关系是 ( )A 、321y y y >>B 、231y y y >>C 、312y y y >>D 、213y y y >> 5、如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x=-D ．212y x =二、填空 1、若把二次函数化为的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、二次函数的图像与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标为3、抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．4、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点(31)，；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2． 三、解答题：1、已知二次函数y= 2x 2-4x-6.（1）用配方法将y = 2x 2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 +k 的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？ （4）当x 取何值是，0,0 y y =，y<0，（5）当04x 时，求y 的取值范围；（6）求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。
《二次函数》题型总结
二次函数题型总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ①y=2x 2； ①y=2x 2+4x ； ①y=－3x ； ①y=－2x －1； ①y=mx 2+nx+p ； ①y =； ①y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x -x 1)(x -x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
2024四川对口高考数学试卷
2024四川对口高考数学试卷一、若函数f(x)的定义域为全体实数，且对于任意实数x，都有f(x+2)=f(x)，则函数f(x)的周期为A. 1B. 2C. 3D. 4（答案）B解析：根据周期函数的定义，如果存在一个正数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称T为函数f(x)的周期。
题目中给出f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2。
二、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，q=3，则S4等于A. 20B. 40C. 62D. 80（答案）D解析：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-qn)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比。
将a1=2，q=3，n=4代入公式，得到S4=2(1-34)/(1-3)=80。
三、若直线l经过点A(1,2)和点B(3,4)，则直线l的斜率k为A. 1B. 2C. -1D. -2（答案）A解析：直线的斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两点。
将点A(1,2)和点B(3,4)代入公式，得到k=(4-2)/(3-1)=1。
四、已知圆C的圆心为C(2,3)，半径为r=4，则圆C的方程为A. (x-2)2+(y-3)2=4B. (x-2)2+(y-3)2=16C. (x+2)2+(y+3)2=4D. (x+2)2+(y+3)2=16（答案）B解析：圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径。
将圆心C(2,3)和半径r=4代入公式，得到圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=16。
五、已知随机事件A发生的概率为P(A)=0.6，随机事件B发生的概率为P(B)=0.5，且事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B同时发生的概率P(AB)为A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4（答案）C解析：如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B同时发生的概率P(AB)等于事件A发生的概率P(A)与事件B发生的概率P(B)的乘积。
专题5.4 求二次函数解析式常考类型六大题型解析版
专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023秋•海淀区期中）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．【变式1-1】（2023秋•昌平区期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式 ．【变式1-2】（2022秋•伊川县期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．【答案】见试题解答内容【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．【变式1-3】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（ ）A．y＝﹣（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x+2）2+3D．y＝﹣（x﹣2）2+3【答案】D【解答】解：A．y＝﹣（x+2）2﹣3，顶点坐标为（﹣2，﹣3），故不符合题意；B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3；顶点坐标为（2，﹣3），故不符合题意；C．y＝﹣（x+2）2+3，顶点坐标为（﹣2，3），故不符合题意；D．y＝﹣（x﹣2）2+3，顶点坐标为（2，3），故符合题意；故选D．【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2=++y ax bx c （a，b，c为常数，0a¹），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；【典例2】（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【变式2-1】（2022秋•新罗区校级月考）求经过A（﹣1，﹣5）、B（0，﹣4）、C（1，1）三点的抛物线的表达式？【答案】y＝2x2+3x﹣4．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y＝2x2+3x﹣4．【变式2-2】（2023春•海淀区校级期末）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．【答案】y＝2x2﹣x+2．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣x+2．【变式2-3】（2023秋•崆峒区校级月考）已知二次函数过点A（﹣1，2），B （1，﹣4），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】y＝﹣4x2﹣3x+3．【解答】解：由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣4x2﹣3x+3．【变式2-4】（2023秋•博乐市月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABP的面积．【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）27．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），∴y＝﹣x2+4x+5；（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，则P点坐标为（2，9），而AB＝6，所以△ABP的面积＝×6×9＝27．【题型3 顶点式】【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k-=2．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x = h，最值为当x = h hy+ax时，y最值=k来求出相应的系数.【典例3】（2023秋•龙马潭区月考）若抛物线的顶点坐标是A（﹣1，﹣3），并且抛物线经过点B坐标为（1，﹣1）．（1）求出该抛物线的关系式；（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大．【答案】（1）y＝（x+1）2﹣3．（2）x＞﹣1．【解答】解：（1）设抛物线解析式y＝a（x+1）2﹣3（a≠0）．把点B（1，﹣1）代入，得a（1+1）2﹣3＝﹣1，解得a＝．故该抛物线解析式为：y＝（x+1）2﹣3；（2）∵y＝（x+1）2﹣3．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．【变式3-1】（2023秋•临潼区月考）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2），且过点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）试判断点B（1，﹣6）是否在此函数图象上．【答案】（1）该抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2；（2）点P不在此函数图象上，理由见解析过程．【解答】解：（1）因为二次函数的顶点为P（﹣2，2），则设二次函数解析式为y＝a（x+2）2+2，将点A（0，﹣2）代入得，a×（0+2）2+2＝﹣2，解得a＝﹣1，所以该抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2．（2）点B不在此函数图象上．将x＝1代入函数解析式得，y＝﹣（1+2）2+2＝﹣7≠﹣6．所以点P不在此函数图象上．【变式3-2】（2023秋•越秀区校级月考）已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，﹣3），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（3，﹣4）、D（1，0）是否在该函数图象上，并说明理由．【答案】（1）y＝3（x﹣2）2﹣3；（2）点C（3，﹣4）不在该函数图象；D（1，0）在该函数图象上．【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣3，把B（3，0）代入得a×（3﹣2）2﹣3＝0，解得a＝3，所以改二次函数的解析式为y ＝3（x ﹣2）2﹣3；（2）点C （3，﹣4）不在该函数图象；D （1，0）在该函数图象上．理由如下：当x ＝3时，y ＝0≠﹣4，所以点C （3，﹣4）不在该函数图象上；当x ＝1时，y ＝3（1﹣2）2﹣3＝0，所以点D （1，0）在该函数图象上．【题型4两根式】【方法点拨】已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．【典例4】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5），点D 是抛物线的顶点，过D 作x 轴垂线交直线BC 于E ．（1）求此二次函数解析式及点D 坐标．（2）连接CD ，求三角形CDE 的面积．（3）ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围是 x ＜﹣1或x ＞5 ．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）6；（3）x ＜﹣1或x ＞5．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），把C（0，﹣5）代入得﹣5＝a×（0+1）×（0﹣5），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5；∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴D（2，﹣9），（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（5，0），C（0，﹣5）分别代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，∴E（2，﹣3），∴三角形CDE的面积＝×（﹣3+9）×2＝6；（3）当x＜﹣1或x＞5时，y＞0，故答案为：x＜﹣1或x＞5．【变式4-1】（2023秋•广西月考）若二次函数的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】y＝﹣x2+2x+3．【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入可得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3．【变式4-2】（2023秋•长沙月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣3）、（1，0）和C（﹣3，0）．求此二次函数的解析式．【答案】y＝x2+2x﹣3．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（1，0）和C（﹣3，0）．∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x+3），∵A（0，﹣3）在抛物线上，∴﹣3a＝﹣3，即a＝1，∴二次函数解析式为：y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3．【变式4-3】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC，∴OC＝OB＝3，∴C（0，3），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入得，﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．如图，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点E．设直线BC的解析式为y＝kx+3，将（3，0）代入得，0＝3k+3，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴E（1，2），∴DE＝4﹣2＝2，∴S＝•DE•OB＝×2×3＝3△CDB【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2．【变式5-1】（2022秋•洪山区期中）将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为（ ）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6【答案】D【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+6，故选：D．【变式5-2】（秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，∴新抛物线经过点（1，5），∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，∴（1﹣m）2＝4，∴1﹣m＝±2，∴m1＝﹣1，m2＝3．∵m＞0，∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．（2）∵与y轴的交点坐标，∴设交点为（0，y），∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，∴与y轴的交点坐标为（0，15）．【变式5-3】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【解答】解：∵a+b+c＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∵向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），∴原抛物线的顶点坐标为（3，1），设抛物线顶点式形式y＝a（x﹣3）2+1，则a（1﹣3）2+1＝0，解得a=−1，4所以，原抛物线的解析式为y=−1（x﹣3）2+1．4【变式5-4】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD的解析式．【解答】解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A点坐标为（1，0），把x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝4﹣4﹣3＝﹣3，则M点坐标为（﹣2，﹣3），y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则P点坐标为（﹣1，﹣4），作MH⊥x轴于H，∵AH＝1﹣（﹣2）＝3，MH＝3，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠OAD＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∴OA＝OD＝1，∴D点坐标为（0，﹣1），AD=∴点A沿射线AD D重合，即点A平移到点D，∴抛物线沿射线AD1个单位，再向下平移1个单位，∵点P（﹣1，﹣4）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到的点的坐标为（﹣2，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣5＝y＝x2+4x﹣1．【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【典例6-1】（2022秋•上城区月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x 轴对折后的函数表达式是 y＝3（x﹣2）2+7 ．【答案】y＝3（x﹣2）2+7．【解答】解：抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（2，﹣7）．∵二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后开口方向相反，形状不变，顶点坐标为（2，7）∴y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是y＝3（x﹣2）2+7．故答案为：y＝3（x﹣2）2+7．【典例6-2】（2022秋•汉阳区校级月考）抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝ ﹣1 ，b＝ 6 ，c＝ ﹣11 ．【答案】﹣1；6；﹣11．【解答】解：y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，顶点（3，﹣2）绕其顶点旋转180°后顶点不变，仍为（3，﹣2），但开口向下，所以，抛物线为y＝﹣（x﹣3）2﹣2＝﹣x2+6x﹣11．所以a＝﹣1，b＝6，c＝﹣11．故答案为：﹣1；6；﹣11．【变式6-1】（2022秋•萧山区月考）抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为 y＝（x﹣3）2﹣4 ．【答案】y＝（x﹣3）2﹣4．【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4的顶点为（﹣3，﹣4），∴抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线的顶点为（3，﹣4），∴抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，故答案为：y＝（x﹣3）2﹣4．【变式6-2】（2022秋•汉川市月考）若抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a+c＝ 1 ．【答案】1．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，∴ax2+c＝﹣（﹣4x2+3），即ax2+c＝4x2﹣3，∴a＝4，c＝﹣3．∴a+c＝4﹣3＝1．故答案为：1．【变式6-3】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y 轴对称后得到的图象的函数关系式为 y＝（x+1）2+2 ．【答案】y＝（x+1）2+2．【解答】解：函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称后的顶点坐标为（﹣1，2），所以得到的图象的函数解析式是y＝（x+1）2+2；故答案为：y＝（x+1）2+2．【变式6-4】（2021秋•闽侯县期中）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为 y＝﹣2（x+3）2﹣1 ．【答案】y＝﹣2（x+3）2﹣1【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2+1顶点坐标为（3，1），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣1），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y＝﹣2（x+3）2﹣1．故答案为：y＝﹣2（x+3）2﹣1．【变式6-5】（2023•雁塔区校级三模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，﹣6）．抛物线L′与L关于x轴对称，点B在L'上的对应点为B′．（1）求抛物线L的表达式；（2）抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣2x﹣6；（2）抛物线L'的对称轴上存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形，点P的坐标为（2，8）或（2，﹣4）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，﹣6），∴，解得：．∴抛物线L的表达式为y＝﹣2x﹣6；（2）抛物线L'的对称轴上存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形，∵抛物线L′与L关于x轴对称，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣+2x+6，∴抛物线L′的对称轴为直线x＝2．∵点B（4，﹣6）与点B′关于x轴对称，∴B′（4，6）．设直线AB′的解析式为直线y＝kx+m，∴，解得：，∴直线AB′的解析式为直线y＝x+2．∵△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形，∴PB′⊥AB′或PA⊥AB′，当PB′⊥AB′时，设直线PB′的解析式为y＝﹣x+n，∴﹣4+n＝6，∴n＝10，∴直线PB′的解析式为y＝﹣x+10，当x＝2时，y＝﹣2+10＝8，∴P（2，8）；当PA⊥AB′时，设直线PA的解析式为y＝﹣x+a，∴﹣（﹣2）+a＝0，∴a＝﹣2，∴直线PA的解析式为y＝﹣x﹣2，当x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴P（2，﹣4）．综上，抛物线L'的对称轴上存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形，点P的坐标为（2，8）或（2，﹣4）．【变式6-6】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D 不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，设M （m ，m 2+2m ﹣3），N （n ，﹣n 2+2n +5），则F （m ，2m +1），E （n ，2n +1），∴MF ＝2m +1﹣（m 2+2m ﹣3）＝﹣m 2+4，NE ＝﹣n 2+2n +5﹣2n ﹣1＝﹣n 2+4，∵﹣2＜m ＜2，﹣2＜n ＜2，∴当m ＝0时，MF 有最大值4，当n ＝0时，NE 有最大值4，∵S 四边形CMDN ＝S △CDN +S △CDM ＝×4×（MF +NE ）＝2（MF +NE ），∴当MF +NE 最大时，四边形CMDN 面积的最大值为16．。
对口高考中二次函数常见题型
对口高考中二次函数常见题型一般地，给定a，b，c∈R且a≠0，函数f（x）=ax2+bx+c，x∈R叫做一元二次函数，简称为二次函数。
作为最基本的初等函数，可以以它来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可以建立函数、方程、不等式之间的有机联系。
学习二次函数，可以从两方面入手：一是解析式，二是图象特征。
从解析式出发可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法。
本文将从以下几种类型研究二次函数。
一、待定系数法求二次函数解析式如果已知函数图象上的三点坐标，可以设解析式为f （x）=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c待定，然后利用已知条件列出关于a，b，c的三个方程构成的方程组，求出a，b，c的值。
如果已知抛物线的顶点坐标为（h，k），则可设解析式为f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），然后根据其他条件，转化成关于a的方程，求出系数a。
如果已知抛物线与轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）则可设解析式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）然后根据其他条件，转化成关于a的方程，求出系数a。
二、函数的实际应用利用一元二次函数的最值可以解决一些有关图形面积及商品利润等实际问题。
例如，某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，每套设备的月租金为260元时，恰好全部租出。
在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的设备每套每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。
设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益为y（元）。
（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，租赁公式出租该型号设备的月收益最大为多少元？可得y=x（40- ）- ×20化简得y=- x2+64x+520转化为二次函数求最值。
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对口高考中二次函数常见题型
一般地，给定a，b，c∈R且a≠0，函数f（x）=ax2+bx+c，x∈R叫做一元二次函数，简称为二次函数。
作为最基本的初等函数，可以以它来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可以建立函数、方程、不等式之间的有机联系。
学习二次函数，可以从两方面入手：一是解析式，二是图象特征。
从解析式出发可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法。
本文将从以下几种类型研究二次函数。
一、待定系数法求二次函数解析式
如果已知函数图象上的三点坐标，可以设解析式为f （x）=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c待定，然后利用已知条件列出关于a，b，c的三个方程构成的方程组，求出a，b，c的值。
如果已知抛物线的顶点坐标为（h，k），则可设解析式为f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），然后根据其他条件，转化成关于a的方程，求出系数a。
如果已知抛物线与轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，
0）则可设解析式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）然后根据其他条件，转化成关于a的方程，求出系数a。
二、函数的实际应用
利用一元二次函数的最值可以解决一些有关图形面积及商品利润等实际问题。
例如，某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，每套设备的月租金为260元时，恰好全部租出。
在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的设备每套每月需支出费用（维护费、管理费等）20元。
设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益为y（元）。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，租赁公式出租该型号设备的月收益最大为多少元？
可得y=x（40- ）- ×20化简得y=- x2+64x+520转化为二次函数求最值。
二次函数，作为最基本、最重要的初等函数，是对口高考中必考的“一道菜”，通过灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素养，考查学生分析问题和解决问题的能力。
编辑温雪莲。