整式的乘法-
整式乘法法则知识点总结
整式乘法法则知识点总结一、整式乘法法则的定义整式乘法法则是指在代数中，两个整式相乘得到的结果仍为整式。
简单来说，整式乘法就是指对两个整式进行乘法运算，得到的结果仍然是整式。
整式乘法的结果可以表示为一个新的整式，它由被乘数和乘数的各项的乘积相加得到。
整式乘法法则的定义包括以下几点：1. 整式乘法的定义：两个整式相乘得到的结果仍为整式。
2. 整式的乘法形式：当两个整式相乘时，可以将它们的各项进行对应的乘法运算，然后将乘积相加得到结果。
3. 乘法的交换律：在整式的乘法中，乘法的交换律成立，即乘数的顺序可以交换，结果不变。
整式乘法法则的定义是整式乘法的基础，理解了这个定义，我们就能够正确地进行整式的乘法。
接下来，我们将介绍整式乘法法则的性质，以及整式乘法的具体运算规则。
二、整式乘法法则的性质整式乘法法则有许多重要的性质，这些性质包括了整式乘法的基本规律和运算法则。
了解整式乘法法则的性质，可以帮助我们更好地理解整式乘法的运算规则。
下面是整式乘法法则的性质：1. 分配律：整式乘法满足分配律，即加法和乘法的结合性。
对于任意的整式a、b、c，有a*(b+c) = a*b + a*c。
2. 乘法的交换律：整式乘法满足交换律，即乘数的顺序可以交换，结果不变。
对于任意的整式a、b，有a*b = b*a。
3. 乘法的结合律：整式乘法满足结合律，即乘法的顺序可以变换，结果不变。
对于任意的整式a、b、c，有(a*b)*c = a*(b*c)。
4. 零乘法则：任何整式与0相乘，结果都为0。
即0*a = 0。
5. 单位元素法则：任何整式与1相乘，结果都为它本身。
即1*a = a。
整式乘法法则的性质是整式乘法的基本规律，它们对于整式乘法的具体运算具有重要的指导作用。
了解了整式乘法法则的性质，我们就能够更好地运用整式乘法进行代数运算。
接下来，我们将介绍整式乘法的具体运算规则，以及整式乘法法则在具体应用中的运用。
三、整式乘法法则的运算规则整式乘法法则的具体运算规则是在整式乘法的基础上，根据乘法法则的性质进行整式的具体运算。
整式的概念的乘除
整式的概念的乘除整式是由若干个字母和常数通过加减乘除运算得到的代数式，其特点是只含有有限个项，每个项都是常数与字母的乘积。
整式是代数学中的重要概念，广泛运用于代数、数论、几何和物理等学科领域。
整式的乘法运算是指两个整式相乘得到一个新的整式的过程。
在整式的乘法运算中，按照乘法分配律的原则，先将每一项和另一个整式中的每一项相乘，然后将所得项进行合并，即进行同类项的合并和常数项的合并。
举个例子，要计算整式(3x+2y)(4x-5y)，首先将第一个整式的每一项与第二个整式的每一项相乘，得到12x^2 - 15xy + 8xy - 10y^2，然后合并同类项，得到12x^2 - 7xy - 10y^2。
整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式的过程。
整式的除法是在整式乘法的基础上进行的，需要运用整式乘法逆运算的原则。
举个例子，要计算整式(4x^2 - 3xy + 2)除以(2x - 1)，首先将除式的每一项与被除式的第一项相乘，得到8x^3 - 4x^2；然后将所得乘积与被除式相减，得到(8x^3 - 4x^2) - (4x^3 - 2x^2)，继续重复这个步骤，直至所得的差小于除式，即为余数。
最后，将所得的所有商式相加，即为商式。
整式的乘除运算在代数中有着重要的作用，可以用于解方程、化简表达式以及证明等各种数学问题的求解过程中。
在解方程中，整式的乘除运算可以用来将复杂的等式转化为更简单的形式，从而更好地研究等式的性质和求解等式的根。
在化简表达式中，整式的乘除运算可以用来将复杂的代数式转化为更简单的表达形式，从而更好地理解和计算代数式的值。
在证明问题中，整式的乘除运算可以用来推导和证明数学定理，为定理的证明过程提供有效的计算工具。
整式的乘除运算有一定的规则和性质，可以帮助我们更好地理解和运用整式的乘除运算。
首先，整式的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
即整式的乘法运算可以改变顺序，可以改变项之间的顺序，可以利用分配律进行因式分解和合并。
整式的乘法多项式乘多项式教案
整式的乘法-多项式乘多项式教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解多项式乘多项式的概念。
（2）掌握多项式乘多项式的运算方法。
（3）能够熟练地进行多项式乘多项式的计算。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示，让学生体会多项式乘多项式的运算过程。
（2）引导学生运用分配律进行多项式乘多项式的计算。
（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
（2）培养学生合作交流的能力，培养学生的团队精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）掌握多项式乘多项式的运算方法。
（2）能够熟练地进行多项式乘多项式的计算。
2. 教学难点：（1）理解并运用分配律进行多项式乘多项式的计算。
（2）解决实际问题中多项式乘多项式的运用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）教学课件或黑板。
（2）例题及练习题。
2. 学生准备：（1）预习多项式乘多项式的相关知识。
（2）准备好笔记本，记录重点知识。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）回顾多项式的概念，引导学生思考多项式乘法的意义。
（2）提问：同学们，你们知道如何计算两个多项式的乘积吗？2. 知识讲解：（1）讲解多项式乘多项式的概念。
（2）通过实例演示，讲解多项式乘多项式的运算方法。
（3）引导学生运用分配律进行多项式乘多项式的计算。
3. 课堂练习：（1）布置一些多项式乘多项式的练习题，让学生独立完成。
（2）挑选几份学生的作业，进行讲解和点评。
4. 课堂小结：（1）总结本节课所学的内容，强调多项式乘多项式的运算方法。
（2）提醒学生在解决实际问题时，注意运用多项式乘多项式的知识。
五、课后作业：1. 请学生完成课后练习题，巩固本节课所学知识。
2. 鼓励学生参加数学辅导班或请教同学、老师，解决疑难问题。
3. 提醒学生在下一节课前预习下一节课的内容，为学习做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：多项式乘多项式在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明：例如，计算商品的折扣、计算长方形的面积等。
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。
即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
整式的乘法公式与因式分解方法
整式的乘法公式与因式分解方法整式是由数、字母和运算符号（仅限于加法、减法、乘法和乘方）组成的代数表达式。
在代数学中，整式的乘法公式和因式分解是非常重要的概念和方法。
一、整式的乘法公式在解决整式的乘法运算时，乘法公式起到了关键的作用，它能够帮助我们简化计算过程，提高效率。
1. 二项式的乘法公式二项式的乘法公式是指两个二项式相乘时的简化方法。
设有两个二项式$(a + b)$和$(c + d)$，它们的乘积可以通过使用FOIL法则来计算。
FOIL法则指的是先相乘、外乘再相加、内乘再相加、最后相加的步骤。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积：首先，先相乘：$2x \cdot 4x = 8x^2$；然后，外乘再相加：$2x \cdot 5 + 3 \cdot 4x = 10x + 12x = 22x$；接着，内乘再相加：$3 \cdot 5 = 15$；最后，相加结果：$8x^2 + 22x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积为$8x^2 + 22x + 15$。
2. 三项式的乘法公式三项式的乘法公式是指两个三项式相乘时的简化方法。
与二项式的乘法公式类似，计算过程同样采用FOIL法则。
举个例子，我们计算$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积：首先，先计算$(2x + 3)(4x + 5)$的乘积，结果为$8x^2 + 22x + 15$；然后，再乘以$(x + 1)$，使用FOIL法则，计算过程如下：一次相乘：$(8x^2 + 22x + 15)(x) = 8x^3 + 22x^2 + 15x$；外乘再相加：$(8x^2 + 22x + 15)(1) + (8x^3 + 22x^2 + 15x) = 8x^2 + 22x + 15 + 8x^3 + 22x^2 + 15x = 8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
因此，$(2x + 3)(4x + 5)(x + 1)$的乘积为$8x^3 + 30x^2 + 37x + 15$。
八年级数学上册听课记录：第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》
新2024秋季八年级人教版数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的乘法》听课记录一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握整式乘法的基本法则，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，能够准确进行整式的乘法运算。
2.过程与方法：通过具体实例的探究，引导学生经历整式乘法法则的发现过程，培养学生的观察、归纳和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨、细致的学习态度，以及合作学习的精神。
二、导入教师行为：•教师首先展示几个简单的整式乘法实例，如(2x+3)×4、x2×3x，让学生尝试进行计算，并请几位学生分享他们的解题思路。
•接着，教师提出问题：“同学们，你们在进行整式乘法时，有没有发现一些通用的方法和规律呢？我们能否将这些方法和规律总结出来，以便更好地解决类似的问题呢？”学生活动：•学生认真观察教师给出的例子，尝试进行计算，并思考整式乘法可能存在的规律。
•学生分享自己的解题思路，与同桌或小组内成员讨论可能的答案。
过程点评：•导入环节通过具体实例和问题的引导，有效地激发了学生的探究欲望，为学习整式乘法的基本法则做好了铺垫。
•学生积极参与讨论，初步感知了整式乘法的运算规律，为后续学习打下了基础。
三、教学过程3.1 单项式乘单项式教师行为：•明确给出单项式乘单项式的法则，即“系数相乘，字母部分按同底数幂的乘法法则进行运算”。
•通过具体例子演示法则的应用，如3a2×2a3，引导学生观察结果并验证法则的正确性。
学生活动：•认真听讲，记录单项式乘单项式的法则，并尝试理解其含义。
•跟随教师的演示，自己完成例题的计算，验证法则的正确性。
过程点评：•教师讲解清晰，通过具体例子帮助学生理解单项式乘单项式的法则及其应用。
•学生通过动手计算，加深了对法则的理解和掌握。
3.2 单项式乘多项式教师行为：•引入单项式乘多项式的概念，讲解其运算法则，即“用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式是由数字、字母和乘法、加法运算符组成的代数表达式。
在数学中，整式的乘法运算是一项基本且常见的操作。
通过对整式的乘法运算，我们可以得到一个新的整式，从而求解复杂的代数问题。
下面将介绍整式的乘法运算及其相关概念和规则。
1. 整式的乘法定义整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，得到一个新的整式。
整式的乘法运算通常涉及到乘法分配律和乘法合并同类项的规则。
乘法分配律表示：对于任意的整式a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c。
乘法合并同类项是指将相同字母的乘积合并为一个同类项。
例如，将3x与2x 相乘得到6x²，其中6是系数，x²是字母的乘积。
2. 整式的乘法规则在进行整式的乘法运算时，需要注意以下几个规则：(1) 系数相乘：将两个整式的系数相乘得到新的系数。
(2) 字母相乘：将两个整式中相同字母的指数相加得到新的指数。
(3) 合并同类项：将相同字母的乘积合并为一个同类项。
(4) 乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a×b = b×a。
3. 实例演示为了更好地理解整式的乘法运算，我们来看几个实例：(1) 将3x²与2x相乘。
3x² × 2x = 6x³通过系数相乘，得到6；通过字母相乘，x²与x相乘得到x³，因此结果是6x³。
(2) 将4ab²与(-5a²b³)相乘。
4ab² × (-5a²b³) = -20a³b⁵系数相乘得到-20，字母相乘时，a与a²相乘得到a³，b²与b³相乘得到b⁵，因此结果是-20a³b⁵。
4. 注意事项在进行整式的乘法运算中，需要注意一些特殊情况和要点：(1) 乘法的顺序：乘法运算符具有优先级，在计算整式的乘法时，需要按照从左到右的顺序进行计算。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式是指由数字及其对应的字母和指数所组成的代数式。
整式的乘法运算是指对两个或多个整式进行相乘的操作。
本文将介绍整式的乘法运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、同底数幂的乘法当两个整式的底数相同时，它们的指数进行相加。
例如：(3x^2)(4x^3) = 3 * 4 * x^2 * x^3 = 12x^5解析：相乘后，指数相加得到5，底数保持不变。
二、不同底数幂的乘法当两个整式的底数不同但指数相同时，它们的底数进行相乘。
例如：(2x^2)(3y^2) = 2 * 3 * x^2 * y^2 = 6x^2y^2解析：相乘后，底数相乘，指数保持不变。
三、含有常数项的整式乘法含有常数项的整式乘法的运算规则与上述相同。
例如：(2x^2 + 3)(4x - 5) = 2x^2 * 4x + 2x^2 * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^3 - 10x^2 + 12x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。
四、多项式乘法多项式乘法是指含有多个整式的乘法运算。
例如：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5)= 8x^2 - 10x + 12x - 15= 8x^2 + 2x - 15解析：将每一项按照规则进行相乘，再将结果合并。
五、分配律的运用在整式的乘法运算中，分配律是一个重要的运算法则。
例如：3(2x - 1) = 3 * 2x - 3 * 1 = 6x - 3解析：每一项都与括号外的数进行相乘。
六、乘法的交换律和结合律整式的乘法满足乘法的交换律和结合律。
例如：2x * y = y * 2x = 2xy解析：乘法的交换律代表乘法顺序可以任意调整；乘法的结合律代表多个整式相乘的结果可以按任意顺序进行。
综上所述，整式的乘法运算遵循一定的规则，根据底数和指数的不同情况进行相应的运算。
整式的乘法公式
整式的乘法公式整式的乘法公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们快速、准确地进行整式的乘法运算。
在本文中，我将详细介绍整式的乘法公式及其应用。
一、整式的乘法公式整式是由常数和变量的乘积以及它们之间的加减运算所构成的代数式。
在乘法运算中，可以利用整式的乘法公式来简化计算。
整式的乘法公式包括以下几条：1. 乘法分配律：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：a(b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca这条乘法分配律的应用非常广泛，它可以用于加法和乘法的结合。
例如，对于整式3(x+2)，根据乘法分配律，我们可以得到：3(x+2) = 3x + 62. 平方差公式：对于任意的整式a和b，有如下公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2这条平方差公式在整式乘法中十分常用，可以用来求平方差的计算。
例如，对于整式(x+3)(x-4)，根据平方差公式，我们可以得到：(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 123. 三角形式乘法公式：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+bc+ca)(a+b+c) - abc这条三角形式乘法公式常用于多项式的乘法运算。
例如，对于整式(x+1)(x+2)(x+3)，根据三角形式乘法公式，我们可以得到：(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2+3x+x+2)(x+3) - (x+1)(x+2)(x+3) =(x^2+4x+2)(x+3) - (x^2+3x)(x+3) = x^3 + 6x^2 +11x + 6二、整式的乘法公式的应用整式的乘法公式在代数学中有着广泛的应用。
下面我将通过实际例子来说明整式的乘法公式的应用。
例题1：计算(2x+3)(x+1)。
根据乘法分配律，我们可以按照以下步骤进行计算：(2x+3)(x+1) = 2x(x+1) + 3(x+1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3例题2：计算(3x+2)(3x-2)。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
整式的乘法与因式分解
整式的乘法与因式分解整式是由字母或字母与常数的乘积所组成的代数式。
在代数中，整式的乘法和因式分解是非常重要的运算。
本文将详细介绍整式的乘法与因式分解。
一、整式的乘法整式的乘法是指利用分配律将两个或多个整式相乘的过程。
整式的乘法规则如下：1. 当两个整式相乘时，先将系数相乘，再将字母相乘，最后将结果相加。
例如，计算 (2x + 3)(4x + 5) 的结果：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5= 8x^2 + 10x + 12x + 15= 8x^2 + 22x + 152. 当整式中含有多个字母时，需要将对应字母的项相乘，并按照指数的规则进行运算。
例如，计算 (2xy + 3xz)(4xy - 5xz) 的结果：(2xy + 3xz)(4xy - 5xz) = 2xy * 4xy + 2xy * (-5xz) + 3xz * 4xy + 3xz * (-5xz)= 8x^2y^2 - 10x^2z^2 + 12x^2yz - 15xz^2整式的乘法在代数中非常常见，掌握好整式的乘法规则可以方便进行复杂的代数运算。
二、因式分解因式分解是指将一个整式表示为几个整式乘积的形式。
因式分解在解方程、求极限、计算函数值等方面都有广泛的应用。
下面介绍两种常见的因式分解方法。
1. 公因式提取法公因式提取法是指将整式中的公因式提取出来，并将整式分解为公因式与其他部分的乘积。
例如，对于整式 4x^2 + 8x，可以提取公因式 4x，得到 4x(x + 2)。
2. 完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式表示为两个一次多项式的平方差形式。
例如，对于整式 x^2 + 12x + 36，可以通过完全平方公式将其分解为 (x + 6)^2。
通过因式分解，可以简化复杂的整式，方便进行进一步的计算和问题求解。
综上所述，整式的乘法和因式分解是代数中重要的运算。
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
初中数学 什么是整式的乘法
初中数学什么是整式的乘法整式的乘法指的是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
整式是由常数、变量及它们的乘积和幂次的和或差组成的代数式。
下面将详细介绍整式的乘法运算的定义、性质以及如何进行整式的乘法。
一、整式的乘法定义设有两个整式A和B，表示为：A = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀B = bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀其中，aₙ、aₙ₋₁、...、a₂、a₁、a₀和bₙ、bₙ₋₁、...、b₂、b₁、b₀为常数系数，x为变量，n和m 为幂次。
整式A和B的乘积表示为A * B，即：A *B = (aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀) * (bₙxᵐ + bₙ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + b₂x² + b₁x + b₀)二、整式乘法的性质整式的乘法具有以下性质：1. 乘法交换律：对于任意两个整式A和B，有A * B = B * A。
即整式的乘法满足交换律。
2. 乘法结合律：对于任意三个整式A、B和C，有(A * B) * C = A * (B * C)。
即整式的乘法满足结合律。
3. 乘法分配律：对于任意三个整式A、B和C，有A * (B + C) = A * B + A * C。
即整式的乘法满足左分配律。
三、整式的乘法运算整式的乘法运算可以通过展开和合并同类项的方法进行。
例如，设有两个整式A和B，表示为：A = 2x² + 3xy - 4y²B = 5x - 2y我们将A与B相乘，即A * B，得到：A *B = (2x² + 3xy - 4y²) * (5x - 2y)按照乘法分配律的定义进行展开和合并，得到：A *B = 2x² * 5x + 2x² * (-2y) + 3xy * 5x + 3xy * (-2y) - 4y² * 5x - 4y² * (-2y)进一步计算，得到：A *B = 10x³ - 4x²y + 15x²y - 6xy² - 20xy² + 8y³将上述结果进行合并同类项，得到最后的乘积结果：A *B = 10x³ + 11x²y - 26xy² + 8y³总结：整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
整式的乘法与除法
整式的乘法与除法在初中数学中，整式的乘法与除法是一个重要的知识点。
它不仅涉及到数学运算的基本技巧，还能帮助我们解决实际问题。
本文将以实际问题为背景，通过举例、分析和说明来介绍整式的乘法与除法的应用。
一、整式的乘法整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
它的应用非常广泛，例如在代数表达式的化简、方程的解法、图形的面积计算等方面都有应用。
举例一：化简代数表达式假设有一个代数表达式：(3x + 2)(x - 5)。
我们可以使用整式的乘法运算将其展开化简。
首先，将括号中的每一项与另一个括号中的每一项相乘，得到以下结果：3x * x + 3x * (-5) + 2 * x + 2 * (-5)。
然后，将同类项相加合并，得到最简形式的代数表达式：3x^2 - 15x + 2x - 10。
最后，将同类项合并得到最终结果：3x^2 - 13x - 10。
通过整式的乘法运算，我们成功地将代数表达式化简为最简形式，从而更方便地进行后续计算或分析。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
它的应用也非常广泛，例如在多项式的因式分解、方程的解法、函数的图像绘制等方面都有应用。
举例二：因式分解假设有一个整式：x^3 - 8。
我们希望将其进行因式分解，以便更好地理解和分析。
首先，我们可以观察到这个整式是一个立方差式，即一个立方数减去另一个立方数。
根据立方差公式，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
通过整式的除法运算，我们成功地将整式进行了因式分解，得到了更简洁的表达形式。
这样，我们可以更方便地研究整式的性质和特点。
三、实际问题的应用整式的乘法与除法不仅仅是数学中的一种运算，它还能帮助我们解决实际问题。
例如，在几何中，我们可以使用整式的乘法来计算图形的面积或体积；在经济学中，我们可以使用整式的乘法来计算成本、利润等。
举例三：计算图形的面积假设有一个矩形，长为2x + 3，宽为3x - 4。
专题15 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(学生版)
专题整式的乘法-重难点题型【【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37B．13C．20D．36【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）−12x2y⋅(13x3y2−34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x−12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【知识点2 整式的除法】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．。
数学整式的乘法
系数相乘
相同字母的幂次相加
将多项式中的每一项与单项式的系数 相乘，得到新的系数。
在得到新的字母部分后，将相同字母 的幂次相加。
字母部分相乘
将多项式中的每一项的字母部分与单 项式的字母部分相乘，得到新的字母 部分。
多项式与单项式乘法的运算步骤
确定单项式的系数和字母部分。
将多项式的每一项与单项式的 系数和字母部分分别相乘。
感谢您的观看
THANKS
角形的角度和边长。在日常源自活中的应用计算商品折扣整式的乘法可以用于计算商品折扣，例如计算商品的原价和折扣 后的价格。
计算工资和税款
整式的乘法可以用于计算工资和税款，例如计算员工的工资和需要 缴纳的税款。
计算时间和速度
整式的乘法可以用于计算时间和速度，例如计算行驶的距离和所需 的时间，从而计算出速度。
将相同字母的幂次相加，得到 新的多项式。
多项式与单项式乘法的注意事项
运算过程中要保持代数式的符号，特 别是负号的处理。
运算过程中要遵循运算的优先级，如 先乘除后加减。
运算过程中要注意合并同类项，简化 代数式。
04
多项式与多项式的乘法
多项式与多项式乘法的规则
分配律
$(a+b)(m+n) = am + an + bm + bn$
02
单项式与单项式的乘法
单项式乘单项式的规则
01
02
03
系数相乘
将两个单项式的系数相乘， 即a*b=ab。
相同字母的幂相加
将两个单项式中相同字母 的幂相加，即 a^m*a^n=a^(m+n)。
其他字母的幂不变
在乘法过程中，其他字母 和字母的幂保持不变。
整式乘法的概念
整式乘法的概念
整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘。
单项式和多项式都统称为整式。
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
分解因式与整式乘法互逆。
1、单项式与单项式相乘的法则
单项式和单项式相乘,只要将它们的系数,相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式中出项的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式.注意:单项式与单项式相乘的法则也适用于多个单项式相乘.
2.单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项,再将所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc
3.多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即(m+n)*(a+b)=ma+mb+na+nb。
人教版初中数学《整式的乘法》演示课件
人教版初中数学《整式的乘法》实用 实用课 件（PPT 优秀课 件）
第十四章 整式的乘法与因式分解 14．1 整式的乘法
第6课时 多（PPT 优秀课 件）
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15
人教版初中数学《整式的乘法》实用 实用课 件（PPT 优秀课 件）
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【综合运用】
11．(8分)若a，b，k均为整数且满足等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，
写出两个符合条件的k的值．
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解：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，所以 x2＋(a＋b)x＋ab＝ x2＋kx＋36，根据等式的对应项的系数相等可得kab＝＝a＋ 36b. ，又因为 a，b，k 均为整数，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－ 1)×( － 36) ＝ ( － 2)×( － 18) ＝ ( － 3)×( － 12) ＝ ( － 4)×( － 9) ＝ ( － 6)×(－6)．所以 a，b 对应的值共有 10 对，从而求出 a＋b 的值， 即 k 的值有 10 个，分别为±37，±20，±15，±13，±12.只要写 出其中的两个即可
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5．(9分)计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； 解：原式＝9x2－25 (2)(x－1)(x2＋x＋1)； 解：原式＝x3－1 (3)(3x－y)(y＋3x)－(4x－3y)(4x＋3y)． 解：原式＝－7x2＋8y2
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做一做
例1 计算： （1）2ab(5ab2+3a2b)
10a2b3+6a3b2
(2) ( 2-2ab)·
a2b3-a2b2
（3）(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)
72x2y5+60x3y4-126xy6
例2 先化简,再求值：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律 用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加。
晃、黄澄澄的咒符『棕光锅妖米粒神谱』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边转化，一边发出“咝咝”的神声……陡然间女族长Ｗ．娅娜小姐狂速地让自己粗俗 的深黑色电闸似的鼻子怪舞出亮橙色的仙鹤声，只见她傻傻的土黄色篦子一样的怪辫中，变态地跳出三十串脸皮状的树怪，随着女族长Ｗ．娅娜小姐的摇动，脸皮状 的树怪像钥匙一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着女族长Ｗ．娅娜小姐又旋起弯曲的脖子，只见她强壮的身材中，轻飘地喷出三十簇船帮状的雪花，随着 女族长Ｗ．娅娜小姐的旋动，船帮状的雪花像背带一样念动咒语：“八腿 哦 ，狐妖 哦 ，八腿狐妖 哦 ……『棕光锅妖米粒神谱』！！！！” 只见女族长Ｗ．娅娜小姐的身影射出一片亮橙色妖影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡蓝色光豹，似金辉一样直奔亮橙色奇影而来。，朝着蘑菇王子晶 莹洁白的牙齿猛滚过来。紧跟着女族长Ｗ．娅娜小姐也乱耍着咒符像气桶般的怪 影一样向蘑菇王 子猛滚过来蘑菇王子悠然像浅绿色的悬皮遗址鱼一样猛叫了一声，突 然玩了一个独腿狂舞的特技神功，身上眨眼间生出了七十只很像地灯一样的演了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲招式！紧接着颤动淡红色的古树般的嘴唇一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动充满活力的幼狮 肩膀，像水绿色的亿背孤山虫般的一颤，远古的犹如仙猿般的手臂突然伸长了六十倍，神奇的、像美丽小漩涡一样的星光肚脐也立刻膨胀了七十倍……最后颤起犹如 仙猿般的手臂一喊，变态地从里面抖出一道金辉，他抓住金辉迷人地一扭，一件亮晶晶、凉飕飕的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动 ，一边发出“啾啾”的幽响……。陡然间蘑菇王子狂速地让自己年轻强健的长腿奇闪出鹅黄色的冰块声，只见他犹如仙猿般的手臂中，萧洒地涌出四十片甩舞着∈七 光海天镜←的下巴状的油饼，随着蘑菇王子的晃动，下巴状的油饼像瓜秧一样在双手上缠绵地三陪出隐隐光盾……紧接着蘑菇王子又转起修长灵巧的手指，只见他闪 闪发光的亮蓝色迷彩蘑菇帽中，快速窜出三十道扭舞着∈七光海天镜←的枷锁状的风车，随着蘑菇王子的转动，枷锁状的风车像卵石一样念动咒语：“森林哎 嗒 ，小子哎 嗒，森林小子哎 嗒……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人！”只见蘑菇王子的身影射出一片鹅黄色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫 的青兰花色光鹰，似流光一样直奔鹅黄色神光而去……，朝
(1).
(2). at + bt - t 2
小结
n 谈谈这节课你都有什么收获？
单项式与多项式相乘，就是 根据分配律用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的 积相加。
作业
1 P30 习题 1.9知识技能1. 2. 2 预习下一节，并会做随堂习
候车室
（1）4ab(6ab2+3a2b) （2）7ab(6ab3-4a2b) 求代数式的值 a(a-b)-2b(-a-b)+6ab,其中a=3,b= -3
整式的乘法 (二)
竞业园初一数学组
学习目标
1.在具体情景中，了解单项式乘多 项式的意义。
2.理解单项式与多项式的乘法法则， 会进行单项式与多项式的乘法运算。
自学指导
n 认真快速阅读课本第29页到第 30页
n 理解并识记单项式与多项式相乘 的法则
n 时间4分钟 n 4分钟后能做与例题相关的题目
如何进行单项式与多项式相乘的运算？
2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b= -3
解: 原式=2a2–2ab –2ab+b2 +2ab = 2a2– 2ab + b2
∵ a=2,b= -3 ∴原式= 2a2– 2ab + b2
= 2×22－2×2 ×(-3)＋(-3)2 = 8 + 12+ 9 = 29
合作探究
1.分别计算下面图中阴影部分的面积。