系统可靠性原理习题及答案

9、请用状态合并算法将习题 8 和 9 中的系统状态合并为正常状态和故障状态， 并再计算系统故障频率。
10、一系统故障树如图所示。请分别用上行法和下行法求系统割集。 解：上行法： G6= X5X6 G5= X6X7 G4= X4+X5 G3= X3+G6= X3+X5X6 G2= G4G5=(X4+X5)X6X7 G1= G2+G3= X3+X5X6+(X4+X5)X6X7= X3+X5X6+ X4X6X7 T= X1+X2+G1= X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7 下行法： T=X1+X2+G1 =X1+X2+(G2+G3) =X1+X2+(G4G5+X3+G6) =X1+X2+((X4+X5)X6X7+X3+X5X6) = X1+X2+X3+X5X6+X4X6X7
统图
则系统的可靠度为 Rs=P(S)=1-P( ) (6)结构函数法，设对基本单元的结构函数为
f123,f45，对系统的结构函数为 f，则由原系统图可知： f123( )=x1⋁ x2⋁ x3
f45( )=x4⋁ x5
f( )= f123⋀ f45 =( x1⋁ x2⋁ x3) ⋀ ( x4⋁ x5) = x1x4+ x1x5+ x2x4+ x2x5+ x3x4+ x3x5 系统可靠度 Rs=E[f( )]
=×(2× (2×、试计算图示系统可靠度。请使用逻辑图简化法、最小路集法、最 小割集法、故障树分析法、结构函数法解决同一问题。设图示系统元件可靠度均 为。
解：(1)设第 i 个元件的可靠度为 xi,i=1,2,3,4,5 则系统的可靠度：
Rs=
=×(2× (2× 逻辑图简化 设第 i 个元件完好之事件为 Xi,i=1,2,3,4,5。系统完好之事件为 S 由图可得：S=(X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5) 则系统可靠度为 Rs=P(S)=P((X1∪X2∪X3)∩(X4∪X5))
MTTF=1/(λ1+λ3)+1/λ3=104×12/11
MTTR=
=
=[11,10,10000]T MTBF=MTTR+MTTF
8、画出由 3 个相同元件组成的 2/3（G）系统元件间状态转移图，求稳态可用度，
故障频率，MTBF 及 MTTR。λ= /h，一个维修人员，μ=h。
解： 状态划分如下：
(4) 最小割集法，设系统完好之事件为 S，将系统简化为如下逻辑图：（虚 线表示）
由图可知，系统的最小割集为 mcs={{
},{
}}
则系统的逻辑表达式为：S=1- =1-
则系统的可靠度为 Rs=P(S)=1-P( ) (5)故障树法，设系统完好之事件为 S，将系
简化成如下故障树图：
系统逻辑表达式为 S=1- =1-
元件 状态
3
2
1
系统状态
S0
0
0
0
0
S1
0
0
1
0
S2
0
1
0
0
S3
0
1
1
1
S4
1
00
1
1
S6
1
1
0
1
S7
1
1
1
1
状态转移图：
2
3
1 1
S1
S 2
3
3
3
1 1
2
S0
2
S S 2
3
1
5
3
1
3
3
S4
2
S6
S3 7
3
2 S2 7
2
1 S1 7
2
1
写出系统的转移率矩阵的转置阵，再求解。
=×(2× (2×结构函数，选 x2，对系统有： f=x2f12+(1-x2)f02
f12=
= x4+ x5- x4 x5
f02=
=( x1+ x3- x1 x3)( x4+ x5- x4 x5)
则 f= x2( x4+ x5- x4 x5)+ (1-x2) ( x1+ x3- x1 x3)( x4+ x5- x4 x5) Rs=P(f)
解：由题意可知，单个元件的可靠度为 Ri(t)=e-λt，i=1，2，3。 A、二元件并联： 系统的可靠度为: Rp(t)=1-(1-R1(t))(1-R2(t))=2e-λt-e-2λt 此时系统的平均寿命为
由于 λ= / h，故 MTTF=1500(h) B、二元件串联：
系统的可靠度为: Rs(t)=R1(t)R2(t)=e-2λt 此时系统的平均寿命为
7、某保护系统的状态转移图如图所示。图中，“0”表示设备完好，“1”表示通 过检验查明为失效待用状态，“2”——故障修理状态，“3”——预防维修状态， 求系统稳态可用度，故障频率，MTBF 和 MTTR。λ1= /h，λ2=1/h，λ3= /h，μ=h。 解：由图可写出系统的转移率矩阵的转置阵为：
P0= uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011 P1=uλ1/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1/2011 P2= λ1λ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=10/2011 P3= uλ2/(uλ1+λ1λ2+2uλ2)=1000/2011 稳态可用度 As(∞)= P0+ P3=2000/2011 系统可靠度为
2、元件的可靠度、故障率和平均寿命各是怎么定义的 解：元件的可靠度：在规定条件下，在时刻 t 以前正常工作的概率。 元件故障率：即故障率函数，元件在 t 时刻以前正常工作，在 t 时刻后单 位时间内发生故障的（条件）概率。 平均寿命：即平均无故障工作时间，也称做首次故障平均时间，是寿命的 期望值。
3、设某种元件的 λ= / h，试求解： （1）由这种元件组成的二元件并联系统、两元件串联、2/3（G）系统的平 均寿命。
由于 λ= / h，故 MTTF=500(h) C、2/3（G）系统：
系统的可靠度为: RG(t)=R1(t)R2(t)R3(t)+(1-R1(t))R2(t)R3(t)+R1(t)(1-R2(t))R3(t)+R1(t)R2 (t)(1-R3(t))
=3e-2λt-2e-3λt 此时系统的平均寿命为
转移率矩阵为： ，
状态概率函数：
系统的瞬时可用度：
稳态可用度： (2)并联情况：
5、试计算图示系统可靠度。请使用全概率公式、布尔展开定理和结构函数法解 决同一问题。设图示系统元件可靠度均为。 解：(1)全概率公式： 选 x2，系统的可靠度为
=×(2× (2×布尔展开，选 x2 进行分解： S=f(x1,1, x3, x4, x5) x2+ f(x1,0, x3, x4, x5) 2 = Rs=P(S) =
由于 λ= / h，故 MTTF=2500/3 (h) （2）t=100h, 500h,1000h 时，由这种元件组成的二元件并联系统、两元件 串联、2/3（G）系统的可靠度分别是多少 解：将各 t 值代入(1)中的各可靠度 R(t)即可得结果。 4、两个相同元件组成的旁联系统，转换开关完全可靠，λ=h，一个维修人员， μ=h，求 t=10h 系统的瞬时可用度和稳态可用度。 解：(1)串联的情况
=×(2× (2× 最小路集法，设系统完好之事件为 S，将系统简化为如下逻 辑图：
由图可得：
这样可得①、③之间的最小路集为 mps={e1e4, e1e5, e2e4, e2e5, e3e4, e3e5} 则系统的逻辑表达式为
=X1X4+ X1X5+ X2X4+ X2X5+ X3X4+ X3X5 将 S 进行不交化标准化得 S’(自行用配项法化)，则系统可靠度为 Rs=P(S) =
11、试画出 n 个相同元件+1 个维修工组成的系统的状态转移图。 解： 串联情况：
n
S0
S1
S2
Sn
并联情况：
2
n
S0
n S1
S2
Sn
(n1)
12、试画出两个不同元件组成的串联系统，但元件 1 具有维修优先权的状态转移 图。
解：
1
S1
S0
1
2
2
S2
2
S
1
3
1
系统可靠性原理习题及答案
1、元件可靠性的定义是什么规定条件、规定时间、规定功能各是什么含义 解：元件的可靠性：元件在规定的时间内、规定条件下完成规定功能的能力。 规定时间：指保修期、使用期和贮存期。 规定条件：即使用条件，主要包括：环境条件、包装条件、贮存条件、维 修条件，操作人员条件等。 规定功能：指元件/系统的用途。