2018-2019学年度湖北省黄冈市黄州中学高一3月周考试卷与答案

{正文}2018-2019学年度湖北省黄冈市黄州中学高一3月周考数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的．）1．（cos π12－sin π12）（cos π12＋sin π12）等于（ ）A ．－32B ．－12C ．12D ．322．函数f （x ）＝sinxcosx ＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是（ ） A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，23．已知扇形的周长是10cm ，面积是42cm ，则扇形的半径是（ ） A ．1cmB ．1cm 或 4cmC ．4cmD ．2cm 或 4cm4．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程（a 2＋bc ）x 2＋2b 2＋c 2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是（ ） A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°5．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝（ ）A ．－34B ．34C ．－43D ．436．将函数y ＝sin （x －π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin （12x －π2）C ．y ＝sin （12x －π6）D ．y ＝sin （2x －π6）7．已知sin （α＋45°）＝55，则sin 2α等于（ ）A ．－45B ．－35C ．35D ．458．关于平面向量a ,b ,c 有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ,μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ,则a ⊥（b －c ）． 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．已知点A （－1,1）、B （1,2）、C （－2，－1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．－322D ．－315210．函数y ＝sin xcos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心是（ ） A ．（2π3，－32）B ．（5π6，－32）C ．（－2π3，32）D ．（π3，－3）11．设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则α2角属于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．使奇函数f （x ）＝sin （2x ＋θ）＋3cos （2x ＋θ）在[－π4，0]上为减函数的θ的值为（ ） A ．－π3B ．－π6C ．5π6D ．2π3二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝2A ，则△ABC 为 三角形．14．已知向量a ＝（1,1），b ＝（2，－3），若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 15．已知a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°,b ＝2cos 213°－1,c ＝32，则a ，b ，c 从大到小的关系是 ．16．函数y ＝lg （sinx ）＋16－x 2的定义域为________________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a ＝2csinA ． （1）求角C 的值； （2）若c ＝7，且S △ABC ＝332，求a ＋b 的值． 18．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2cosxsinx ＋23cos 2x －3． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的最大值和最小值及相应的x 的值； （3）求函数f （x ）的单调增区间．19．（本小题满分12分）已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， （1）若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； （2）若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d ．20．（本小题满分12分）已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos （β－α）＝210．（1）求sin α的值； （2）求β的值．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，A （1,1）、B （2,3）、C （s ，t ）、P （x ，y ），△ABC 是等腰直角三角形，B 为直角顶点． （1）求点C （s ，t ）；（2）设点C （s ，t ）是第一象限的点，若AP ＝AB －m AC ，m ∈R ，则m 为何值时，点P 在第二象限？22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝Asin （ωx ＋φ）⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0<x<π，且方程f （x ）＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和． {答案}2018-2019学年度湖北省黄冈市黄州中学高一3月周考数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13、等腰直角 14、－115、b>a>c 16、[－4，－π）∪（0，π） 三、解答题17．（本小题满分10分）解:（1）由3a ＝2csinA 及正弦定理，得a c ＝2sinA 3＝sinAsinC ．∵sinA ≠0，∴sinC ＝32．又∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3．5分 （2）c ＝7，C ＝π3，由面积公式，得12absin π3＝332，即ab ＝6．①由余弦定理，得 2c a 2＋b 2－2abcos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7．②由②变形得（a ＋b ）2＝3ab ＋7．③将①代入③得（a ＋b ）2＝25，故a ＋b ＝5．………………10分 18．（本小题满分12分）解:（1）原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2（12sin 2x ＋32cos 2x ）＝2（sin 2xcos π3＋cos 2xsin π3）＝2sin （2x ＋π3）．∴函数f （x ）的最小正周期为π．………………4分（2）当2x ＋π3＝2kπ＋π2，即x ＝kπ＋π12（k ∈Z ）时，f （x ）有最大值为2．当2x ＋π3＝2kπ－π2，即x ＝kπ－5π12（k ∈Z ）时，f （x ）有最小值为－2．………………8分（3）要使f （x ）递增，必须使2kπ－π2≤2x ＋π3≤2kπ＋π2（k ∈Z ），解得kπ－5π12≤x ≤kπ＋π12（k ∈Z ）．∴函数f （x ）的递增区间为[kπ－5π12，kπ＋π12]（k ∈Z ）．………………12分19．（本小题满分12分）解:（1）c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ（a －b ）．又a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎨⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向．………………6分（2）c ·d ＝（k a ＋b ）·（a －b ）＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2＝（k －1）a 2＋（1－k ）|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故（k －1）a 2＋1－k 2a 2＝0．即（k －1）＋1－k 2＝0．解得k ＝1．………………12分 20．（本小题满分12分）解:（1）tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43．又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45．………………6分（2）因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π．因为cos （β－α）＝210，所以sin （β－α）＝7210 所以sin β＝sin[（β－α）＋α]＝sin （β－α）cos α＋cos （β－α）sin α＝7210×35＋210×45＝22．因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以β＝3π4．………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）由已知得AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0．∵AB ＝（2,3）－（1,1）＝（1,2），BC ＝（s ，t ）－（2,3）＝（s －2，t －3）， ∴（1,2）·（s －2，t －3）＝0．即s ＋2t －8＝0．①又|AB |＝|BC |，即5＝(s －2)2＋(t －3)2，即s 2＋t 2－4s －6t ＋8＝0．② 将①代入②消去s ，得t 2－6t ＋8＝0．解得t ＝2或4，相应的s ＝4或0，所以点C 为C （0,4）或C （4,2）．………………6分 （2）由题意取C （4,2），∴AP ＝（x －1，y －1），－m AC ＝（1,2）－m （3,1）＝（1－3m,2－m ）．∵AP ＝AB －m AC∴⎩⎨⎧x －1＝1－3m ，y －1＝2－m ，∴⎩⎨⎧ x ＝2－3m ，y ＝3－m.若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧2－3m<0，3－m>0.解得23<m<3．所以，当23<m<3时，点P 在第二象限．………………12分22．（本小题满分12分）解:（1）观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π． ∴ω＝2πT＝2，∴f （x ）＝2sin （2x ＋φ）．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1． 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6．………………6分（2）∵0<x<π，∴f （x ）＝m 的根的情况，相当于f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g （x ）＝m 的交点个数情况，且0<x<π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m （m ∈R ）的图象．由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m<1或1<m<2；当－2<m<1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m<2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3．………………12分。