重庆市历年高考文科数学真题及答案详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP--=)1()(第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++yx关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．5)2(22=+-yx B．5)2(22=-+yxC．5)2()2(22=+++yx D．5)2(22=++yx2．=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ（）A．23-B．21-C．21D．233．若函数)(xf是定义在R上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=xf，则使得xxf的)(<的取值范围是（）A．)2,(-∞B．),2(+∞C．),2()2,(+∞--∞ D．（－2，2）4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于（）A．（1，1）B．（－4，－4）C．－4 D．（－2，－2）5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为（ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(6．已知βα,均为锐角，若qp q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平等于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若n x )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b b y x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b bb b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b bb bC ．442+bD ．b 210．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .16．已知B A ),0,21(-是圆Fy x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a的值. 18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的 概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=aaxxaxxf其中,86)1(32)(23R.（1）若3)(=xxf在处取得极值，求常数a的值；（2）若)0,()(-∞在xf上为增函数，求a的取值范围.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知,21,2,2===AECDPD求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3 (（1）求双曲线C的方程；（2）若直线2:+=kxyl与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2>⋅OBOA（其中O为原点）. 求k的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++naaaaaannnnn且满足记).1(211≥-=nabnn（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x三、解答题：满分76分.17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x)4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a 所以,3±=a 18．（本小题13分）（Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ；（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ，至少取到一件合格品的概率为.973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C，至少取到一件合格品的概率为.973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅CCC19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='xaxaxaxxf因3)(=xxf在取得极值，所以.0)13)(3(6)3(=--='af解得.3=a经检验知当)(3,3xfxa为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,)1)((6)(21===--='xaxxaxxf得当),()(,0)(),,1(),(,1axfxfaxa-∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时xfa上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥axfxfaxa和在所以则若时 上为增函数，从而]0,()(-∞在xf上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时xfa上为增函数.20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE 是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.设DE=x，因△DAE∽△CED，故1,1,2±===xxxCDAEx即（负根舍去）.从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知EH⊥PC.因此∠EHG为二面角的平面角.在面PDC中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ，又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π解法二：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x CE x PE x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得， 即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(，又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==DG y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ），则).,21,23(n m EF --=由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-b y a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.1322=-y x（Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y.0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA k x x k k x x 得由而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x .1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k.3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃--22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故 （II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ， 2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2}34{=-q b n 确是公比为的等比数列.n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由nn n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二：（Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得整理得,342,0364111-==+-+++n n n n nn b b b b b b 即.320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n 所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n nn b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nnn n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a3681636816211211111212-----=---=-++++++n nn n n n n n a a a a a a b b).(2361620368163624361n n n nn n n n b b a a a a a a -=--=-----=+,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---nn n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由 n b b b n ++++=)(2121).152(313521)21(31-+=+--=n nn n绝密★启用前 解密时间：2006年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15:00—17:00】2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共5页．满分150分．考试时间120分钟。