五年级奥数蝴蝶模型

蝴蝶模型

知识框架

四边形模型

任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理 ”：）

①

S 1 :S 2 S 4 : S 3 或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO:OC S 1 S 2 : S 4 S 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的

面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系

（ “梯形蝴蝶定理 ”：）

① S 1 :S 3 a :b

② S 1 :S 3:S 2 :S 4 a 2 :b 2 :ab:ab ； ③ S 的对应份数为 a b 2

．

例题精讲

1 / 11

C

S 1 S 3

S2

O S 4

、任意四边形

例1】图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2

个小三角形的面积分别是 6公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公

顷？

B

巩固】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次

是 2、4、4 和 6．求：⑴求△ OCF 的面积；⑵求△GCE 的面积．

例2】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1平方千米，△BOC 面积为 2平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆

地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

巩固】一个矩形分成 4 个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的

面积是 21 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

面积是 21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？

如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：

⑴三角形的面积；⑵ AG :GC ？

四边形ABCD 的对角线AC与BD交于点O （如图所示）．如果三角形ABD的面积

等于三角形的面积的1，且AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO 的长度的倍．

3

如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为

例3】

BGC 巩固】

BCD 例4】

巩

固】

例5】

巩

固】

A

如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形ABC 的面

积．

A

B

如图，边长

为

1 的正方形ABCD

中，

BE 2EC ，CF FD ，求三角形AEG 的面积．

如图，长方形ABCD 中，BE : EC 2:3 DF : FC 1: 2 ，三角形DFG 的面积为2 平方厘

米，求

长方形 ABCD 的面积．

例 6】 正六边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 的面积是 2009 平方厘米， B 1B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 分别是正六边形各边的中

点；那 么图中阴影六边形的面积是

平方厘米．

A

1 B 1 A

2

B 6

B

2

A

6

A 3

B 5

B

3

A

5 B 4

A

4

巩固】如图，ABCD 是一个四边形， M 、N 分别是 AB 、CD 的中点．如果 △ASM 、△MTB 与△DSN

的面 积分别是 6、 7和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 ．

D F C

例7】已知ABCD 是平行四边形三角形ODE 的面积为 6 平方厘米。则阴影部分的面

积是平方厘米。

巩固】正方形ABCD 边长为6 厘米，AE＝1AC，CF＝1BC。三角形DEF 的面积为平方厘米。

33

、梯形模型

例8】如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知△ AOB 与△ BOC 的面积分别为25 平方厘米与35 平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是平方厘米．

巩固】如图所示，在梯形ABCD 中

，

AB ∥CD ，对角

线

AC

，

E

C

BD 点 O。已知 AB=5， CD=3，且

梯

形 ABCD 的面积为 4 ，求三角形 OAB 的面积。

例 9】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等

于三角形 BOC 面积的 2

，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．

3

巩固】 如下图， 四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO 1，并且 三角形 ABD 的面积 3

三

角形 CBD 的面积 5 那么 OC 的长是多少？

课堂检测

89、

B

C

随 练1】 如图 4，在三角形

三角形 BCD 的面积分

28、 26，那么三角形 DBE 的面积是

家庭作业

作 业 1】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为

E 为 AD 中点，

F 为CE 中点，

G 为 BF

中点，

求三角形 BDG 的面积．

作业2】 如图，在 ABC 中，已知 M 、N 分别在边 AC 、BC 上，BM 与 AN 相交于 O ,若 AOM 、

ABO 和 BON 的面积分别是 3、 2、1，则 MNC 的面积是 ．

随 练 2】 右图中 ABCD 是梯形， 影部分的面积是

ABED 是平行四边形，

已知三角形面积如图所示 （单位：平方厘米 ），阴 平方厘米．

10 厘米，