线性规划模型课件
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人力约束4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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4
线性规划图解法
• 由数学知识可知：y=ax+b是一条直线，同理： Z=70x1+120x2→x2=70/120x1-Z/120也是一条直线， 以Z为参数的一族等值线。
9x1+4x2 ≤360 → x1 ≤360/9-4/9x2
利润元/kg
70
120
• 目前生产现状：
• 不生产产品A ，生产产品B每天30 ， 获利3600
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2
招聘总经理！
• 约翰： 我应聘！
•
• 在现有资源状况下，我可以使利润达到4280 ！
• 方案是： 生产A 产品20 ， 生产 B 产品 24
• 可行性：9*20+4*24=276<360
• 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件；
• 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
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线性规划图解法（续）
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
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线性规划图解法（续）
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。 在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一 组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
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图解法
对于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
例1.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
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6
• 最优解：
• X1=20 , x2=24
• 对应的生产方案：
•
生产A 产品20
•
生产 B 产品 24
• 获利：70*20+120*24=4280
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7
约翰就任泰山工厂总经理！
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8
二、线性规划图解法
例2. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
x2
z=10000=50x1+100x2
AB C
z=0=50x1+100x2
E
z=27500=50x1+100x2
z=20000=50x1+100x2
D
x1
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线性规划图解法（续）
• 重要结论：
• 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
• 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
第1节 线性规划问题与模型
• • • • •
❖
一、线性规划模型 从招聘总经理谈起
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1
泰山工厂生产状况
• 泰山工厂可以生产两种产品出售，需要三种资源， 已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
设备 劳动力 原材料
产品A 9 4 3
产品B 4 5 10
资源限量 360 200 300
是直线 x1=360/9-4/9x2 下方的半平面。所有半 平面的交集称之为可行域，可行域内的任意一点， 就是满足所有约束条件的解，称之为可行解。
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5
例1图示
.
x2
90 A 80
60
9x1+4x2 ≤ 360 4x1+5x2 ≤200
40 B
C
20
HI
G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
•
4*20+5*24=200
•
3*20+10*24=300
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3
怎么达到的？
• 约翰使用了运筹学中的线性规划模型 • 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：设备约束 9X1+4X2≤360
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线性规划图解法（续）
（线4），目直标线函上数的z每=5一0x点1+都10具0x有2，相当同z的取目某标一函固数定值值，时称得之到为一“条等直 值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实 现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约 束条件则其可行域的顶点也是有限的。
2x1+x2≤400 100 200 300
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线性规划图解法（续）
（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分，如 图2-1所示。
300
x2=250
ห้องสมุดไป่ตู้
200
100
x2≤250
100 200 300
x2=0
x2 2x1+x2=400
x2=250
x1+x2=300
x1=0
x1
图2-1
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型：
目标函数：Max 约束条件：s.t.
z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300
x2
X2≥0
x2
X1≥0
X2=0
X1=0
x1
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x1
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线性规划图解法（续）
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直 线，然后确定不等式所决定的半平面。
300
200
x1+x2=300
100
100 200 300
x1+x2≤300
400
300
200
2x1+x2=400
100
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线性规划图解法
• 由数学知识可知：y=ax+b是一条直线，同理： Z=70x1+120x2→x2=70/120x1-Z/120也是一条直线， 以Z为参数的一族等值线。
9x1+4x2 ≤360 → x1 ≤360/9-4/9x2
利润元/kg
70
120
• 目前生产现状：
• 不生产产品A ，生产产品B每天30 ， 获利3600
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招聘总经理！
• 约翰： 我应聘！
•
• 在现有资源状况下，我可以使利润达到4280 ！
• 方案是： 生产A 产品20 ， 生产 B 产品 24
• 可行性：9*20+4*24=276<360
• 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件；
• 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
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线性规划图解法（续）
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
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线性规划图解法（续）
(1)分别取决策变量X1 , X2 为坐标向量建立直角坐标系。 在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一 组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
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图解法
对于只有两个决 策变量的线性规划问 题，可以在平面直角 坐标系上作图表示线 性规划问题的有关概 念，并求解。
下面通过例1详细 讲解其方法：
例1.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
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• 最优解：
• X1=20 , x2=24
• 对应的生产方案：
•
生产A 产品20
•
生产 B 产品 24
• 获利：70*20+120*24=4280
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约翰就任泰山工厂总经理！
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二、线性规划图解法
例2. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
x2
z=10000=50x1+100x2
AB C
z=0=50x1+100x2
E
z=27500=50x1+100x2
z=20000=50x1+100x2
D
x1
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线性规划图解法（续）
• 重要结论：
• 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
• 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
第1节 线性规划问题与模型
• • • • •
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一、线性规划模型 从招聘总经理谈起
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泰山工厂生产状况
• 泰山工厂可以生产两种产品出售，需要三种资源， 已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
设备 劳动力 原材料
产品A 9 4 3
产品B 4 5 10
资源限量 360 200 300
是直线 x1=360/9-4/9x2 下方的半平面。所有半 平面的交集称之为可行域，可行域内的任意一点， 就是满足所有约束条件的解，称之为可行解。
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例1图示
.
x2
90 A 80
60
9x1+4x2 ≤ 360 4x1+5x2 ≤200
40 B
C
20
HI
G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
•
4*20+5*24=200
•
3*20+10*24=300
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怎么达到的？
• 约翰使用了运筹学中的线性规划模型 • 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：设备约束 9X1+4X2≤360
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线性规划图解法（续）
（线4），目直标线函上数的z每=5一0x点1+都10具0x有2，相当同z的取目某标一函固数定值值，时称得之到为一“条等直 值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实 现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约 束条件则其可行域的顶点也是有限的。
2x1+x2≤400 100 200 300
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线性规划图解法（续）
（3）把五个图合并成一个图，取各约束条件的公共部分，如 图2-1所示。
300
x2=250
ห้องสมุดไป่ตู้
200
100
x2≤250
100 200 300
x2=0
x2 2x1+x2=400
x2=250
x1+x2=300
x1=0
x1
图2-1
例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
线性规划模型：
目标函数：Max 约束条件：s.t.
z = 50 x1 + 100 x2 x1 + x2 ≤ 300
x2
X2≥0
x2
X1≥0
X2=0
X1=0
x1
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线性规划图解法（续）
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直 线，然后确定不等式所决定的半平面。
300
200
x1+x2=300
100
100 200 300
x1+x2≤300
400
300
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2x1+x2=400
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