计算方法大作业

计算方法大作业
学院：电子工程
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g(x) =x - f(x)
f'(x)
大作业选题:
分析方程求根问题中牛顿法的性能，包括收敛性等，并 用该方法求解一个问题，给出过程和结果。

一、 牛顿迭代法介绍：
用迭代法求方程f(x)=O 的根时，首先要构造一个迭代函数，迭 代函数构造的好坏，不仅影响收敛速度，而且有可能使迭代序列发散， 构造迭代函数的一条重要途径，是用近似方程代替原方程去求根，因 此如果能将非线性方程f(x)=O 用线性方程来近似代替，那么求近似 根问题就容易得到解决，而且十分方便。

牛顿法就是把非线性方程线 性化的一种方法。

二、 牛顿迭代法原理
设已知方程f (X )=0的近似根X O ，则在X O 附近f (x)可用一阶泰勒多 项式p(x) = f (X o ) f'(X o )(x - X o )近似代替.因此，方程f(X )=O 可近似地 表示为P (x) = 0 .用x 1表示p(x)=O 的根，它与f(x)=O 的根差异不大.
设 f'(X O ) = O ,由于 X i 满足 f (X O ) f'(X O )(X I -X O ) = O,解得
f(x 。

)
X i =Xo f'(X o )
重复这一过程，得到迭代公式
f (X n )
f'(X n )
这就是著名的牛顿迭代公式，它相应的不动点方程为
⑵ X n -X * 上X
2m X n4
用牛顿迭代公式求方程根的方法称为牛顿迭代法，简称牛顿法 三、牛顿迭代法的几何解析
在X 。

处作曲线的切线，切线方程为y = f (X o ) f'(X o )(x —X 。

)。

令y=0， 可得切线与x 轴的交点坐标& =x° 一丄型，这就是牛顿法的迭代公式。

f'(X o )
因此，牛顿法又称“切线法”，其几何意义即为X o 点处的切线方程。

四、牛顿迭代法的收敛性
计算可得g'(x)二-
f (X )f ，设X*是f (x) =0的单根，有 ［f'(x)］ f(x *) =0,f'(x *) =0,则
f(x *)f"(x *)
* 2 [f'(x )] 故在X *附近，有g'(x) :: 1.根据不动点原理
知牛顿迭代法对单根收敛 •同
理可知当X *是f (x) 0的重根时也收敛，则可分析出牛顿法不论对单 根还是重根均是局部收敛的，只要初值足够靠近x *，牛顿迭代序列均 收敛于x *。

五、牛顿迭代法的收敛速度
定理(牛顿法收敛定理)设f(x)在区间［a,b ］上有二阶连续导数
且满f(a)f(b) :：: 0, f"(x)在［a,b ］上不变号,f'(x)在［a,b ］上不等于0,令
口=息％ f(x), M =嗥 f "(x),
有b"曽则对任意杯［a,b ］,牛顿迭代格式收敛于f(x) = 0在［a,b ］中
的唯一实根X *，并且：
* 2m 2n
2M *
—X 兰M q ，駅肓 X °—X " g'(x *)
(1)
⑶n im：=厂册，牛顿迭代法为2阶收敛.
六、牛顿迭代法的优缺点及比较：
迭代法是求解方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法，它的算法简单，适用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

牛顿迭代法最大的优点是在方程f（x） = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。

牛顿法方法简单，每次迭代都是简单地重复运算，易于编制程序，与求解线性方程的精确法相比，迭代法对于字长位数较少的计算机更为适用，他可以用增加迭代次数来弥补字长位数少的不足，初值可以任意取，因而中间结果的偶然错误不影响最后结果的获得，但迭代速度稍慢
七、牛顿迭代求根的方法：
设方程为f （xr0，用某种数学方法导出等价的形式x=g（x）按下面步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g（x1），并将结果存于变量x0;
（3）当x1与x0的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出的
近似根序列收敛，则按上述方式求得的x0就认为是方程的
根。

八、用牛顿迭代法求解一个问题：
题：用牛顿法求下列方程的根：x*e A x-1=0;
相应的MATLAB R码为：
x0=1.0;
N=100;
k=0;
eps=5e-6;
delta=1e-6;
while (1)
x1=x0-fc1(x0)/fc2(x0);
k=k+1;
if k>N
disp( 'New method failed' )
break
end
if (abs(x1-x0)<delta || abs(fc1(x1))<delta) break ;
end
x0=x1; end
fprintf( '%f' ,x0)
fprintf( ' %f ' , abs(fc1(x1)) )
%原函数
function fc1=fc1(x)
fc1=x*exp(x)-1;
end
%导数
function fc2=fc2(x)
fc2=(x+1)*exp(x);
end
相应的结果：
原方程的根为：x= 0.5671435302
牛顿迭代法由于设置delta=1e-6，所以算出的误差e<1.0*10八-5;
注意：牛顿迭代方法能够有效的基本条件是：迭代公式必须是收敛的。