材料力学习题解答131
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2
4 R 2 R 2 ( 8 ) R 4 I K I z yC A ( ) 8 9 8 3 2
2 2
R 4
8 I K ( ) R 4 0.11R 4 8 9
3． 如图所示矩形截面中挖去两个小圆形，圆形的直 径为a/2。试求其对轴 y 的惯性矩。
4
I z 3 C 0.11R I z 2C 0.11R R 4R y C R R 3 z yC zC O 4 4R y 2 3 R I z1 I z1C ( y1 yC ) A1 8R R 2 (2 R) 2 50 4 4R 4 4 1.75R ( ) 1.75 R R 3 2 9 4 3.52 R 4 R R 2 R 2 2 4 I z 2 I z 2C ( y2 yC ) A2 0.11R ( ) 3 2 I z I z1 I z 2 I z 3 R4 4 4 0.11R 0.128R (3.52 0.128 0.977) R 4 18 4 R R 2 R 2 2 I z 3 I z 3C ( y3 yC ) A3 0.11R 4 ( ) 4.37 R 4 3 2 49 4 I z 4.37 R 4 0.11R 4 R 0.977 R 4 18
I p r2 d A
A
R d d O
d
R
Ip
2
0
R 2 ( R d )
2R 2 ( R ) 2R3
截面的形心主惯性矩为：
I Ip 2 R
3
d 3
8
5． 如图所示槽形截面，试求其对形心轴 z 和 y 的惯性矩和惯性积 。 y
解： 求截面形心的位置。
2
R
4R
y3
R 2 (2 R) 2 I y1 I y1C ( z1 zC ) A1 6.28R 4 ( ) 4 2 R 4 6.28R 4 6.67 R 4 I y I y1 I y 2 I y 3 8 2 R R I y 2 I y 2C ( z2 zC ) 2 A2 0.3925R 4 ( R ) 2 (6.67 2.846 1.276) R 4 4 2 4 25R 0.3925R 4 2.846 R 4 5.1R 4 32 R 2 R 2 2 4 I y 3 I y 3C ( z3 zC ) A3 0.3925R ( R ) I y 5.1R 4 4 2 4 9R 0.3925R 4 1.276 R 4 32
y
解：
a ( 2a ) 3 2a 4 I y1 12 3 (a / 2) 4 a 4 I yC 64 1024 I y 2 I yC a 2 (a / 2) 2 a4 a 4 ( ) 2 4 1024 32
a
yC a / 2
a/2
a
a
I y I y1 2 I y 2
2a 4 a4 a 4 2a 4 a 4 a 4 2( ) ( ) 3 1024 32 3 512 16
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(0.66667 0.00195 0.19625)a 4 0.468a 4
I y 0.468a 4
4． 如图所示圆环截面，其平均直径为d，环厚 为 , d 。试求截面的形心主惯性矩。 解： 先求截面对形心的极惯性矩。
y1
2 3
8R 3
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： yC
R R zC 4
y
4
I y1C 2R 4 6.28R 4 I y 2C
I y 3C
R
8
0.3925R 4
R
C O
y1
8R 3
z
y2
R
8
4
4R 3 4R 3
0.3925R 4
材料力学习题解答13
截面图形几何性质
1．如图所示截面由一个直径为D的半圆和一个矩形组成， 若截面的形心正好位于半圆圆心处，试确定矩形的高h。
y
解： 组合图形的静矩：
2D y1 3 h y2 2
A1
y1
O
D
8
2
x
h
y2
D
A2 hD
D 2 2 D h S S1 S2 A1 y1 A2 y2 hD 0 8 3 2
2 2 b 2 ka 2ka 2
b
a
bh 3 1 I z1 2ka[ 2 (1 k )a]3 12 12 1 k (1 k ) 3 a 4 3 [(1 k )a]4 1 I z2 (1 k ) 4 a 4 12 12 1 1 3 I z [ k (1 k ) (1 k ) 4 ]a 4 3 12
选作题 7*． 试计算如图所示截面对形心轴 y ' , z ' 的惯性矩。 解： I z ' I z '1 I z '2 I z '3
1 (4 R) 4 I z '1 2R 4 2 64 1 (2 R) 4 R 4 I z ' 2 I z '3 2 64 8
h 1 D 0.41D 6
2． 如图所示半径为R的半圆截面，试求截面对平 行于直径且过截面形心的轴K的惯性矩。 解： 半圆形心的位置：
4R yC 3
1 D 4 1 16R 4 R 4 Iz 2 64 2 64 8
yC
R
y
C O
K z
I z I K yC A
2
O
6． 如图所示截面由两个的No.10槽钢制成，要使 I y I z ，则间距 a 应为多少？
y
解： 查表：
I zC 198 cm
4
yC
z0 1.52 cm
O
z
I yC 25.6 cm 4 A 12.748 cm 2 I z 2I zC 2 198 cm 396 10 mm a 2 4 4 a I y ' I yC ( y0 ) A 25.6 10 12.748 10 ( 15.2) 2 2 2 a I y 2 I y ' 51.2 10 4 25.496 10 2 ( 15.2) 2 2 a 51.2 10 4 25.496 10 2 ( 15.2) 2 396 10 4 2 a a a 43.2 mm ( 15.2) 2 1352.4 15.2 36.78 2 2
1 2 3
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： 求截面形心的位置。
1 (4 R) 4 I z1 ' 2R 4 6.28R 4 2 64 8R I z1 ' I z1C ( ) 2 A1 3 8R 2 (2 R) 2 128 4 I z1C I z1 '( ) (2 )R 3 2 9 1.75R 4 1 (2 R) 4 R 4 I z2 ' 0.3925R 4 2 64 8 4R I z 2 ' I z 2C ( ) 2 A2 3 R 4 4 R 2 R 2 8 4 I z 2C ( ) ( ) R 0.11R 4 8 3 2 8 9
I z I z1 I z 2 185.4a 4 I y 185.4a 4
I zC 286.6a 4
I yC 84.15a 4
9．如图所示边长为a正方形截面，在上下顶点处切去一个 边长为ka的小三角形，求截面对水平形心轴的惯性矩。
解： h 2a 2 ka 2 2 (1 k )a
R
C O
y'
y
z
z'
R
I z ' 2R 4
4R
I y ' I y '1 I y '2 I y '3
I y '1 I y '2 1 (4 R) 2R 4 2 64 1 (2 R) 4 R 4 I y '3 2 64 8
4
I z ' y ' I z ' y '1 I z ' y '2 I z ' y '3
3
y'
a
z 6a S1 A1 z1 (4a 6a) 2a 48a 3 S2 A2 z2 (3a 4a ) a 18a 3 a 2 4a 3 S1 S 2 48 18 5 z a zC ( )a a 2 A1 A2 4 6 3 4 2 z1 2a (6a)( 4a)3 zC I y1 ( zC z1 ) 2 (4a 6a) 12 I y I y1 I y 2 (38 21)a 4 17a 4 1 32a 4 a 2 (4a 6a) 38a 4 I y 17a 4 4 (4a)(6a)3 (3a)( 4a)3 (4a)(3a)3 I y2 ( zC z2 ) 2 (4a 3a) I z I z1 I z 2 12 12 12 4 2 4 (72 16)a 4 56a 4 9a a (4a 3a) 21a I zy 0 I z 56a 4
4 4 4
a
y0
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： 求截面形心的位置。
y
8R 8R (2 R) 2 16 3 y S z1 ' y1 A1 R 3 R 4R 3 2 3 y C 3 z 2 4R R 2 O 4R S z 2 ' y2 A2 ( ) R3 y 3 2 3 3 R 2 4R S z 3 ' y3 A3 R 3 3 R S zi (16 R3 2 2 R3 ) 1 R yC yC A 3 3 (2 R) 2 S y1 ' 0 S yi 2R 3 1 R 2 3 zC S y 2 ' z2 A2 ( R)(R ) R A (2 R) 2 4 S y 3 ' z3 A3 R(R 2 ) R3 R zC 4
I z ' y '1 0 I z ' y ' 2 I z ' y '3 I z'y' 0
I y ' 2R
4
（教材上的答案！）
8．如图所示直角条形截面，求其形心主惯性矩。
y'
解： 求截面形心的位置。
a
yC
zC
y
a S z ' (10a 2 )(5a ) 45a 3 y1 C 10a 2 z 2 2 A 2(10a ) 20a a z' 3 S z ' 45a 10a yC 2.25a 2 A 20a 2 I zy I z ' y ' yC A I z ' y ' 0 zC 2.25a yC 2.25a a I zy (2.25a) 2 (20a 2 ) 101.25a 4 y1 5a 2.25a 2.25a 2 Iz Iy I zC I zy 2 a(10a)3 2 2 2 I z1 I z1C y1 A1 (2.25a) 10a 12 (185.4 101.25)a 4 286.6a 4 4 133.96a Iz Iy 3 2 I zy I z 2 I z 2C yC A2 10a a (2.25a) 2 10a 2 I yC 2 12 4 (185.4 101.25)a 4 84.15a 4 51.46a
R
C O
y
y1 8R 3
z
y2
4R 3 4R 3
R
4R
y3
I z3 '
R 4
8
0.3925R 4
8 I z 3 C ( ) R 4 0.11R 4 8 9
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解：
I z1C 1.75R
4
4
y
4 R 2 R 2 ( 8 ) R 4 I K I z yC A ( ) 8 9 8 3 2
2 2
R 4
8 I K ( ) R 4 0.11R 4 8 9
3． 如图所示矩形截面中挖去两个小圆形，圆形的直 径为a/2。试求其对轴 y 的惯性矩。
4
I z 3 C 0.11R I z 2C 0.11R R 4R y C R R 3 z yC zC O 4 4R y 2 3 R I z1 I z1C ( y1 yC ) A1 8R R 2 (2 R) 2 50 4 4R 4 4 1.75R ( ) 1.75 R R 3 2 9 4 3.52 R 4 R R 2 R 2 2 4 I z 2 I z 2C ( y2 yC ) A2 0.11R ( ) 3 2 I z I z1 I z 2 I z 3 R4 4 4 0.11R 0.128R (3.52 0.128 0.977) R 4 18 4 R R 2 R 2 2 I z 3 I z 3C ( y3 yC ) A3 0.11R 4 ( ) 4.37 R 4 3 2 49 4 I z 4.37 R 4 0.11R 4 R 0.977 R 4 18
I p r2 d A
A
R d d O
d
R
Ip
2
0
R 2 ( R d )
2R 2 ( R ) 2R3
截面的形心主惯性矩为：
I Ip 2 R
3
d 3
8
5． 如图所示槽形截面，试求其对形心轴 z 和 y 的惯性矩和惯性积 。 y
解： 求截面形心的位置。
2
R
4R
y3
R 2 (2 R) 2 I y1 I y1C ( z1 zC ) A1 6.28R 4 ( ) 4 2 R 4 6.28R 4 6.67 R 4 I y I y1 I y 2 I y 3 8 2 R R I y 2 I y 2C ( z2 zC ) 2 A2 0.3925R 4 ( R ) 2 (6.67 2.846 1.276) R 4 4 2 4 25R 0.3925R 4 2.846 R 4 5.1R 4 32 R 2 R 2 2 4 I y 3 I y 3C ( z3 zC ) A3 0.3925R ( R ) I y 5.1R 4 4 2 4 9R 0.3925R 4 1.276 R 4 32
y
解：
a ( 2a ) 3 2a 4 I y1 12 3 (a / 2) 4 a 4 I yC 64 1024 I y 2 I yC a 2 (a / 2) 2 a4 a 4 ( ) 2 4 1024 32
a
yC a / 2
a/2
a
a
I y I y1 2 I y 2
2a 4 a4 a 4 2a 4 a 4 a 4 2( ) ( ) 3 1024 32 3 512 16
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(0.66667 0.00195 0.19625)a 4 0.468a 4
I y 0.468a 4
4． 如图所示圆环截面，其平均直径为d，环厚 为 , d 。试求截面的形心主惯性矩。 解： 先求截面对形心的极惯性矩。
y1
2 3
8R 3
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： yC
R R zC 4
y
4
I y1C 2R 4 6.28R 4 I y 2C
I y 3C
R
8
0.3925R 4
R
C O
y1
8R 3
z
y2
R
8
4
4R 3 4R 3
0.3925R 4
材料力学习题解答13
截面图形几何性质
1．如图所示截面由一个直径为D的半圆和一个矩形组成， 若截面的形心正好位于半圆圆心处，试确定矩形的高h。
y
解： 组合图形的静矩：
2D y1 3 h y2 2
A1
y1
O
D
8
2
x
h
y2
D
A2 hD
D 2 2 D h S S1 S2 A1 y1 A2 y2 hD 0 8 3 2
2 2 b 2 ka 2ka 2
b
a
bh 3 1 I z1 2ka[ 2 (1 k )a]3 12 12 1 k (1 k ) 3 a 4 3 [(1 k )a]4 1 I z2 (1 k ) 4 a 4 12 12 1 1 3 I z [ k (1 k ) (1 k ) 4 ]a 4 3 12
选作题 7*． 试计算如图所示截面对形心轴 y ' , z ' 的惯性矩。 解： I z ' I z '1 I z '2 I z '3
1 (4 R) 4 I z '1 2R 4 2 64 1 (2 R) 4 R 4 I z ' 2 I z '3 2 64 8
h 1 D 0.41D 6
2． 如图所示半径为R的半圆截面，试求截面对平 行于直径且过截面形心的轴K的惯性矩。 解： 半圆形心的位置：
4R yC 3
1 D 4 1 16R 4 R 4 Iz 2 64 2 64 8
yC
R
y
C O
K z
I z I K yC A
2
O
6． 如图所示截面由两个的No.10槽钢制成，要使 I y I z ，则间距 a 应为多少？
y
解： 查表：
I zC 198 cm
4
yC
z0 1.52 cm
O
z
I yC 25.6 cm 4 A 12.748 cm 2 I z 2I zC 2 198 cm 396 10 mm a 2 4 4 a I y ' I yC ( y0 ) A 25.6 10 12.748 10 ( 15.2) 2 2 2 a I y 2 I y ' 51.2 10 4 25.496 10 2 ( 15.2) 2 2 a 51.2 10 4 25.496 10 2 ( 15.2) 2 396 10 4 2 a a a 43.2 mm ( 15.2) 2 1352.4 15.2 36.78 2 2
1 2 3
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： 求截面形心的位置。
1 (4 R) 4 I z1 ' 2R 4 6.28R 4 2 64 8R I z1 ' I z1C ( ) 2 A1 3 8R 2 (2 R) 2 128 4 I z1C I z1 '( ) (2 )R 3 2 9 1.75R 4 1 (2 R) 4 R 4 I z2 ' 0.3925R 4 2 64 8 4R I z 2 ' I z 2C ( ) 2 A2 3 R 4 4 R 2 R 2 8 4 I z 2C ( ) ( ) R 0.11R 4 8 3 2 8 9
I z I z1 I z 2 185.4a 4 I y 185.4a 4
I zC 286.6a 4
I yC 84.15a 4
9．如图所示边长为a正方形截面，在上下顶点处切去一个 边长为ka的小三角形，求截面对水平形心轴的惯性矩。
解： h 2a 2 ka 2 2 (1 k )a
R
C O
y'
y
z
z'
R
I z ' 2R 4
4R
I y ' I y '1 I y '2 I y '3
I y '1 I y '2 1 (4 R) 2R 4 2 64 1 (2 R) 4 R 4 I y '3 2 64 8
4
I z ' y ' I z ' y '1 I z ' y '2 I z ' y '3
3
y'
a
z 6a S1 A1 z1 (4a 6a) 2a 48a 3 S2 A2 z2 (3a 4a ) a 18a 3 a 2 4a 3 S1 S 2 48 18 5 z a zC ( )a a 2 A1 A2 4 6 3 4 2 z1 2a (6a)( 4a)3 zC I y1 ( zC z1 ) 2 (4a 6a) 12 I y I y1 I y 2 (38 21)a 4 17a 4 1 32a 4 a 2 (4a 6a) 38a 4 I y 17a 4 4 (4a)(6a)3 (3a)( 4a)3 (4a)(3a)3 I y2 ( zC z2 ) 2 (4a 3a) I z I z1 I z 2 12 12 12 4 2 4 (72 16)a 4 56a 4 9a a (4a 3a) 21a I zy 0 I z 56a 4
4 4 4
a
y0
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解： 求截面形心的位置。
y
8R 8R (2 R) 2 16 3 y S z1 ' y1 A1 R 3 R 4R 3 2 3 y C 3 z 2 4R R 2 O 4R S z 2 ' y2 A2 ( ) R3 y 3 2 3 3 R 2 4R S z 3 ' y3 A3 R 3 3 R S zi (16 R3 2 2 R3 ) 1 R yC yC A 3 3 (2 R) 2 S y1 ' 0 S yi 2R 3 1 R 2 3 zC S y 2 ' z2 A2 ( R)(R ) R A (2 R) 2 4 S y 3 ' z3 A3 R(R 2 ) R3 R zC 4
I z ' y '1 0 I z ' y ' 2 I z ' y '3 I z'y' 0
I y ' 2R
4
（教材上的答案！）
8．如图所示直角条形截面，求其形心主惯性矩。
y'
解： 求截面形心的位置。
a
yC
zC
y
a S z ' (10a 2 )(5a ) 45a 3 y1 C 10a 2 z 2 2 A 2(10a ) 20a a z' 3 S z ' 45a 10a yC 2.25a 2 A 20a 2 I zy I z ' y ' yC A I z ' y ' 0 zC 2.25a yC 2.25a a I zy (2.25a) 2 (20a 2 ) 101.25a 4 y1 5a 2.25a 2.25a 2 Iz Iy I zC I zy 2 a(10a)3 2 2 2 I z1 I z1C y1 A1 (2.25a) 10a 12 (185.4 101.25)a 4 286.6a 4 4 133.96a Iz Iy 3 2 I zy I z 2 I z 2C yC A2 10a a (2.25a) 2 10a 2 I yC 2 12 4 (185.4 101.25)a 4 84.15a 4 51.46a
R
C O
y
y1 8R 3
z
y2
4R 3 4R 3
R
4R
y3
I z3 '
R 4
8
0.3925R 4
8 I z 3 C ( ) R 4 0.11R 4 8 9
选作题 7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。 解：
I z1C 1.75R
4
4
y