北邮版概率论答案(7)

习题七

1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.

【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X

所以p 的矩估计量 ˆX

p

n

= 2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

0,

.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

20

2

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ⎛⎫=

-=-= ⎪⎝⎭⎰

令E (X )=A 1=X ,因此

3

θ

=X 所以θ的矩估计量为

^

3.X θ=

，

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩

（2） f （x ，θ）=1,01,

0,

.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他

【解】（1） 似然函数1

1

1

(,)e e e

n

i

i

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θ

θθθθ=---==∑=

==∏∏

1

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

ˆn

i

i n

x

θ==

∑

所以θ的极大似然估计量为1

ˆX

θ

=. (2) 似然函数1

1

,01n

n

i i i L x x θ

θ

-==<<∏,i =1,2,…,n.

1

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∏

】

由1

d ln ln 0d n

i i L n

x θθ==+=∏知 1

1ˆln ln n

n

i

i

i i n n

x

x θ

===-=-

∑∏

所以θ的极大似然估计量为 1

ˆln n

i

i n

x

θ

==-∑

求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =

0.094.EX x =

=-

由2

2

2

2

21()()[()],()n

i i x E X D X E X E X A n

==+==∑知222

ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ￥

ˆσ

=于是 ˆ0.101890.0966σ

=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和.

5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,,,,,,,，求θ的矩法估计

和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2

E X θ

=

,令()E X X =，则

ˆ2X θ

=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ

==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计. (2) 似然函数8

8

1

1(,)i i L f x θθ=⎛⎫

== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)

显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18

max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,

所以θ的极大似然估计值ˆθ

=. $

因为E(ˆθ)=E (18

max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18

max{}i

i x ≤≤不是θ的无偏计.

6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，

2

ˆσ

=k 1

211

()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2

ˆσ

为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,

则 2

1()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==

于是 1

2

2

2211ˆ[()](1)2(1),n i

i E E k Y

k n EY n k σ

σ-===-=-∑

那么当2

2

ˆ()E σ

σ=,即2

2

2(1)n k σσ-=时, 有 1

.2(1)

k n =

-

7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本

112212312211311

ˆˆˆ;;;334422

X X X X X X μ

μ

μ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μ

μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 、

【证明】（1）112122

12121ˆ()()(),3

33333E E X X E X E X μ

μμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭

21213

ˆ()()()44E E X E X μ

μ=+=, 31211

ˆ()()(),22

E E X E X μ

μ=+=