第八章图论概念和一笔画问题

数学建模简明教程
图论概念和 一笔画问题
第八章 图论概念和一笔画问题
§1 图的基本概念 为了表示对象以及对象之间的关系，我们 可以在 纸上画一些点和线。每一点代表一个对 象，称这些点为顶点，简称点；如果两个对象 之间有所讨论的关系，我们就在相应的两点之 间用线连接，称这些线为边 。这样就构成了 一个几何图形，这种由若干种不同的顶点与连 接其中某些顶点的边所组成的图形，称为图。
u
1
x
6
4 y 15 2
2 2
w
x
11 2
3
z
2 2
11 2 2 2 z 22 6
4 5 y
w
2
v
v
图8.4
(a)
(b )
下面是一种有关引进重复边的算法。将边e的两 个端点再用一条权为w(e)的新边连接时，称为边e的重 复边。 因此，中国邮递员问题可以重新叙述如下：给定 一个具有非负权的网络N， ① 用添重复边的方法求得N的一个欧拉赋权母图N+ ， ∑ W ( e ) 尽可能小； 使得
(2)若两扫雪车性能不同，或出发时间不同等造成两 车的差异，可将网络按比例划分。 (3)若首先应该清扫主干道积雪，这就要考虑如何规 定主干道。 (4)若遇到大风，就要考虑顺风与逆风时车速不同等 因素。
2．模型的假设 可作如下的假设： (1)扫雪过程中没有下雪，所有室内道路都有积雪需 要清除。 (2)两辆扫雪车性能相同，都能正常工作。 (3)两辆扫雪车司机驾驶技术相同，扫雪时，车速相 同。 (4)在所有交叉路口，包括室内道路与高速公路的接 口，扫雪车可不减速地转弯。 (5)两辆车出发的时间相同。 (6)每条路面的积雪范围、厚度相同。 3．模型的建立 (1)双行道问题 假设：每条道路有两条相反的行车道。
完全偶图：两顶点集中每一对不同集合的顶点之间都 有一条边 相连的偶图 子图：若图G1的顶点集包含于图G2的顶点集，图 G1的边集包含于图G2的边集，则称图G1是图G2的子 图 生成子图：若图G1、图G2的顶点集相同，图G1 的边集包含于图G2的边集，则称图G1是图G2的生成 子图 V
V1
1
V4
V5
V4
V2
V2
V3
V3
V5
§2 一笔画问题与中国邮递员问题 邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点， 然后再返回邮局。假设要求他至少一次走过他投递 范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短 的路线。这个问题称为中国邮递员问题，因为他是 由我国数学家管梅谷首先研究的。 欧拉链：在一个网络N中，经过它的每条边的链 N的环游：经过N中每条边至少一次的闭链 欧拉环游：经过N中每条边恰好一次的环游 一个图能一笔画就是该图就有欧拉环游 若N有欧拉环游，则它的每一条欧拉环游具有 相同的权，它也必然是最优环游。对有欧拉环游的 网络，我们可以用弗莱里算法求得N的最优环游
度超过该圈总长的一半时，将该圈中的所有重复边去 掉，该圈中的未重复的边重复，所得到的图也是欧拉 赋权母图。 例 设某邮递员负责投递邮件的街道如图8.5(a)所 示，求出该邮递员的最短投递路线。 解 该网络中有8个奇点：v2 , v4 , v5 , v7 , v8 , v9 , v11 , v12 用添重复边的办法得到图8.5(b) 按结论2进行调整，圈 v4 v10 v11v5 总长为12，而重 复边长为11，此时去掉重复边 v4 v10 , v10 v11 , v11v5 添加重复边 v4 v5 。同样在圈 v2 v3v9 v7 v6 v2 中其总 长为21 ，重复边长为12也超过一半。经调整后得新的 网络图8.5(c)。 检查8.5(c)的每一个圈，其重复边的长度均不大于 该圈长的一半，因此用弗拉里算法求得8.5(c)中网络的 欧拉环游即为要求的最优环游。
链：设图G中有一个点边交错的序列，v0e1v1e2 Lvm−1emvm 如果 ei ( vi −1 , vi )(1 ≤ i ≤ m ) ，且 ei (1 ≤ i ≤ m ) 互不相同， v vm v vm 则称这个序列是从 到0 的链。 和0 称为这条链的两个端点。 闭链：如果 v0 和 vm 相同，则称这条链是闭链 路：各顶点互不相同的链 圈：除初始顶点外，各顶点互不相同的闭链 点连通:图G中存在点u到点v的路 分图：图G中连通的顶点连同边构成的图 连通图：只有一个分图的图 完全图：任意两点之间均有边连接的简单图 偶图（二分图）：顶点集是两个互不相交的非空集 合，并且同一个集合中任意两顶点均不相邻的简单 图
的总边长已知，在总长较大的子网络中划出一些与 另一子网络相连的边，添加到总长较小的子网络中。 (2)单行道问题 先加对应的网络N分成两个子网络 和 。 N1 N2 要求 N1和 N 2 子网络边总长度相等，再利用中国 邮递员问题的解法，可以分别求得 和 的欧拉环游， 得到近似解。 注解 4．进一步讨论 (1)不管双行道问题还是单行道问题，都须对原网络 进行划分。可测量图中各路径的长度，并将数 据输入计算机，由计算机划分网络。
e∈E N + \ E ( N )
( )
② 求N+ 的欧拉环游。
解 ② 可用弗莱里算法；解 ①可用爱德蒙斯和约翰逊 算法,这里不作介绍。 当点数较少时，可用奇偶点图上作业法。 结论1 网络N有欧拉环游当且仅当N中每一点的次数 为偶数。
结论2 最优环游具有这样的性质：⑴每条边至多重复 重复一次；⑵每一圈上重复边的长度不超过该圈总长 的一半。 当某一圈上重复边的长度超过该圈总长的一半时， 将该圈中所有重复边去掉，该圈中未重复的边重复， 从而的奇偶点作图法如下： ⑴若N每一点的次均为偶数，则用弗莱里算法求得其 欧拉环游，此即为N的最优环游。 ⑵若不然，则用添重复边的办法得到N的欧拉赋权母 图N*。求得N* 的欧拉环游。（用弗拉里算法） ⑶若某一条边在欧拉赋权母图N*中重复多次，只要去 掉该边的偶数次重复边，总可以使得该边至多重复一 次，这样的图仍为欧拉赋权母图。 ⑷然后逐一检查N*的每一圈，当某一圈上重复边的长
图有两个要素：点，边 点表示对象，边反映对象之间的关系 顶点组成的集合称为顶点集，记作V， 边 组成的集合称为边集，记作E。图由（V，E） 组成，记作G= (V，E)。若给出一个图G，G的 顶点集可用V(G)，G的边集可用E(G)表示，G 的顶点数可用∣G∣表示。 如果对图G的每条边赋一个相应的数（称 为边的权），G连通边上的权称为赋权图。 如果对图中的顶点和边赋以具体的含义和 权，这样的图称为网络。
弗莱里算法
计算步骤如下：
⑴任意取N的一个顶点 V0 ，置于Z= V0 ⑵假设链 Z = v0e1v1e2 Lei vi 已选定，从 E \ {e1 , e2 ,L , ei } 中按下述方法选取 ei +1： ①
ei +1和 vi 相关联；
② ei +1 尽量不选 Gi（是G中去掉边 e1 , e2 ,L , ei 而得 到的图）的割边（即去掉此边后，图 Gi 变为不连 通），除非没有非割边可选择。
e1
v1
e2
e3
e4
v2
e5
v4
e6
v5
v3
e7
若边e表示为 e = vi , v j ，这时称 vi 和 v j 是边e的 端点，便e与点 vi 或 v j 关联。 两点相邻：如果两个点与同一条边关联。
(
)
两边邻接：如果两条边有一个公共端点。 环：两个端点重合的边。 重边：具有两个公共端点的两条边。 孤立点：不与任何边关联的点。 简单图：一个既没有换也没有重边的图。 空图：没有任何边的图。 平凡图：只有一点的图。 点 vi 的次：与 vi 关联的边的条数，记作 dG ( vi ) 或 d ( vi ) ＊注意：在计算点的次时，环作两条边计算，孤立 点的次为0 奇点：次为奇数的点；偶点：次为偶数的点。 ∆ ( G ) 和δ ( G ) 分别表示图G的最大次和最小次。
v1
4
1Hale Waihona Puke v4 v5124
5
v2
5
5
v8
7
4
v 2 6 v7
2
4
v10 2 v11 v12
4
v3 v1
v2 v8
图8.5(a)
v9
4
v13
v1 v2 v4 v5 v6 v7
图8.5(c)
v4 v5
v6 v7
图8.5(b)
v10 v11 v12 v13 v3
v10 v11 v12 v13
v8
v3
§3 城镇道路扫学模型 教材第104页上，图8.6（a）中的实线表示美国 马里兰州威克尔米市需要清除积雪的双向行车道路， 虚线是州高速公路。雪后两辆扫雪车分别从地图* 号标出的两点以西约4英里处出发清扫道路上的积 雪。扫雪车可以通过高速公路进入市内道路。假定 扫雪过程中扫雪车不会损坏或停止，并且道路交叉 处不需要另外附加的扫雪程序。试为两车找出有效 的路径。 1.问题的分析 我们的目的是寻求一个有效的办法用两台扫雪 车 清除威克米尔市内道路（不包括州高速公路）的 积雪。
A．可将地图中每个交叉路口看成点，每条市内道路 看成边，道路的长度看成该边对应的权，这样就将 地图变成一个网络N＝（V,E,W） B．由假设，每条道路均是双行道，即网络N上的点 均为偶点，由上一节的结论1可知，该网络N是一个 欧拉有向图，可用弗莱里算法求得N的欧拉环游。 C C．若只有一辆扫雪车，该问题转化为中国邮递员问 题。 现在有两辆扫雪车，工作性能完全相等，要使工作 N '和 N '' 时间尽量少，我们可将网络N分成两个子网络 ' N 和 N '' 均连通，且两网络的权尽可能相同。可用如下 方法实现网络的分割：把网络N分成两个连通子网络， 分别算出两个子网络中所有边的总长度。由于N
⑶设 ei +1 另一关联点 vi +1 。若 E \ {e1 ,L , ei } ≠ ∅ ，重复 步骤⑵；否则 v1e1v2 Lei vi +1 即为N的一条欧拉 环游