§11任意角和弧度制111任意角
第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数
第一讲 任意角和弧度制、任意角的三角函数【知识要点】1．任意角和弧度制.(1) 角的概念：角的形成，角的顶点、始边、终边．(2) 角的分类（以旋转方向为标准）：正角；负角；零角.(3) 终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为},360|{Z k k ∈+︒⋅=αββ或},2|{Z k k ∈+=απββ．(4) 象限角与轴线角（以终边位置为标准）：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角. 终边落在坐标轴上则是轴线角．(5) 度量：角度制与弧度制以及弧度与角度互换公式：'︒=︒≈︒=185730.571801πrad ，rad01745.01801≈=︒π．注：特殊角角度与弧度的互化要熟练(6)弧长公式：r l ⋅=||α，扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅ 2任意角的三角函数．(1)掌握任意角的正弦、余弦和正切的定义．(2)了解余切、正割、余割的定义(3)掌握正弦、余弦、正切和余切函数的定义域和这四种函数值在各个象限的值的符号．由于三角函数的定义采用了角的终边上任意一点的坐标以及它们之间的相应的比．所以不难推得以下的结论：(4)终边相同的角的三角函数值相等sin （α+k ·360°）=sin α cos （α+k ·360°）=cos α tan （α+k ·360°）=tan α(5)单位圆中的三角函数线1°有向线段；规定了方向的线段．2°三角函数线：在单位圆中某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值．记称它们为三角函数线．【典型例题】例1 已知︒=45α，(1)写出与α终边相同的角的集合；（2）在区间]0,720[︒︒-内找出与α终边相同的角β例2（1）︒600角的终边在第几象限；（2）已知α为第二象限角，判断2α的终边所在的位置；3α呢？例3、写出终边在下列阴影部分内的角的集合：例4、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？例5、求三角函数的值35sin 4costan 3sin cos522πππππ++-+α例6、已知α是第三象限角，试判定sin(cos )cos(sin )a a •的符号【经典练习】 1、已知34sin ,cos 2525αα==-，那么α的终边在（ ） A 、第一象限 B 、第三或第四象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、设θ是第二象限角，且满足｜sin θ2|= －sin θ2 ，则θ2是第 象限的角 3、已知角α的终边经过点P （-3，4），则=αsin ；=αcos ；tan α=4、在ABC ∆中，若cos tan sin 0A B C ••<，则这个三角形一定是 三角形5、若sin 23()14a >，则角a 是第 象限角6、已知角α是第二象限角，试确定2α、2α所在的象限8、判断下列各式的符号 19257cos sin()tan 6312πππ•-• sin3cos4tan5•• 9、写出满足下列条件的角的集合：（1）sin a >（2）1cos 2a ≤ （3）tan 1a >【课后作业】1、若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2、已知角α的终边在直线340x y +=上,则tan α等于（ ）A. 34B. 34-C. 34-或34D. 43- 3、已知角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝ .4、若角α是第四象限角，且cos cos 22αα=-，则2α是第 象限角5、已知(0,)a π∈在sin ,cos ,tan ,tan2a a a a 中，有可能取负值的是 6、若角θ的终边与角67π的终边相同，求在[]0,2π内终边与角3θ的终边相同的角7、函数cos sin tan sin cos tan x x x y x x x=++的值域。
任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角(de)概念(de)推广定义：一条射线OA由原来(de)位置,绕着它(de)端点O按一定(de)方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠可以简记成α.2、角(de)分类：由于用“旋转”定义角之后,角(de)范围大大地扩大了.可以将角分为正角、零角和负角.正角：按照逆时针方向转定(de)角.零角：没有发生任何旋转(de)角.负角：按照顺时针方向旋转(de)角.3、“象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角(de)顶点合于坐标原点,角(de)始边合于x轴(de)正半轴.角(de)终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限(de)角角(de)终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角.例1、（1）A={小于90°(de)角},B={第一象限(de)角},则A∩B=（填序号）.①{小于90°(de)角} ②{0°～90°(de)角}③ {第一象限(de)角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用(de)角(de)集合表示方法 1、终边相同(de)角：（1）终边相同(de)角都可以表示成一个0 到360 (de)角与)(Z k k ∈个周角(de)和.（2）所有与 终边相同(de)角连同 在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角 终边相同(de)角,都可以表示成角 与整数个周角(de)和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同(de)角不一定相等,但相等(de)角(de)终边一定相同.终边相同(de)角有无数个,它们相差360°(de)整数倍.4、一般(de),终边相同(de)角(de)表达形式不唯一. 例1、（1）若θ角(de)终边与58π角(de)终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ(de)角终边相同(de)角为 .（2）若βα和是终边相同(de)角.那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同(de)角(de)集合,并求出其中(de)最小正角,最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角(de)终边相同,且[] 1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上(de)点：终边在x 轴上(de)角(de)集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向(de)角：终边在y =x 轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上(de)角(de)集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称(de)角：若角α与角β(de)终边关于x 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-=k 360若角α与角β(de)终边关于y 轴对称,则角α与角β(de)关系：βα-+= 180360k若角α与角β(de)终边在一条直线上,则角α与角β(de)关系：βα+=k 180角α与角β(de)终边互相垂直,则角α与角β(de)关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β(de)中变得位置关系是（ ）.A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角(de)单位制, 它(de)单位是rad 读作弧度定义：长度等于 (de)弧所对(de)圆心角称为1弧度(de)角.如图： AOB=1rad , AOC=2rad , 周角=2 rad 注意：1、正角(de)弧度数是正数,负角(de)弧度数是负数,零角(de)弧度数是02、角 (de)弧度数(de)绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同. 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用. 2、角度制与弧度制(de)换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应(de)圆心角大小叫一弧度 角度与弧度(de)互换关系：∵ 360 = rad 180 = rad∴ 1 =rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角(de)弧度数为正数,负角(de)弧度数为负数,零角(de)弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度 例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2） rad （3） rad π533、弧长公式和扇形面积公式or C 2rad1rad r l=2o A A Br l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同(de)角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）(de)形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°3、终边在第二象限(de)角(de)集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题(de)是（ ）Α．三角形(de)内角必是一、二象限内(de)角 B ．第一象限(de)角必是锐角 C ．不相等(de)角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°(de)角},那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限(de)角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④7、若α是第一象限(de)角,则-2是( ) A.第一象限(de)角B.第一或第四象限(de)角C.第二或第三象限(de)角D.第二或第四象限(de)角8、下列结论中正确(de)是( )A.小于90°(de)角是锐角B.第二象限(de)角是钝角C.相等(de)角终边一定相同D.终边相同(de)角一定相等9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角(de)终边都在( )轴(de)正半轴上轴(de)正半轴上轴或y 轴上轴(de)正半轴或y 轴(de)正半轴上10、α是一个任意角,则α与-α(de)终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间(de)关系是( )C.Ｘ=Y≠Y12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β(de)范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°13、下列命题中(de)真命题是（ ）A ．三角形(de)内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限(de)角是锐角C ．第二象限(de)角比第一象限(de)角大D ．角α是第四象限角(de)充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ,下列终边相同(de)角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2(de)圆心角所对(de)弦长也是2,则这个圆心角所对(de)弧长是 （ ） A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16、设α角(de)终边上一点P(de)坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于（ ）A ．5πB ．5cot πC ．)(1032Z k k ∈+ππD ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α(de)终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于（ ）A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,}D ．{07,031-1ππ }19、“21sin =A ”“A=30o”(de)（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°(de)扇形,它(de)弧长为2π,则它(de)内切圆半径为 （ ） A ．2B ．3C ． 1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+(－1)k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确(de)是 （ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角(de)终边在 . 23、与－1050°终边相同(de)最小正角是 .24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α(de)范围是 .任意角(de)三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负(de)有（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④3. 02120sin 等于（ ）A.23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限(de)角,那么tan α(de)值等于（ ）A. 43- B. 34- C. 43D. 345．若θ∈（5π4 ,3π2）,则1－2sin θcos θ 等于θ－sin θθ＋cos θθ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13,则cos 2θ＋sin θcos θ(de)值是A.－65B.－45C. 45D.65二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π(de)正弦线和余弦线,则给出(de)以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确(de)是_____________________________. 3．若角α(de)终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ .4．使tan x －xsin 1有意义(de)x (de)集合为 .5．已知α是第二象限(de)角,且cos α2 ＝－45 ,则α2 是第 象限(de)角.三、解答题 1. 已知1tan tan αα，是关于x (de)方程2230x kx k -+-=(de)两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +(de)值.2. 设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0),求θ(de)其他三角函数值.3．证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +(de)值.。
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性： 终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600 的整数倍。
2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。
练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（ B ）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。
任意角和弧度制PPT课件
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
任意角和弧度制PPT精品课件
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以 外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同 一个角的结果，二者就可以相互换算．
我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角， 其弧度数是2π，而在角度制里它是360°，
因此 360 2 rad ，
180 rad ，
1
180
rad
0.01745 rad .
r 逆时针方向
180
2r 顺时针方向
2
360
r 逆时针方向
1
(180 / )
2r 顺时针方向
2
(360 / )
顺时针方向
180
OA，OB重合
0
0
逆时针方向
逆时针方向
2
180 360
悄然转变的
试结合所学列举工业革命后列强给我国带 来的灾难。和工业文明传入我国的事实。
发动侵华战争 通过不平等条约掠夺财富和主权奴役中国人民 镇压中国人民革命
单位不同，量数也不同.
问题2：一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
提示：初中所学的弧长公式 l nr l n
180 r 180
上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比 值，由α的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅 与角的大小有关．
三、 角度制与弧度制的换算
5. 当时学生的学习内容同过去和现在各有 什么不同？为什么会有这些不同？
○与过去相比，民国时期的课程增加 了科学和技术方面的内容
○与现在相比，那时的课程设置还是 比较少，并且比较单一的。
A由于当时清政府的专制压制和思想 禁锢阻碍了中国科学技术的发展； 清政府闭关自守阻断了中外科技文 化交流；
高中数学第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角知识巧解学案
1。
1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。
我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。
旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。
显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。
学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
3。
在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。
显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。
若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。
任意角与弧度制 弧度制
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24
1．弧度制下与角 α 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}， 即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用.
D．kπ＋54π(k∈Z)
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4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝π6 rad,150°＝56π rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
βπ6＋kπ＜β＜56π＋kπ，k∈Z
.
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弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝rl求圆心角时，应注意什么问题？ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大 小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再 计算，否则结果易出错．
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角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键； 2方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′ 化成弧度为________．
(2)将－115π rad化为度 是________．
所以角α的集合是αα＝π4＋kπ，k∈Z
.]
(2)[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ
(完整版)任意角和弧度制知识点和练习
知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第一课时任意角)
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
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第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
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第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )
任意角与弧度制ppt 人教课标版
（3） 950 0 8
第 二 象 限 3 3 6 0 1 2 9 5 2
练习:在 0 ～ 360 间，找出与下列各 角终边相同的角，并判定它们是第几 象限角． （1） 第 54 1 8 四 象 限
3 6 0 3 0 5 4 2
（2） 3958 第 一 象 限
(2 ) 21
S { | k 3 6 0 2 1 , k Z } (3 )3 6 3 1 4 3 5 6 4 6 3 1 4 3 6 3 1 4 S { | k 3 6 0 3 6 3 1 4 , k Z }
2 1 3 3 9 6 9 9
任意角与弧度制
一. 任意角 角的定义
角可以看成平面内一条射线绕
着端点从一个位置旋转到另一
个位置所成的图形．
1.正角、负角、零角
实例:跳水运动员身体旋转 任 意 负角 按顺时针方向旋转形成的角 角 零角 如果一条射线没有任何旋转, 称它形成一个零角
练习:钟表的指针旋转所成的角是?
正角 按逆时针方向旋转形成的角
3
2
2 3
3 4
5 6
3 2
2
k ( 0 2 , k Z ) 将下列各角化成 2 的形式
19 (1 ) 3 19 6 3 3
k 3
3
(2 )3 1 5
3 1 53 6 0 4 5 k 1 2 4 4
比较两个角的大小(不能使用计算器)
_ 1 . 5 _ _ _ _ 8 5
1 7 8 5 1 .4 8 3 6
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
任意角和弧度制PPT课件
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
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此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
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解 (1)因为－150°＝－360°＋210°， 所以在 0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角 是 210°角，它是第三象限角．
(2)因为 650°＝360°＋290°，
所以在 0°～360°范围内，与 650°角终边相同的角
是 290°角，它是第四象限角．
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例 1 在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′， 所以在 0°～360°范围内，与－950°15′角 终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角．
小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：
β＝α＋k·360°，k∈Z， 把所给的角化归到 0°～360°范围内， 然后利用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
k 360 k 360 90 ，k Z
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
2
180°
当 k 2n(n Z ) 时 ，
y
90°
0°
O
360° x
n 360 n 360 45 ，n Z
故
2
是第一象限的角 .
270°
2
当 k 2n 1(n Z ) 时 ，
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
任意角和弧度制ppt课件
o
x
12
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是 第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就 认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴 线角.
那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°， －450°分别是第几象限的角？
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50° o 405°
o
o
－200°
y －450°
22
4.终边在坐标轴上角的表示
思考1：终边在x轴非正半轴、非负半轴上的角分别如 何表示？
x o
13
Hale Waihona Puke 思考2 ：锐角是第几象限的角？第一象限的角 是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？ 思考3 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限(位 置)，不能反映角的大小.
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思考4：在直角坐标系中，135°角的 终边在什么位置？终边在该位置的角 一定是135°吗？
y
释一下这两个式子的几何意义吗？
10
练习1： 钟表经过4小时，时针与分针各
转
(填度).
－120°，-1440°.
2：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25 小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准？
－120°，450°.
11
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直 角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任 意角，角的终边可能落在哪些位置？
18
例1 在0°～360°范围内，找出与－950°角终边 相同的角，并判定它是第几象限角.
任意角和弧度制
任意角和弧度制引言在数学中，角度是一种度量物体之间相对位置的方式。
角度可以用度数或弧度来表示，其中度数是最常见的方式，而弧度则是一种更为抽象的度量方式。
本文将介绍任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。
任意角的定义在平面几何中，任意角可以由一个初始边和一个终边确定。
初始边是角的起点，终边是从起点开始沿着给定的方向确定的线段。
终边最终与一个固定点相交，这个点称为角的顶点。
任意角任意角在度数制中，一个圆周被划分为360度，这意味着一个完整的圆是360度。
任意角可以包含大于360度或小于0度的值。
弧度制相对于度数制，弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。
弧度是一种无单位的度量，它表示沿着圆周上一个圆心角所对应的弧长。
在弧度制中，一个完整的圆的弧长为2π，因此一个直角（90度）对应的弧度为π/2，一周（360度）对应的弧度为2π。
根据这个比例，我们可以通过下面的公式将度数转换为弧度：弧度 = （度数 / 360）* 2π度数到弧度的转换示例我们来看一个具体的例子，假设有一个角度为45度的角，我们想将其转换为弧度。
根据上面的公式，我们可以进行如下计算：弧度= (45 / 360) * 2π计算结果为：弧度= (0.125) * 2π = 0.25π因此，45度的角度转换为弧度为0.25π。
弧度到度数的转换示例同样地，我们可以将一个给定的弧度转换为度数。
假设我们有一个弧度为π/4的角度，我们想将其转换为度数。
根据上述的公式，我们可以进行如下计算：度数 = (弧度/ 2π) * 360计算结果为：度数= (π/4 / 2π) * 360 = (0.25) * 360 = 90度因此，弧度为π/4的角度转换为度数为90度。
结论在本文中，我们介绍了任意角的概念以及如何在度数和弧度制之间进行转换。
度数制是最常见的角度度量方式，而弧度制是一种更为抽象和自然的度量方式。
转换度数到弧度和弧度到度数可以通过简单的公式实现。
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y 轴负半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：象限角与终边落在坐标轴上的角
思考 4 下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.
α 终边所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限
角 α 的集合
{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}
答 终边相同．相差 360°的整数倍．
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探究点三 ：终边相同的角
1.1.1
思考 2 对于任意一个角 α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
答 所有与 α 终边相同的角，连同 α 在内，可以构成一个集合：S＝{β|β＝α ＋k·360°，k∈Z}，
探要点、究所然
1.1.1
[情境导学] 过去我们学习了 0°～360°范围的角，但在实际问题中还会遇到其它角．如 在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体 1 080°”、“踺 子后手翻转体 180°接前直空翻 540°”等这样的解说．因此，仅有 0°～360° 范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广 .
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探究点一 ：角的概念的推广
1.1.1
思考 3 如图已知角 α＝120°，根据角的定义，则 β、－α、－β、γ 分别等 于多少度？
答 －240°；－120°；240°；480°.
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第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角
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任
填要点、记疑点
意
角
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1.1.1
探究点一 角的概念的推广 探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角 探究点三 终边相同的角
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的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z} ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与 整数个周角 的和．
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1.1.1
1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．
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1.1.1
1．角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个位置 旋转
即任何一个与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．
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到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型 正角 负角
定义 按 逆时针方向旋转 按 顺时针方向旋转
形成的角 形成的角
图示
一条射线 没有作任何旋转 ，称它形成 零角
了一个零角
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1.1.1
2. 象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角 的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是 第几象限角 ．如果角
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探究点一 ：角的概念的推广
思考 4 经过 10 小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．
1.1.1
答 经过 10 小时，时针旋转形成的角是－ 300°， 分针旋转形成的角是－ 3 600°.
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探究点一 ：角的概念的推广
1.1.1
思考 1 我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两 条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相 反意义的旋转量．那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？
答 一条射线 OA 绕着端点 O 旋转到 OB 的位置所形成的图形叫作角， 射线 OA 叫角的始边， OB 叫角的终边， O 叫角的顶点．
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探究点一 ：角的概念的推广
1.1.1
思考 2 正角、负角、零角是怎样规定的？
答 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫 做负角， 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
第四象限
{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}
1.1.1
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探究点三 ：终边相同的角
1.1.1
思考 1 在同一直角坐标系中作出 390°，－330°，30°的角，并观察这三个 角终边之间的关系？ 角的大小关系点
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探究点二 ：象限角与终边落在坐标轴上的角
1.1.1
思考 3 终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在 x 轴、y 轴各半
轴上的角，请完成下表.
终边所在的位置
角的集合
x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
探究点二 ：象限角与终边落在坐标轴上的角
1.1.1
思考 1 象限角定义中说：角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行，为什么？
答 不行，因为始边包括端点(原点)．
思考 2 是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
答 不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上； 如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．