人教版高中数学选修2-1 空间向量的数乘运算(1)导学案
人教版高中数学选修2-1空间向量的数乘运算(1)导学案
3.1.2 空间向量的数乘运算（一）【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【要点难点】向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【学习过程】一、自主预习（预习教材 P86~ P87，找出迷惑之处）复习 1：化简：⑴ 5（ 3a 2b ） +4（ 2b3a ）；⑵ 6 a 3b c a b c .复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量a, b ，若 b 是非零向量，则 a 与 b 平行的充要条件是二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的共线问题：空间随意两个向量有几种地点关系？怎样判断它们的地点关系？三、议论沟通点拨提高新知：空间向量的共线：1. 假如表示空间向量的所在的直线相互或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间随意两个向量a,b （ b 0 ），a // b 的充要条件是存在独一实数，使得推论：如图， l 为经过已知点在直线 l 上的充要条件是A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的随意一点O，点P试一试：已知 AB a 5b, BC2a 8b, CD 3 a b，求证: A,B,C三点共线.反省：充足理解两个向量a,b 共线向量的充要条件中的 b 0 ，注意零向量与任何向量共线.四、学能展现例 1 已知直线讲堂闯关AB，点 O 是直线AB外一点，若OP xOA yOB ，且x+y＝ 1，试判断A,B,P三点能否共线？变式：已知 A,B,P 三点共线，点O 是直线 AB 外一点，若 OP 1OA tOB ，那么 t＝2例 2 已知平行六面体ABCD A' B'C 'D '，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且 CG:GA ' =2:1,设 CD = a ， CB b, CC ' c ，试用向量 a, b, c 表示向量 CA,CA' ,CM ,CG .变式 1：已知长方体ABCD A 'B 'C ' D ' ， M 是对角线AC '中点，化简以下表达式：⑴AA' CB ;⑵AB' B'C' C'D'⑶ 1AD1AB1A' A 222变式 2：如图，已知A, B, C 不共线，从平面ABC 外任一点 O ，作出点 P,Q, R, S ,使得：⑴ OP OA 2 AB 2 AC⑵ OQ OA 3 AB 2 AC⑶OR OA 3AB 2AC⑷OS OA 2AB 3AC .小结：空间向量的化简与平面向量的化简同样，加法注意愿量的首尾相接，减法注意愿量要共起点，而且要注意愿量的方向.※ 着手试一试练 1. 以下说法正确的选项是（）A.向量 a 与非零向量 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；B.随意两个共线向量不必定是共线向量；C. 随意两个共线向量相等；D. 若向量 a 与 b 共线，则 a b .2. 已知 a 3m 2n ,b (x 1)m 8n ， a 0 ，若 a // b ，务实数x.五、学后反省※ 学习小结1.空间向量的数乘运算法例及它们的运算律；2.空间两个向量共线的充要条件及推论.※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上全部点沿同样的方向挪动同样的长度” ，空间的平移包括平面的平移 .课后作业：。
高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1
第三章空间向量与立体几何教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OAOB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或a b．平行向量。
2019-2020学年人教A版选修2-1 空间向量的数乘运算 学案
空间向量的数乘运算学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一空间向量的数乘运算思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理(1)平行(共线)向量平行于同一个平面的向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对类型一 空间向量的数乘运算例1 设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明 连接BG ，延长后交CD 于点E ，由G 为△BCD 的重心， 知BG →＝23BE →.由题意知E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →)． 反思与感悟 应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．跟踪训练1 已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示， 记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23[－12a ＋c＋12(b －c )]＝16a ＋13b ＋13c . 类型二 向量共线问题例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED →1，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c . ∵A 1E →＝2ED →1，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D →1，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA →1)＝25(AB →＋AD →－AA →1)＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA →1＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 判定向量a ，b (b ≠0)共线，只需利用已知条件找到x ，使a ＝x b 即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？ 解 设AC 中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →， EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12AD →＋12BC →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与 AD →＋BC →共线． 类型三 向量共面问题例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面． 证明 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →， OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →.因此EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →) ＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面．反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练3 如图，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →. 求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明 (1)∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E 、F 、G 、H 四点共面． (2)EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →. (3)OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k (OA →＋AC →)＝kOC →.1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案 A解析 ∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面．2．已知空间四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( ) A.EF →＝MN → B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →| 答案 B解析 AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|. 3．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对． 4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 答案 －8解析 BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k.∴k ＝－8.(1)四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. (2)OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．(3)证明(或判断)三点A 、B 、C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A 、B 、C 共线． (4)空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．一、选择题1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定； ③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成立．2．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 3答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线．故选A. 4．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面 答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →，∴AP →，PB →，PC →共面， 又它们有公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.故选D.6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 ∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )，∴AB →∥BD →，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．7. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 答案 B解析 OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 二、填空题8．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析 由P ，A ，B ，C 四点共面可知：15＋23＋λ＝1，故λ＝215.9．在三棱锥A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________． 答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ， 则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.10．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 OA →＝(－2x )·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，则有－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1. 三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A 、B 、C 共面？并给出证明．解 点P 与A ，B ，C 三点不共面，证明如下：若点P 与A 、B 、C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →，于是对平面ABC外一点O ，有OP →－OA →＝x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)， ∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →， 比较原式得{1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1，此方程组无解，这样的x ，y 不存在，所以A 、B 、C 、P 四点不共面．12．已知点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明：BD ∥平面EFGH .证明 如图，连接EG ，BG .(1)∵EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD → )＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面． (2)方法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD . 又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH . 方法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →， 又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面． 又BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH .13．如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C →，OD →，OC→1是共面向量．证明 设C 1B →1＝a ，C 1D →1＝b ，C 1C →＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a ， 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )，∴OC →1＝－12(a ＋b )， OD →1＝C 1D →1－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )． ∵D 1D →綊C 1C →，所以D 1D →＝c ， ∴OD →＝OD →1＋D 1D →＝12(b －a )＋c . 若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC →1 (x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a ＋b )] ＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c . ∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎨⎧ 12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得{ x ＝1，y ＝1. ∴B 1C →＝OD →＋OC →1， ∴B 1C →，OD →，OC →1是共面向量．。
人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量及其运算
第三章第一节空间向量及其运算设计者：审核者： 执教： 使用时间:学习目标 1•了解空间向量的概念及其表示方法；2. 用类比的方法学习空间向量的性质；3. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律.自学探究问题1.平面向量的基本概念及表示方法是什么?问题2.平面向量的运算律是什么？【思维导航】(1 )平面向量的加法，减法的运算律是什么？(2)实数与向量的积的运算律是什么？(3 )平面向量的加法，数乘的交换律，结合律，分配律各是什么?问题3.类比平面向量的相关概念，表示及运算律，说出空间向量的概念，表示及运算律。
【试试】(1)空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变A Z-\ r~ — — 二二孑a. — —— —⑶ 点C 在线段AB 上，且 AC =5则AC =— AB ,BC = _____ AB . CB 2—问题4.空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ (1)加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：（a + b ） +c =a + （ b + c ）； ⑶数乘分配律： 入（a + b ）=入 a + 入 b.为两个平面向量的加法和减法运算，右图中, (2)分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a-b.a bOB 二 _____________【技能提炼】并标出化简结果的向量:1.已知平行六面体ABCD -A'B'C'D '(如图)，化简下列向量表达式, ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AAA；彳彳⑶AB AD -CC'；⑷一(AB AD AA').2 2—工—■=■=■= ■=>【变式】在上图中，用AB, AD, AA'表示AC , BD'和DB'.【思考】类比平面向量的运算，你怎样在空间里去进行向量的运算？并与平面向量的运算相类比得出空间向量的相关运算方法•2 .化简下列各式：⑴ AB BC CA; ⑵ AB MB BO OM ; ⑶ AB 一AC BD 一CD;⑷ OA -0D _DC ;⑸ OA OC BO CO ; ⑹ AB _AD _DC ; ⑺ NQ QP MN - MP .【思考】怎么样去化简向量表达式教师问题创生学生问题发现变式反馈*1.已知向量a,b,c，则下列等式中错误的是()A. a (b c) = (a b) cB. a -(b - C) = (a - b) CC. (a-b) c-(a-b-c) =0D. (a-b) c -(a -b c) = 0*2.在空间四边形ABC［中, M G分别是BC CD的中点，贝U AB+—(BD + BC)等于()2A. ADB. GAC. AGD. MG*3.如图，在平行六面体ABC d ABGD中，设AB = a, AD二b, AA,= c, , E F分别是AD, BD中占I 八、、•—fc- —fc -b-(1)用向量a, b,c表示D1B, EF ;⑵化简：AB BB1 BC C1D1 2D1E.人教版高中数学选修2-1导学案。
导学设计高中数学人教A版选修2-1配套课件3.1.2空间向量的数乘运算
本 专 题 栏 目 开 关
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘： 实数 λ 与空间向量 a 的乘积仍然是一个
λa 向量的数乘运算 ． 向量， 记作 _______ ， 称为 _______________ 当 λ>0 时，
本 专 题 栏 目 开 关
相同 ；当 λ<0 时， λa 与向量 a 方 λa 与向量 a 方向 ________
2．共线向量 (1)共线向量定义 表示空间向量 a，b 的有向线段所在的直线
本 专 题 栏 目 开 关
互相平行或重合 ，则向量 a， b 叫做 __________ 共线向量 或 __________________
a∥b ． __________ 平行向量 ，记作 ________
(2)两向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量 a， b (b≠ 0)， a∥ b 的充要条件
探究点二 问题 1
向量共线问题
(1)两向量共线时，它们的方向有什么关系？
本 专 题 栏 目 开 关
(2)在两向量共线的充要条件中，为什么要求 b≠0?
答案
(1)两向量共线，则它们的方向相同或相反．
(2)由于我们已经规定了 0 与任意向量平行，所以当 b ＝0 时，a 与 b 是共线向量，可如果 a≠0，就不可能存 在实数 λ，使 a＝λb 成立．
本 专 题 栏 目 开 关
例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重 → 1 → → → 心．求证：AG＝ (AB＋AC＋AD)． 3 证明 连接 BG， 延长后交 CD 于点 E， 由G → 2→ 为△BCD 的重心，知BG＝ BE. 3 由题意知 E 为 CD 的中点， → 1→ 1→ ∴BE＝2BC＋2BD. → → → → 2→ AG＝AB＋BG＝AB＋3BE
高中数学选修2-1精品教案1：3.1.2 空间向量的数乘运算教学设计
3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标：1.掌握空间向量的数乘运算及其几何意义； 2．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程： 一.复习引入空间向量的概念及表示；向量的加减运算的几何意义． 二.思考分析问题1：向量a 与b 共线的条件是什么？ 提示：存在唯一实数λ，使a ＝λb .问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a ，b 共面，能否推出a ＝λb (λ∈R)? 提示：不能． 三.抽象概括1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a 与λa 的关系：(3)①分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . ②结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 2．共线向量如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP u u u r＝OA u u r＋ta ，①其中a 叫做直线l 的方向向量，如图所示. 若在l 上取AB u u u r＝a ，则①式可化为OP u u u r ＝OA u u r ＋tAB u u u r .如图，空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，或对空间任意一点O 来说，有OP u u u r ＝OM u u u r ＋x MA u u u r ＋y MB u u u r . 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b ≠0不可遗漏． 4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP u u u r ＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，且x＋y ＋z ＝1判断P ，A ，B ，C 四点共面． 四.例题分析及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AM u u u r ＝12MC u u ur ，1A N u u u r ＝2 ND u u u r .设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u r .[思路点拨] 先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN u u u r表示成其他向量，然后进一步用a ，b ，c 表示MN u u u r.[精解详析] 如图所示，连接AN ，则MN u u u r ＝AN u u u r －AM u u u r ＝1AA u u u r ＋1A N u u u r －13AC u u u r＝1AA u u u r ＋231A D u u u r －13(AB u u u r ＋BC u u ur )＝1AA u u u r ＋23(AD u u u r －1AA u u u r )－13(AB u u u r ＋AD u u u r)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .[感悟体会] 用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MNu u u r表示为MN u u u r ＝MA u u u r ＋1AA u u ur ＋1A N u u u r .训练题组11.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r＝b ，1A A u u u r ＝c ，则下列向量中与1B M u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：1B M u u u u r ＝1B B u u u r ＋BM u u u r ＝1B B u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r )＝1B B u u u r ＋12AD u u u r －12AB u u u r ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1) OQ u u u r ＝PQ u u u r ＋x PC u u u r ＋y PA u u r；(2) PA u u r ＝x PO u u u r ＋y PQ u u u r ＋PD u u u r.解：(1)∵OQ u u u r ＝PQ u u u r －PO u u u r ＝PQ u u u r －12(PA u u r ＋PC u u ur )＝PQ u u u r －12PA u u r －12PC u u u r ，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA u u r ＋PA u u r ＝2PO u u u r ，∴PA u u r＝2PO u u u r －PC u u u r .又∵PC u u u r ＋PD u u u r ＝2PQ u u u r ，∴PC u u u r ＝2PQ u u u r －PD u u u r .从而有PA u u r ＝2PO u u u r －(2PQ u u u r －PD u u u r )＝2PO u u u r －2PQ u u u r ＋PD u u u r.∴x ＝2，y ＝－2.[例2] 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE u u u r 与MN u u u r是否共线．[思路点拨] 分析题意u u u r u u r u u u ru u u r →[精解详析] ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u r ＝MC u u u r ＋CB u u r ＋BN u u u r ＝12AC u u u r ＋CB u u r ＋12BF u u u r ＝12(BC u u u r －BA u u r )＋CB u u r ＋12(BA u u r ＋BE u u u r )＝12BC u u ur ＋CB u u r ＋12BE u u u r ＝12(CB u u r ＋BE u u u r )＝12CE u u u r . ∴CE u u u r ∥MN u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u r共线．[感悟体会] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x ，使a ＝xb 成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a ＝xb ，从而得出a ∥b ，即a 与b 共线． 训练题组23．已知空间向量a ，b ，且AB u u u r＝a ＋2b ，BC u u u r ＝－5a ＋6b ，CD u u u r ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：BD u u u r ＝BC u u ur ＋CD u u u r ＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2AB u u u r，∴A ，B ，D 三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF u u u r ＝23CB u u r ，CG u u u r ＝23CD u u u r.求证：四边形EFGH 是梯形．证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴AE u u u r ＝12AB u u u r ，AH u u u r ＝12AD u u u r ，EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r ＝12AD u u u r －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u ur ＝12(CD u u u r －CB u u r )＝12(32CG u u u r －32CF u u u r )＝34(CG u u u r －CF u u u r )＝34FG u u u r ，∴EH u u u r ∥FG u u u r 且|EH u u u r |＝34|FG u u u r |≠|FG u u u r |.又点F 不在EH u u u r上，∴四边形EFGH 是梯形.[例3] 对于任意空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．试证：EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[思路点拨] 分析题意→应用向量共面的充要条件→得出结论[精解详析] 空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，则EF u u u r ＝EA u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ，EF u u u r ＝EB u u r ＋BC u u ur ＋CF u u u r .①又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，故有EA u u r ＝－EB u u r ，DF u u u r＝－CF u u u r .②将②代入①中，两式相加得2 EF u u u r ＝AD u u u r ＋BC u u ur .所以EF u u u r ＝12AD u u u r ＋12BC u u u r ，即EF u u u r 与BC u u u r ，AD u u u r共面．[感悟体会] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x ，y 使向量EF u u u r ＝x AD u u u r＋y BC u u u r 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD u u u r ，BC u u u r 表示EF u u u r.训练题组35．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM u u u r ＝3OA u u r －2OB u u u r －OC u u u r B ．OM u u u r ＋OA u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0C ．MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u ur ＝0D ．OM u u u r ＝14OB u u u r －OA u u r ＋12OC u u u r解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u ur ，∴M 与A ，B ，C 必共面．答案：C6．已知e 1，e 2为两个不共线的非零向量，且AB u u u r ＝e 1＋e 2，AC u u u r ＝2e 1＋8e 2，AD u u u r＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．证明：设存在实数λ，μ，使得AB u u u r ＝λAC u u u r ＋μAD u u u r ，即e 1＋e 2＝λ(2e 1＋8e 2)＋μ(3e 1－3e 2)＝(2λ＋3μ)e 1＋(8λ－3μ)e 2. ∵e 1，e 2为两个不共线的非零向量，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋3μ＝1，8λ－3μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝15，μ＝15，即AB u u u r ＝15AC u u u r ＋15AD u u u r.从而点B 位于平面ACD 中，即A ，B ，C ，D 四点共面． 五.课堂小结与归纳1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)⇒a ∥b ，可以作为以后证明线线平行的依据．2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O ，有OP u u u r ＝αOA u u r ＋βOB u u u r ＋γOC u u u r(α＋β＋γ＝1)成立，则P ，A ，B ，C共面)．3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性． 六.当堂训练1．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． ②向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面． ③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . A ．0 B ．1C ．2 D ．3①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 解析：①当b ＝0时，a 与c 不一定共线，故①错误；②中a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误； ③当b 为零向量，a 不为零向量时，λ不存在． 答案：A2．在四面体O －ABC 中，OA u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12c C.12a ＋14b ＋14c D .14a ＋12b ＋14c 解析：OE u u u r ＝OA u u r ＋AE u u u r ＝OA u u r ＋12AD u u u r ＝OA u u r ＋12×12(AB uu u r ＋AC uuur )＝OA u u r ＋14(OB u u u r －OA u u r ＋OC u u u r －OA u u r )＝12OA u u r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c .答案：C3．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则( ) A ．a ∥e 1B ．a ∥e 2C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能解析：若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝te 1，∴te 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知C 正确． 答案：C4．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r，则P ，A ，B ，C四点( ) A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面解析：OP u u u r ＝34OA u u r ＋18OB u u u r ＋18OC u u u r ＝34OA u u r ＋18(OA u u r ＋AB u u u r )＋18(OA u u r ＋AC u u u r )＝OA u u r ＋18AB u u u r ＋18AC u u u r ， ∴OP u u u r －OA u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r ，∴AP u u u r ＝18AB u u u r ＋18AC u u u r .由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 答案：B5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB u u u r ＋12BC u u u r －32BE u u u r －AD u u u r化简的结果为________．解析：延长DE 交边BC 于点F ，则有AB u u u r ＋12BC u u u r ＝AF u u u r ，32DE u u u r ＋AD u u u r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＝AF u u u r ，故AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r＝0.答案：06．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB u u u r＝2e 1＋ke 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD u u u r ＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.解析：AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＝AB u u u r －CB u u r ＋CD u u ur ＝3e 1＋(k －4)e 2.由A ，B ，D 三点共线可知，存在λ使AB u u u r ＝λAD u u u r，即2e 1＋ke 2＝3λe 1＋λ(k －4)e 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3λ，k ＝λk －4，可得k ＝－8.答案：－87.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：A ，E ，C 1，F 四点共面．证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，∴1AA u u u r ＝1BB u u u r ＝1CC u u u r ＝1DD u u u u r ，∴BE u u u r ＝131AA u u u r ，DF u u u r ＝231AA u u ur ，∴1AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋131AA u u ur ＋231AA u u u r＝(AB u u u r ＋131AA u u u r )＋(AD u u u r ＋231AA u u u r )＝AB u u u r ＋BE u u u r ＋AD u u u r ＋DF u u u r ＝AE u u u r ＋AF u u u r.由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．8.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且1A E u u u r ＝21ED u u u r，F 在对角线A 1C上，且1A F u u u r ＝23FC u u ur .求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u r ＝c .∵1A E u u u r ＝21AA u u u r ，1A F u u u r ＝23FC u u u r ，∴1A E u u u r ＝2311A D u u u u r ，1A F u u u r ＝251AC u u u r ，∴1A E u u u r ＝23AD u u u r ＝23b ，1A F u u u r ＝25(AC u u u r －1AA u u u r )＝25(AB u u u r ＋AD u u u r －1AA u u ur )＝25a ＋25b －25c .∴EF u u u r ＝1A F u u u r －1A E u u u r ＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB u u r ＝1EA u u u r ＋1A A u u u r ＋AB u u u r ＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF u u u r ＝25EB u u r.所以E ，F ，B 三点共线．。
高中数学人教A版选修(2-1)3.1.1《空间向量及其加减数乘运算》word导学案
3.1.1 空间向量及其加减数乘运算【学习目标】1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.空间向量加法、减法、数乘及它们的运算律；【自主学习】1.类比平面向量认识空间向量，谈谈空间向量的概念、表示方法。
思考：空间的任意两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示吗？2．空间向量的线性运算与平面向量运算类似，空间向量的加法、减法与数乘向量运算定义如下b a+=+=b a OB OA BA-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：____________________ ⑵加法结合律：______________________-⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(， ()a a a λμλμ+=+⑷数乘结合律：()()a a λμλμ=探究：在平行六面体''''D C B A ABCD -中，分别标出AA AA ++++'',表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律及结合律么？【典例分析】例1.已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列表达式，并标出化简结果的向量. ⑴AB BC +⑵AB AD AA '++ ⑶12AB AD CC '++⑷1(3AB AD AA '++【目标检测】空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD的中点，化简下列各表BDA达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++（2）1()2AB BD BC ++三、1()2AG AB AC-+【总结提升】类似平面向量运算，掌握空间向量的加法、减法与数乘向量运算.。
人教版高中数学选修2-1空间向量的数量积(1)导学案
．空间向量的数目积（ 1）【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2.掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．【要点难点】空间向量夹角和模的观点及表示方法利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．【学习过程】一、自主预习（预习教材P90~ P92，找出迷惑之处）复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数目积？复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ABC 中，求 AB BC .二、合作研究概括展现研究任务一：空间向量的数目积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，的夹角和空间线段的长度问题？三、议论沟通点拨提高可否用向量的知识解决空间两条直线1)则两个向量的夹角的定义：已知两非零向量AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a, b，在空间.一点O ，作OA a ,OB b ，试一试：⑴范围:a, ba, b =0 时, a与b; a, b=π时 ,a与 b⑵a,b b ,a建立吗？⑶a, b，则称 a 与 b相互垂直，记作.2)向量的数目积：已知向量 a,b ，则叫做a,b的数目积，记作 a b ，即 a b.规定 :零向量与随意愿量的数目积等于零.反省：⑴ 两个向量的数目积是数目仍是向量？⑵0 a（选0仍是0）⑶你能说出 a b 的几何意义吗？3)空间向量数目积的性质：（1）设单位向量 e ，则 a e | a | cos a, e．（2） a b a b．（3） a a＝.4)空间向量数目积运算律：（1） ( a ) b(a b ) a ( b) ．（2） a b b a （互换律）．（3） a (b c) a b a c （分派律反省：⑴（a b) c a (b c) 吗？举例说明.⑵若 a b a c ，则 b c 吗？举例说明 .⑶若 a b 0 ，则 a 0 或 b0 吗？为何？四、学能展现讲堂闯关例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .变式 1：用向量方法证明：已知：m, n 是平面内的两条订交直线，直线l 与平面的交点为 B ，且 l m,l n .求证： l．例 2如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC3， BD 2 3，CD3， ABD30 ，ABC60 ，求AB与 CD 的夹角的余弦值DA CB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1 B1C 1中，若AB= 2 BB 1,则 AB1与 C1B 所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例3如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，A B 4 , A ,D AA3 ' 5 ,BAD90,BAA'=DAA'=60°,求AC'的长.※ 着手试一试练 1.已知向量 a,b 知足a 1 ， b 2 ， a b 3 ，则 a b ____.练 2.2, a b 2 , 则 a 与 b 的夹角大小为 ____ _.已知 a 2 2 , b2五、学后反省1..向量的数目积的定义和几何意义.2. 向量的数目积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.【课后作业】：1. 已知空间四边形ABCD 中， AB CD ， AC BD ，求证：AD BC .DA CB2. 已知线段 AB 、内 ,BD⊥ AB, 线段AC,假如 AB＝ a,BD＝b,AC＝ c,求 C、D 间的BD 在平面距离 .。
选修2-1 空间向量导学案
§3.1.1 空间向量及其加减运算【学习要求】1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2．掌握空间向量的加法、减法运算．【学法指导】结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算．通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想．【知识要点】1．空间向量（1）空间向量的定义在空间，把具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或______． （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作________，其模记为_____或________． （3）特殊向量 名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫______，记为____ 单位向量 ______的向量叫单位向量相反向量 与向量a 长度____而方向____的向量，记为____相等向量方向____且模____的向量称为相等向量，____且____的有向线段表示同一向量或相等向量2．空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋OC →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝__________. 3．空间向量加法的运算律（1）交换律 a ＋b ＝________；（2）结合律 (a ＋b )＋c ＝__________.【问题探究】探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2 空间向量和平面向量有什么区别？它有什么作用？问题3 向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？ 问题4 “空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？ 例1 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中不正确的命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 跟踪训练1 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差？问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2 如图，已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．（1）AA ′→－CB →； （2）AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.跟踪训练2 化简：（1）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)； （2）(AB →＋CD →)－(AC →＋BD →)．【当堂检测】1．下列命题中，假命题是 ( )A ．向量AB →与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等2．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 ( )A ．OA →＋OB →＝AB → B ．OA →＋OB →＝BA →C ．AO →－OB →＝AB →D ．OA →－OB →＝CD →3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若向量a 是向量b 的相反向量，则a ＋b ＝0C ．如果两向量平行，则两向量相等D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →－AD →＝DB →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.§3.1.2 空间向量的数乘运算【学习要求】1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义．2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面问题．【学法指导】利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和共面向量，充分体现向量的工具性.【知识要点】1．空间向量的数乘运算 （1）向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作_______，称为_______________．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：________________，结合律：______________ 2．共线向量（1）共线向量定义表示空间向量a ，b 的有向线段所在的直线_______，则向量a ，b 叫做______或_______，记作________． （2）两向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使__________ （3）共线向量的推论如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋ta ，①其中a 叫直线l 的____________．在l 上取AB →＝a ，则①式可化为____________．此推论可以用来判断三点共线． 3．共面向量（1）共面向量的概念平行于______________的向量，叫做共面向量． (2)三个向量共面的充要条件若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使_____【问题探究】探究点一 空间向量的数乘运算问题1 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义？ 问题2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？例1 设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC→＋AD →)．探究点二 向量共线问题问题1（1）两向量共线时，它们的方向有什么关系？ （2）在两向量共线的充要条件中，为什么要求b ≠0? 问题2 向量共线在几何中有什么应用？例2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →. 求证：E ，F ，B 三点共线． 跟踪训练2 如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点， F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．探究点三 向量共面问题问题1 如何理解向量与平面平行？问题2 在三个向量共面的充要条件中，若两向量a 、b 共线，那么结论是否还成立？问题3 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？ 问题4 向量共面在几何中有什么应用？问题5 已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？（1）OB →＋OM →＝3OP →－OA →； （2）OP →＝4OA →－OB →－OM →.例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ， OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．跟踪训练3 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．【当堂检测】1．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →2．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是 ( )A ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量3．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C 有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝______________【课堂小结】空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线，三个向量共面问题，在几何中可以解决一些点共线、点共面、线面平行问题.§3.1.3 空间向量的数量积运算【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．【知识要点】1．空间向量的夹角定义 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角 记法 _______范围〈a ，b 〉∈________.当〈a ，b 〉＝π2时，a ______b想一想：〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗？〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉呢？ 2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，则_________________叫做a ，b 的数量积，记作a·b . （2）数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 (λa )·b ＝__________ 交换律 a·b ＝________分配律a ·(b ＋c )＝________________（3）数量积的性质两个向量数量积的性质①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔___________②若a 与b 同向，则a·b ＝________；若反向，则a·b ＝________. 特别地，a·a ＝________或|a |＝a·a ③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝________ ④|a·b |≤|a |·|b |【问题探究】探究点一 空间向量的数量积运算问题1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ 问题2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b 的定义？ 问题3 请你类比平面向量说出a·b 的几何意义． 问题4 给出下列各式：①|a·b |＝|a||b |；②(a·b )c ＝a (b·c )；③m·(a －b )＝m·a －m·b ；④m·a ＝m·b ⇒a ＝b ；⑤若a·b ＝3，则a ＝3b.其中正确的式子是________例1 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：（1）BC →·ED 1→；（2）BF →·AB 1→；（3）EF →·FC 1→. 跟踪训练1 已知正四面体OABC 的棱长为1.求：（1）OA →·OB →； （2）(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； （3）|OA →＋OB →＋OC →|.探究点二 利用数量积求夹角问题1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？ 问题2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图，PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，l ⊂α，且l ⊥OA ，求证：l ⊥P A .跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形， 且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°. 求证：CC 1⊥BD .探究点三 利用数量积求距离问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．例3 已知a ，b ，c 中每两个的夹角都是π3，且|a |＝4，|b |＝6，|c |＝2，试计算|a ＋b ＋c |.跟踪训练3 如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．【当堂检测】1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知a，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A．7 B．10 C．13 D．43．如图所示，已知P A⊥平面ABC，∠ABC＝120°，P A＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6 2 B．6 C．12 D．144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示【学习要求】1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．3．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．【学法指导】从空间向量的正交分解到空间向量基本定理，是特殊到一般的思想．把空间向量用不共面的三个向量表示是利用向量解决几何问题的基础.【知识要点】1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c________，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p ＝_________.其中__________叫做空间的一个基底，__________都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示（1）单位正交基底三个有公共起点O的____________的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．（2）空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为______，分别以___________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.（3）空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它________，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝______________把__________称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________.【问题探究】探究点一空间向量的基底问题1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？问题2基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？问题3类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？例1若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？跟踪训练1设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有 ()A．1个B．2个C．3个D．4个探究点二用基底表示向量问题1和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？问题2用基底表示向量应注意哪些问题？例2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量GH→.跟踪训练2在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）AP→；（2）AM→；（3）AN→；（4）AQ→.探究点三空间向量的坐标表示问题1怎样把空间向量用坐标表示？问题2空间向量的坐标表示和利用空间向量基本定理表示向量是什么关系？例3已知P A垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且P A＝AD＝1，求向量MN→、DC→的坐标．跟踪训练3在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求DO→，A1B→的坐标．【当堂检测】1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则 ( ) A ．OA →、OB →、OC →共线 B ．OA →、OB →共线 C ．OB →、OC →共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面2．已知e 1，e 2，e 3是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量，且p ＝e 1＋2e 2－3e 3，则p 的坐标是 ( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(1,2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是 ( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)4．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝______________.(用a ，b ，c 表示)【课堂小结】1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示． 2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算.§3.2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系【学习要求】1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．【学法指导】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时，应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用.【知识要点】1．直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的__________n ，叫做平面α的法向量2．空间中平行关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则线线平行 l ∥m ⇔________⇔a ＝kb (k ∈R) 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔________⇔____________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝ku ，k ∈R 面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.【问题探究】探究点一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系问题1 对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？ 问题2 怎样求一个平面的法向量？试一试 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； （2）平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；（3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； （4）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：（1）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； （2）直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； （3）平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； （4）平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；（5）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)．探究点二 用向量法证明立体几何定理例2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，β，其中l ，m ⊂α，l 与m 相交，l ∥β，m ∥β，求证：α∥β. 跟踪训练2 用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．已知：直线l ，m 和平面α，其中l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，求证：l ∥α.探究点三 利用空间向量证明平行关系问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？例3 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点， 求证：（1）FC 1∥平面ADE ； （2）平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练3 如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .【当堂检测】1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则 ( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝______ 5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； （3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.第2课时 空间向量与垂直关系【学习要求】1．能利用向量叙述线线、线面、面面的垂直关系． 2．进一步体会直线的方向向量，平面法向量的作用．【学法指导】在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.【知识要点】空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔___ 设直线l 的方向向量是a＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔________若平面α的法向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔____________【问题探究】探究点一 证明线线垂直问题 怎样证明两条直线互相垂直？例1 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.跟踪训练1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .探究点二 证明线面垂直问题 怎样利用向量方法证明线面垂直？例2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的 中点．求证：EF ⊥平面B 1AC . 探究点三 证明面面垂直问题 怎样证明两个平面垂直？例3 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点，求证：平面BEF ⊥平面ABC . 跟踪训练3 如图所示，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2. 求证：（1）A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面；（2）平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1.【当堂检测】1．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1、l 2相交但不垂直 D ．不能确定 2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则 ( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定4.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2， BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .【课堂小结】1．用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．2．用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．第3课时空间向量与空间角【学习要求】1．理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角求法问题．【学法指导】空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.【知识要点】1．两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝_______.2．直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝_______3．二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝_______.【问题探究】探究点一求两条异面直线所成的角问题1怎样求两条异面直线所成的角？问题2两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？例1如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．跟踪训练1长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点二求直线和平面所成的角问题1直线和平面所成角的范围是什么？问题2直线与平面所成的角θ和直线方向向量a与平面法向量b的夹角有什么关系？例2如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．跟踪训练2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，P A⊥底面ABCD，且P A＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角．探究点三求二面角问题怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小？例3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．跟踪训练3如图，已知四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，P A＝AB＝a，点M是PC的中点．（1）求BP与DM所成的角的大小；（2）求二面角M—DA—C的大小．例4甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．跟踪训练4已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD 垂直，则B与D之间的距离为________【当堂检测】1．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均错2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量，法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角() A．30°B．60°C．120°D．150°3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为()A．24B．23C．63D．324．二面角α—l—β中，平面α的一个法向量n1＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l—β的大小为()A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°5．P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝ 2.求二面角A—PB—C的余弦值．【课堂小结】利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．习题课立体几何中的向量方法【学习要求】通过利用向量方法解决综合性较强的问题，进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用．【学法指导】结合例题的解题过程，对立体几何中的三种方法(综合法、向量法、坐标法)进行比较，进一步体会向量方法与坐标方法相结合的优越性.【知识要点】设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 线线平行 l ∥m ⇔a ∥b ⇔_____________ 线面平行 l ∥α⇔________⇔________ 面面平行 α∥β⇔u ∥v ⇔______________ 线线垂直 l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔__________ 线面垂直 l ⊥α⇔a ∥u ⇔____________ 面面垂直 α⊥β⇔u ⊥v ⇔__________线线夹角 l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，cos θ＝__________线面夹角 l ，α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，sin θ＝__________面面夹角 α，β的夹角为θ (0≤θ≤π2)，cos θ＝__________【问题探究】题型一 立体几何中的综合性问题 例1 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD ＝DC ，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）求证：P A ∥平面EDB ； （2）求证：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小．跟踪训练1 如图所示，正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，F A ＝FE ，∠AEF ＝45°. （1）求证：EF ⊥平面BCE ；（2）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥平面BCE .题型二 立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. （1）证明：AP ⊥BC .（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点． （1）求证：B 1E ⊥AD 1.（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．（3）若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．【当堂检测】1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . （1）求证：BD ⊥平面AED ；（2）求二面角F －BD －C 的余弦值． 2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN?【课堂小结】1．解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是：以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心．2．对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．章末复习课【知识网络】。
人教版高中数学选修2-1 空间向量的数乘运算导学案
3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题复习1：化简：⑴5（32-）；b aa b-）+4（23⑵()()a b c a b c-+--+-.63复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是2.导学提纲1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________3.对空间任意两个向量,a b（0a b的充要条件是存在唯一实数λ，b≠），//使得______,为何要求0b≠？4.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是5.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.6.空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7.向量共面的充要条件的理解（1）MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．二、典型例题例1.1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= 2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO 5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++；B. 1122a b c ++；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 37.下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 4例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c表示向量',,,CA CA CM CG .变式：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD ==== 求证：E,F ,G,H 四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G,H 四点共面.三、变式训练：课本第89页练习1-3 四、课堂小结 1．知识： 2．数学思想、方法：3．能力： 五、课后巩固1.课本第97页A 组2题2. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠，若//a b ，求实数,x y .3.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．A BCD FE G H。
人教版高中数学选修2-1导学案：第三章第一节空间向量及其运算练习
第三章第一节空间向量及其运算练习设计者：曾刚审核者：执教：使用时间：学习目标1.掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2.掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.________________________________________________________________________________ 自学探究(1)在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0 B. 1 C. 2 D. 3(2)若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件(3)已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 (4)设k j i ρρρ,,是一组正交基底， 32,2,a i j k b i j k =+-=-+r u r r r r r r r 则53a b •=r u u u r （ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 【技能提炼】1.如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b ==u u u r u r u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN =u u u u r.【变式1】如图，平行六面体''''ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==u u u r u r u u u r r ，'AA c =u u u r r ,点,,P M N 分别是'''',,CA CD C D 的中点，点Q 在'CA 上，且'41CQ QA =,用基底,,a b c r r r 表示下列向量：⑴ AP u u u r ; ⑵ AM u u u u r ; ⑶ AN u u u r; ⑷ AQ u u u r .2. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,1,2,6ABC CB CA AA ∠=︒===,点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.【变式2】正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使得1MN AB ⊥教师问题创生学生问题发现变式反馈1．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =u u u r a ，CB =u u u rb ，1CC =u u u u rc ， 则1A B =u u u r （ ）A. +-a b cB. -+a b cC. -++a b cD.-+-a b c 2.,,m a m b ⊥⊥u r r u r r (,n a b R λμλμλ=+∈r r r向量且、0)μ≠则（ ）A ．//m n u r rB ． m u r 与n r 不平行也不垂直 C. m n ⊥u r r， D ．以上情况都可能.*3. 已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是____________．*4. 已知a ，b ，c 不共面，且m ＝3a ＋2b ＋c ，n ＝x (a －b )＋y (b －c )－2(c －a )，若m ∥n ，则x ＋y ＝__________________.*5. 已知点A (2,3，－1)，B (8，－2,4)，C (3,0,5)，是否存在实数x ，使AB →与AB →＋xAC →垂直？。
3.1.空间向量的数乘运算-人教A版选修2-1教案
3.1 空间向量的数乘运算 - 人教A版选修2-1教案一、教学目标通过本课时的学习，学生应该掌握以下几个方面的知识：1.理解空间向量的数乘运算的概念和相关定义；2.能够进行空间向量的数乘运算，掌握计算方法和注意事项；3.能够应用数乘运算解决实际问题；4.理解向量数乘的几何意义。
二、教学重点和难点教学重点1.数乘运算的概念和定义；2.空间向量的数乘运算的计算方法和注意事项；3.运用向量数乘解决实际问题。
教学难点1.向量数乘的几何意义；2.空间向量的数乘运算涉及到三维空间的概念，考验学生的空间想象能力。
三、教学内容1. 数乘运算的概念和定义向量的数乘是指把向量和一个实数相乘的运算，通常记为 k\*a，其中 k 是实数， a 是向量。
向量空间 V 中的任意向量 a 经过数乘运算后得到的向量 b 依然在该向量空间 V 中，即b ∈ V。
向量数乘的几何意义是改变向量的长度和方向，如果 k>0，向量的方向不变，向量的长度变成原来的 k 倍；如果 k<0，向量的方向相反，向量的长度变成原来的|k| 倍。
2. 空间向量的数乘运算的计算方法和注意事项空间向量的数乘运算和平面向量的数乘运算类似，只是需要把向量坐标上的二维平面升级为三维空间。
设向量 a = (x1,y1,z1)，k 是实数，则向量 k\*a = (kx1,ky1,kz1)。
需要注意的是，在计算时要注意精度误差的问题，一般为了精确度和计算方便，可以使用分数形式表示实数，如 1/2，2/3 等。
3. 运用向量数乘解决实际问题空间向量的数乘运算可以应用于计算物理量，如速度和加速度等，也可以用于绘制向量图形，如三角形、四面体等等。
在实际问题中，需要根据问题的具体情况选择合适的坐标系，并要善于运用空间几何直观理解。
4. 向量数乘的几何意义向量数乘在几何上的意义是将原向量拉长或缩短成以原向量为轴线的长度为 k 倍的新向量。
如果 k>0，则新向量和原向量同向；如果 k<0，则新向量和原向量反向。
人教版高中数学选修2-1导学案：第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时
第三章第一节空间向量的数乘运算第一课时设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．掌握解空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 了解共线向量定理及它们的推论；3. 能用两个空间向量共线的充要条件判断两个空间向量共线；4. 能用共线向量定理解决简单的立体几何中的问题．________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 请你试试化简以下式子: (1) 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+-r r r r r r .问题2. 在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是什么？问题3. 空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 【思维导航】（1）类比共线的两个平面向量对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是什么？ （2）两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中需要注意些什么?【技能提炼】 1. 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？【变式】1.已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝*2．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →；(2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →；(3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →.【变式１】已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB -u u u r u u u r ; ⑵ '''''AB B C C D ++u u u u r u u u u r u u u u r ；⑶ '111222AD AB A A +-u u u r u u u r u u u r【变式2】如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⑵32OQ OA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ⑶32OR OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ⑷23OS OA AB AC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r .【思考】类比空间向量与平面向量,你能得到在空间向量的化简运算中的异同点吗?在空间向量中的化简运算中要注意些什么?教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列说法正确的是（ ） A. 向量a r 与非零向量b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r 共线；B. 任意两个相等向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a r 与b r 共线，则a b λ=r r .*2．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC →，b ＝CA →，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3*3. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++r r r r r r ，0a ≠r r ，若//a b r r ，求实数.x4. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r r u u u r r r ，则与'B M u u u u r 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++r r r ；B. 1122a b c ++r r r ；C. 1122a b c -+r r r ；D. 1122a b c --+r r r。
人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量的数量积
第三章第一节空间向量的数量积设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．理解空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 能用数量积判断向量的垂直；3. 掌握两个空间向量的数量积的概念及其表示方法，并能利用两个空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 什么是平面向量a r 与b r 的数量积？ 你能用数量积解决什么问题？问题2. 空间向量的数量积是什么？它和平面向量的联系和区别是什么？问题3. 类比平面向量数量积的几何意义和解决的问题，你能得出空间向量的几何意义和运算律是什么？你能解决空间中哪些几何问题？【试试】(1) 范围: ,a b ≤<>≤r r ,a b 〈〉r r =0时,a b r r 与 ; ,a b 〈〉r r =π时,a b r r 与 (2),,a b b a <>=<>r r r r 成立吗？ ⑶,a b <>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作 .(4)已知向量,a b r r ，则 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r .【反思】(1)两个空间向量的数量积是数量还是向量？ (2)0a •=r r （选0还是0r ）(3) 空间向量数量积的性质：①设单位向量e r ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r ．②a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．③a a ⋅=r r ＝ .(4） )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （吗？举例说明.(5） 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 吗？举例说明.(6） 若0a b ⋅=r r ，则00a b ==r r r r 或吗？为什么？【技能提炼】1. 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.【反思】你能得出什么结论或方法吗?【变式】用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线,直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．2.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列命题中： ①若0a b •=r r ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c •=•r r r r ，则b c =r r ③()()a b c a b c ••=••r r r r r r ④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-r r r r r r 正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 已知向量,a b u u r u u r 满足1a =r ，2b =r ，3a b +=r r ，则a b -=r r ____.3.222,,2a b a b ==⋅=-r r r r 已知, 则a b r r 与的夹角大小为_____.4. 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.。
人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案
人教版高中数学选修2-1空间向量及其运算导学案3.1.1 空间向量及其运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；一、自主学习1.预习教材P 84～ P 86, 解决下列问题复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ . (2)当λ＞0时，λa 与b ；当λ＜0时，λa 与b ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 2.导学提纲1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.2.分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.a b3.点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB .4.知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？5.知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.二、典型例题例1、（1）给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ;④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（2）化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.⑸ OA OC BO CO +++; ⑹ AB AD DC --;⑺ NQ QP MN MP ++-.例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++⑶ 1(')2AB AD AA ++⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .例3.在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，BC 、CD ，BM ，DM 和AQ三、当堂练习1. 下列说法中正确的是（）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++=3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子：⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1.完成书86页练习2.课本第97页A组1题。
人教课标版高中数学选修2-1《空间向量的数乘运算》教学设计
共线向量定理 中，两个位置向量 、 的系数和为1；共面向量定理 中，三个位置向量 、 、 的系数和为1．
【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识．
●活动②互动交流、初步实践
例1在平行六面体 中，M为AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（）
【设计意图】从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程．
●活动②巩固理解，深入探究
与平面向量类似，空间向量的数乘运算满足的运算律有哪些呢？（抢答）
分配律： ，结合律： ．
【设计意图】通过抢答，学生深入探究，对空间向量数乘的运算律理解更加深入．
●活动③深化共线概念，推导共线向量定理
与向量 方向有什么关系？（抢答）
2．理解共线向量定理和共面向量定理并熟练应用．
3．培养学生的转化思想及数形结合思想，培养学生空间想象能力，并培养综合应用能力．
（三）学习重点
1．空间向量的数乘运算法则及运算律．
2．利用空间向量的线性运算在空间几何体中表示向量．
3．共线向量定理和共面向量定理在几何证明中的应用．
（四）学习难点
1．空间向量的线性运算．
与向量 相同、相反或为 ，都平行于向量 ．
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（collinervectors）或平行向量（parallelvectors）．
类似于平面向量共线的充要条件，空间任意两个向量 ， （ ）平行的充要条件是什么？（抢答）
．
O为空间任意一点，点P在直线AB上的充要条件呢？（抢答）
●活动①类比探究，推导共面向量定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.1.2 空间向量的数乘运算（一）
【学习目标】
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点难点】
向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【学习过程】
一、自主预习
（预习教材P86~ P87，找出疑惑之处）
复习1：化简：
⑴5（32
-）；
b a
a b
-）+4（23
⑵()()
-+--+-.
63
a b c a b c
复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是二、合作探究归纳展示
探究任务一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？
三、讨论交流点拨提升
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是
试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()
3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.
反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.
四、学能展示 课堂闯关
例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ;
⑵ '''''AB B C C D ++
⑶ '111222
AD AB A A +-
变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++
⑵32OQ OA AB AC =--
⑶32OR OA AB AC =+-
⑷23OS OA AB AC =+-.
小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D.若向量a 与b 共线，则a b λ=.
2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x
五、学后反思
※学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
※知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
课后作业：。