1996年广东高考文科数学真题及答案

1996年广东高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7I =，集合{}{}1,3,5,7,3,5A B ==．则 A ．I AB = B ．I A B =C ．I A B =D ．I A B =【答案】C【解析】显然C 正确．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>或sin x <，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ． 4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===--．5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有5252240A A =．6．已知α是第三象限角且24sin 25α=-，则tan 2α=A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】D【解析】由已知得7cos 25α=-，所以2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-=== 71()42524325--==--．7．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 8．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-．9．中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为12的椭圆方程是 A ．22143x y +=B．22134x y +=C ．2214x y +=D ．2214y x += 【答案】A【解析】由题设可得214,2a c c a ==，解得2,1a c ==，所以椭圆方程是22143x y +=．10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240︒，该圆锥的体积是A ．81 B ．881π C ．81 D ．1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r ，则224021360r ππ︒=⨯︒，得23r =，则圆锥高为3=，圆锥的体积是212()33381π=．11．椭圆222515091890x x y y -+++=的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】椭圆的标准方程为2222(1)(3)153y x +-+=，而2222153y x +=的焦点为(0,4)±，所以2222(1)(3)153y x +-+=的焦点坐标是(3,3),(3,5)-．12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，222AC aBO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以23112232212D ABC a V a a -=⋅⋅=．13．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．14．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 的距离为223ab c a b =+，则 22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或23e =，又0ab <<，所以e ==>3e =15． ()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点(2,3)-与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离是5，则p = ． 【答案】45=，解得4p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，222,,BF a BC a FC FD CD ===+=2222cos602AD FA AD FA CD a +-⋅︒+=，2222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式log (1)1a x a +->．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）1>a 时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩——2分解得21x a >-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩ ——7分解得121a x a -<<-． 10分综上，当1>a 时，不等式的解集为{}21x x a >-；当01a <<时，不等式的解集为{}121x a x a -<<-． ——11分21．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若3692S S S +=，求数列的公比q ． 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若1q =，则有3161913,6,9S a S a S a ===．但10a ≠，即得3692S S S +≠，与题设矛盾，故1q ≠． ——2分又依题意3692S S S +=可得369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---．整理得363(21)0q q q --=．由0q ≠得方程63210q q --=．33(21)(1)0q q +-=， —— 9分∵ 31,1q q ≠≠，∴3210q +=，∴2q =-． ——12分22．（本小题满分11分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 解法一：由题设条件知60,120B AC =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)2A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos 3)022A C A C --+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C--=．从而得cos22A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B AC =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——11分23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB a ==，,E F 分别是11,BB CC 上的点，且,2BE a CF a ==．（Ⅰ）求证：面AEF ⊥面ACF ； （Ⅱ）求三棱锥1A AEF -的体积．（Ⅰ）证明： ①∵,2BE a CF a ==，//BE CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ．∴DBE DCF ∆∆，∴DB BEDC CF=． ② ． ∴DB AB =．③ ． ∴DA AC ⊥．④ ． ∴FA AD ⊥．⑤ ． ∴AEF ⊥面ACF ． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵:1:2BE CF =，∴2DC DB =，∴DB BC =， ——1分③∵ABD ∆是等腰三角形，且120ABD ∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴90CAD ∠=︒， —— 3分 ④∵FC ⊥面ACD ，∴CA 是FA 在面ACD 上的射影，且CA AD ⊥， —— 5分 ⑤∵FA AC A =，DA ⊥面ACF ，DA ⊂面ADF ，∴面ADF ⊥面ACF ． 7分 （Ⅱ）∵11A AEF E AA F V V --=，在面111A B C 内作111B G AC ⊥，垂足为G ．12B G =． 面111A B C ⊥面1A C ，∴1B G ⊥面1A C ，∵1E BB ∈，而1//BB 面1A C ，∴三棱柱1E AA F -的高为2．——9分121122A FA S AA AC ∆=⋅=． ——10分∴1134A AEF E AA FV V --==． ——12分24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷． 依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22A B 的值．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩ ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分 于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分 ∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）双曲线122=-x y 的顶点为(0,1),(0,1)-．取1(0,1)A时，有1(01k =，解得12k =．从而211k k =-= ——8分将2k =230x ++=． ⑤记2l 与双曲线的两交点为211222(,),(,)A x y B x y ，则 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y x x x x x x =-+-=-=+-．由⑤知1212)3x x x x +=-=．∴2222260,A B A B == ——11分当取1(0,1)A -时，由双曲线122=-x y 关于x轴的对称性，知22A B =所以1l过双曲线的一个顶点时，22A B = ——12分。