物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体

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物理竞赛1(力学)

z'
z
mi ( rc ri) (vc v i )
i
v i vc v i
ri rc ri
i
i
rc
O
O' C x'
ri ri
mi
y'
y
x
rc ( mvc ) rc mi v i ( mi ri) vc mi ri v i
一、质心 N个粒子系统，定义质量中心
z
rc
m i ri
i 1 N
N
mi
i 1
N

m i ri
i 1
N
r c
O x
mi ri y
m
xc
mi xi
i 1
m
yc
m y
i 1 i
N
i
m
zc
m z
i 1
N
i i
m
对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元
v0 2Gm 2 l0
（G为引力常数）
v0 f
m1
f
F
m1 A
S’ l0
B
m2
F
v0
S
解：（1）以 m 为 S’系 2
v0 f
m1 A
S’ l0
B
m1
f
F
m2
F
v0
S
机械能守恒
m1 m 2 m1 m 2 1 2 m1 v 0 G G 2 l0 l max
1 1 2 2 (m1 m2 )v0 m2v0 2 2

高二物理竞赛刚体力学基础课件

m
m2 m1
对m1 、m2分析受力。由牛顿定律：
对 m1 对 m2
T1m 1gm 1a （1） m 2gT2m 2a（2）
m
1
对滑轮分析力矩，由转动定律：
T2rT1rMf 1 2m2r （3）
关联方程：T 1T 1 , T 2T 2 （4）
①加速阶段 ②匀速阶段
③制动阶段
1 1t1 2 1t2 1 3t3
210211
21 233
1
12 21
1t1
2
3
12 23
1t3
2
而 1 ＋ 2 ＋ 310 2 0
2 1t11t22 1t3 200
t2 20 1 0 (t1 t3 )/2 20 /1 0 (t1 t3 )/2 1.9 8 s2 1
O 到力的作用点 P 的径矢。 M ZrF
大 M Z 小 rs F ： i n F F d tr
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向：由右手螺旋定则确定。
M rFZ有o两个方向，可用正o负表Fr示。
MZ 0
MZ 0
MZ
z
o rp
F
d
•
o
z
r
Ft
P
F
d
•
Fn
2、F不在转轴平面内
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点。特征：各个质点的位移、速度、加速度相等。
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。
3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。

高中物理竞赛讲义(超级完整版)

最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况 (5)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (13)第二部分牛顿运动定律 (15)第一讲牛顿三定律 (16)第二讲牛顿定律的应用 (16)第二讲配套例题选讲 (24)第三部分运动学 (24)第一讲基本知识介绍 (24)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (26)第四部分曲线运动万有引力 (28)第一讲基本知识介绍 (28)第二讲重要模型与专题 (30)第三讲典型例题解析 (38)第五部分动量和能量 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (53)第六部分振动和波 (53)第一讲基本知识介绍 (53)第二讲重要模型与专题 (57)第三讲典型例题解析 (66)第七部分热学 (66)一、分子动理论 (66)二、热现象和基本热力学定律 (68)三、理想气体 (70)四、相变 (77)五、固体和液体 (80)第八部分静电场 (81)第一讲基本知识介绍 (81)第二讲重要模型与专题 (84)第九部分稳恒电流 (95)第一讲基本知识介绍 (95)第二讲重要模型和专题 (98)第十部分磁场 (107)第一讲基本知识介绍 (107)第二讲典型例题解析 (111)第十一部分电磁感应 (117)第一讲、基本定律 (117)第二讲感生电动势 (120)第三讲自感、互感及其它 (124)第十二部分量子论 (127)第一节黑体辐射 (127)第二节光电效应 (130)第三节波粒二象性 (136)第四节测不准关系 (139)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称Ipoh）① 1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。

高中物理竞赛讲义(超级完整版)

物理竞赛指导

基础：程稼夫《力学第二版》《电磁学》《专题讲座》,崔宏宾《热光近代物理》复习：更高更妙。

决赛：舒幼生《力学》，赵凯华《电磁学》，钟锡华《光学》，热学不很清楚。

还想看量子物理的推荐曾谨言《量子力学》。

刷题就用江四喜《物理竞赛专题精编》（备战复赛时用）《物理学难题集萃》《国际奥赛培训与选拔》决赛时用，还嫌不够可以刷中科大《物理学大题典》，不过能经国家集训队的话自己根本无需找题，自会有人给你大量题做的。

至于四大力学，有心冲集训队的可以看看，没这个实力的等到大学看也不迟。

范小辉的第六版的新编奥赛指导，张大同的通向金牌之路，不过很难受，我刚学，求指导。

建议从普通大学物理看起。

非物理专业的大学物理学比较通俗，没有过多运算和数学推导。

竞赛考纲也要看。

竞赛中同一类的题可能有不同表述，有条件的话可以找一些自招的物理笔试题，这样导向性比较好。

辅导讲义是用来结合有关知识解题的、、、完了。

但是你不看大学物理教材！！！！！复赛之路会很艰辛！！自学那就是没老师！！所以我建议你看非物理专业的大学物理学！！大学物理学是本书！！！至于哪个版本，自己挑吧、竞赛里的一大堆微积分，变分，线性回归你根本看不懂！！基础：程稼夫《力学第二版》《电磁学》《专题讲座》,崔宏宾《热光近代物理》复习：更高更妙。

决赛：舒幼生《力学》，赵凯华《电磁学》，钟锡华《光学》，热学不很清楚。

还想看量子物理的推荐曾谨言《量子力学》。

至于四大力学，有心冲集训队的可以看看，没这个实力的等到大学看也不迟。

程稼夫三本书加崔宏宾《热光近代物理》已涵盖全了。

程书高妙普物全国中学生物理竞赛内容提要（2013年开始实行）一．理论基础力学1．运动学：参考系坐标系直角坐标系※平面极坐标质点运动的位移和路程速度加速度矢量和标量矢量的合成和分解※矢量的标积和矢积匀速及匀变速直线运动及其图像运动的合成抛体运动圆周运动圆周运动中的切向加速度和法向加速度※任意曲线运动中的切向加速度和法向加速度，曲率半径相对运动伽里略速度变换刚体的平动和绕定轴的转动角速度和角加速度2．牛顿运动定律力学中常见的几种力牛顿第一、二、三运动定律惯性参考系摩擦力弹性力胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）※非惯性参考系※平动加速参考系中的惯性力※匀速转动参考系中的惯性离心力3．物体的平衡共点力作用下物体的平衡力矩刚体的平衡条件重心物体平衡的种类4．动量冲量动量质点与质点组的动量定理动量守恒定律※质心※质心运动定理反冲运动及火箭5．※角动量※冲量矩※角动量※质点和质点组的角动量定理（不引入转动惯量）※角动量守恒定律6．机械能功和功率动能和动能定理重力势能引力势能质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）弹簧的弹性势能功能原理机械能守恒定律碰撞恢复系数7．在万有引力作用下物体的运动开普勒定律行星和人造天体的圆轨道运动和椭圆轨道运动8．流体静力学静止流体中的压强浮力9．振动简谐振动 x＝Acos（ωt＋Φ）振幅频率和周期相位振动的图像参考圆振动的速度 v＝－ωAsin（ωt＋Φ）（线性）恢复力由动力学方程确定简谐振动的频率简谐振动的能量同方向同频率简谐振动的合成阻尼振动受迫振动和共振（定性）10 波和声横波和纵波波长频率和波速的关系波的图像※平面简谐波的表示式 y＝Acosω（t－x/v）波的干涉※驻波波的衍射（定性）声波声音的响度、音调和音品声音的共鸣乐音和噪声※多普勒效应热学1．分子动理论原子和分子的数量级分子的热运动布朗运动气体分子热运动速率分布律（定性）温度的微观意义分子热运动的动能※气体分子的平均移动动能，玻尔兹曼常量分子力分子间的势能物体的内能2．气体的性质※温标，热力学温标，气体实验定律理想气体状态方程，普适气体恒量理想气体状态方程的微观解释（定性）3．热力学第一定律热力学第一定律理想气体的内能热力学第一定律在理想气体等容、等压、等温和绝热过程中的应用，※定容摩尔热容量和定压摩尔热容量※等温过程中的功（不要求导出）※绝热过程方程（不要求导出）※热机及其效率※致冷机和致冷系数4．※热力学第二定律※热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述※可逆过程与不可逆过程※宏观过程的不可逆性※理想气体的自由膨胀※热力学第二定律的统计意义5．液体的性质液体分子运动的特点表面张力系数※球形液面两边的压强差浸润现象和毛细现象（定性）6．固体的性质晶体和非晶体空间点阵固体分子运动的特点7．物态变化熔化和凝固熔点熔化热蒸发和凝结饱和气压沸腾和沸点汽化热临界温度固体的升华空气的湿度和湿度计露点8．热传递的方式传导※导热系数对流辐射※黑体辐射的概念※斯特藩定律9热膨胀热膨胀和膨胀系数电学1．静电场电荷守恒定律库仑定律静电力常量和真空介电常数电场强度电场线点电荷的场强场强叠加原理匀强电场※无限大均匀带面的场强（不要求导出）均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）电势和电势差等势面点电荷电场的电势公式（不要求导出）电势叠加原理均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）静电场中的导体静电屏蔽电容平行板电容器的电容公式※球形电容器的电容公式电容器的连接电容器充电后的电能电介质的极化，介电常量2．稳恒电流欧姆定律，电阻率和温度的关系电功和电功率电阻的串、并联电动势，闭合电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律※基尔霍夫定律电流表，电压表，欧姆表惠斯通电桥补偿电路3．物质的导电性金属中的电流欧姆定律的微观解释※液体中的电流※法拉第电解定律※气体中的电流※被激放电和自激放电（定性）真空中的电流示波器半导体的导电特性p型半导体和n型半导体※P－N结晶体二极管的单向导电性※及其微观解释（定性）三极管的放大作用（不要求机理）超导现象4．磁场电流的磁场磁感应强度磁感线匀强磁场长直导线、圆线圈、螺线管中的电流的磁场分布（定性）※无限长直导线中电流的磁场表示式※圆线圈中电流的磁场在轴线上的表示式※无限长螺线管中电流的磁场表示式（不要求导出）※真空磁导率安培力洛伦兹力电子荷质比的测定质谱仪回旋加速器霍尔效应5．电磁感应法拉第电磁感应定楞次定律※感应电场（涡旋电场）※电子感应加速器自感和互感，自感系数，※通电自感的磁能（不要求推导）6．交流电交流发电机原理交流电的最大值和有效值纯电阻、纯电感、纯电容电路感抗和容抗※电流和电压的相位差整流滤波和稳压理想变压器三相交流电及其连接法感应电动机原理7．电磁振荡和电磁波电磁振荡振荡电路及振荡频率，电磁波谱电磁场和电磁波电磁波的波速赫兹实验电磁波的发射和调制电磁波的接收、调谐、检波光学1．几何光学光的直进反射折射全反射光的色散折射率与光速的关系平面镜成像，球面镜成像公式及作图法※球面折射成像公式，※焦距与折射率、球面镜半径的关系薄透镜成像公式及作图法眼睛放大镜显微镜望远镜2．波动光学光程光的干涉双缝干涉光的衍射现象单缝衍射（定性）※分辩本领（不要求导出）光谱和光谱分析近代物理1．光的本性光电效应爱因斯坦方程光的波粒二象性光子的能量与动量2．原子结构卢瑟福实验原子的核式结构玻尔模型用玻尔模型解释氢光谱玻尔模型的局限性原子的受激辐射激光的产生（定性）和它的特性3．原子核原子核的量级天然放射现象原子核的衰变半衰期放射线的探测质子的发现中子的发现原子核的组成核反应方程质能方程裂变和聚变4．粒子“基本”粒子，轻子与夸克（简单知识）四种基本相互作用实物粒子具有波粒二象性※德布罗意关系 p＝h/λ※不确定关系?p?x≥h/4π5．※狭义相对论爱因斯坦假设时间和长度的相对论效应相对论动量相对论能量相对论动量能量关系6．※太阳系，银河系，宇宙和黑洞的初步知识．数学基础1．中学阶段全部初等数学（包括解析几何）．2．矢量的合成和分解，极限、无限大和无限小的初步概念．3．※导数及其应用（限于高中教学大纲所涉及的内容）。

高一物理竞赛第6讲刚体力学.学生版

第六讲刚体动力学1.刚体动力学描述方式。

2.转动惯量的理解以及转动定律的运用。

3.寇尼西定理的运用。

说明：学习刚体力学最重要的是把刚体的几个基本概念建立起来：转动惯量，质心，力矩，力矩冲量，角加速度。

质心动能，相对质心动能等等。

概念清晰了，对于公式的记忆和使用并不难，完全类比质点力学体系就可以了。

某种程度上本讲也是对质点力学体系的一次很好的复习。

比较难的问题是联立平动方程与转动方程处理的问题，不过初学的同学做起来不痛快仅仅是因为不熟练而已，本讲整体上不算难。

第一部转动惯量描述刚体运动的方法与参数引入：刚体就是不考虑形状改变的物体，生活中刚体旋转的例子很多，我们本讲带领大家学习这些现象背后的规律。

首先我们注意观察刚体的旋转的描述方式，不难发现刚体上每一个点都在绕着一个轴运动，所有的点角速度一致。

进一步的分析陀螺的运动我们会发现，我们用鞭子抽打，让陀螺越转越快，刚体的动力学也可以用伽利略的观点“力是改变运动状态的原因”去理解。

只不过，我们如何去定量描述呢？知识模块本讲提纲知识点睛1. 转动惯量：先研究一个很简单的问题：一跟长为L 的轻杆，一段可以围绕着固定点O 无阻力的转动，另一端用一个外力F 垂直作用在上面，现在在距离O 点r 远处固定一个质量为m 的质点，质点的运动情况如何？首先我们去描述这种运动，质点做圆周运动，F 的作用点与质点位移x ，速度v ，加速度a 并不一样，但是它们的转动角度θ，角速度ω，角加速度β（有些参考书用α，不过这个字母太容易和a 弄混）是一样的。

复习一下它们的关系： r v ω= 且 r a β=注意r 为到圆周运动圆心的距离。

那么解答这个问题并不难，可以使用牛顿定律进行计算，注意到轻杆受合外力为零，所以质点对杆的力必然向下，设这个力大小为N ，根据力矩平衡：Nr FL = (想不起为什么了？)再隔离质点，由牛顿定律知道： N=ma代入得： β2mr FL =写成这样的式子原因是因为这根杆角加速度一致，用这个参数更加能高效率的描述这种加速转动。

刚体竞赛

刚体
(Rigid Body)
天津工业大学基础物理系
徐克平
（一）刚体的质心和质心运动定理 1.质心 z v1 m2 对两质点组成的系统： C m 1 dr1 dr2 p m1v1 m2v2 m1 m2 r1 rC v2 dt dt r2 d ( m1r1 m2 r2 ) dt y o d m1r1 m2 r2 (m1 m2 ) ( ) x dt m1 m2 m1r1 m2 r2 drC 令 m m1 m2 , rC pm mvC m dt 与 rC 对应的C点称作系统的质心。
dvC d vC r r dt dt dt dt
C r
vC
x
aC r
——无滑滚动的条件
车轮上任一点的速度： v vC r
（r — —该点相对质心 C的位矢）
例6.求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。 G点：vG vC rGC 0 ▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为0. B r r rBC B点：vB vC rBC v C C v B 2vC A r AC rGC A点：v A vC rAC x r
2 v A vC (r )2 2vC
G
例7.半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0时刻开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t>0 时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。(2001第18届非物理类专业大学生物理竞赛试题) 质心参考系：圆环上任一点 at R an R 2 R(t )2 R 2t 2 aC R（纯滚动条件）地面参考系： a C C 2 2 2 2 a1 (ac at ) an R t 最低点：

质心、刚体

3
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
4
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
15
例带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对小球A所做的功。 m, q>0 m B A 分析碰撞过程第一次碰撞用时
2l 2ml a qE / m t1 a qE
第k次碰撞用时
tk 2kt1 t1
12
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW 外 dW 内 dW 惯 dEk
dW惯 mi ac dr i ac d mi ri ac d mrc 0
i
质心系中质心位置矢量为常量
drc 0
质心刚体
1
1 质心
1.1 质心质心运动定理
每个质点的质量、位矢和受力： mi , ri , Fi
质点系的总质量
质点系所受合力
质点系的运动
m mi
i
mi ri 2 2 d i d F Fi mi ai 2 mi ri m 2 dt i dt m i i
6
1.2 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。在质心系中质心静止

高中物理奥林匹克竞赛专题--质心运动定律(共13张PPT)

一质心手榴弹质心（红点）的运动轨迹是抛物线
+ 其余质点的运动质心的平动绕质心的转动
对于N个质点组成的质点系：
m r 11 ,,r m 2,2 , ,,r im , i, r N mN Mmi
直角坐标系中
y mN
xc yc
mixi /M miyi /M
m1

对于内力 f1 2 f2 1 0 , ,fin fn i0 ,

acm ia i mmi ai i Fi

ac
Fi mi
Fi
M

Fi M ac
质心运动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力
作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。
设弹丸碎片落地时质心离原点的距离为 xC
xC

m1x1 m2x2 m1 m2
x2 2xC
yH
d
C
o Od
H
52.3o
x
52.3o
解: 由于氢原子对 x 轴对称，故 yC = 0 .
n
x代C入数i1 据m m ixx iCi=6m .8×Hd 10s-12i3 mn.7 7 m H m r m O C O 0 6 m .m 8 H Hd 1s 1 i0 3m n 2.7 7 i
y a
xc
xdm
a/
2
2
x 2d x
0

2a
m
1 a2
3
O
x
x
2
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆形铁丝的质心。

高中物理奥林匹克竞赛专题--质心-质心运动定理-动量守恒定律

(m 3 v 3 )2 (m 1 v 1 )2 (m 2 v 2 )2 由于 m 1m 2m ,m ,所3 以2m 的大小为v 3
v 3 1 2v 1 2 v 2 2 1 232 0 32 0 2.2 m 1/s v 1和 v所3 成角由下式决定：
1800
因 tgv2 1,450,所以
根据动量守恒定理有对地面参考系而言设炮弹相对地面的速度按速度变换定理为cos动量守恒定律动量守恒定律解物体的动量原等于零炸裂时爆炸力是物体内力它远大于重力故在爆炸中可认为动量守恒
§3-4 质心质心运动定理动量守恒定律
1. 质心
Y
质点系（或物体）的质量中心，简称质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
m 1 x 1 m 2 x 2 m 1 x 1 m 2 x 2
m1(x1x1)m1(l d) （人相对地的移动距离）
m2(x2 x2)m2d （船相对地的移动距离）
dm1m 1m2l0.8(m)
解法二：
设人相对地的运动速度为 v
，船相对
1
地的运动速度为 v 2 ，由动量守恒
xc
m2x20 m1x10 m1 m2
动量守恒定律
例一质量 m1 的5人0k站g在一条质量为
，m2长度20k0g
的船的l 船4头m上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移
动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
设表c b示船
x1
x1
本身的质心
o x 2 x 2
c b c b d

ac
Fi mi
Fi
M
质心运
Fi M ac 动定理

物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体

I r 2dm V
V：刚体的质量分布区域 r：质元 dm 到转轴的距离
29
选取转轴上的O点为参考点刚体定轴转动时的角动量
L ri (mivi )
i
Ri (mivi ) zi (mivi )
i
i
z
Ri
zi
ri
Lz Rimi (Ri ) I
y
i
Lz I
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
40
茹可夫斯基凳
41
例质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
vc
vi
Ek
i
1 2
mivc
vc
i
mi
vc
vi
i
1 2
mi
vi
vi
1 2
mvc2
vc
i
mivi
i
1 2
mivi2
Ek Ekc Ek ,
Ekc
1 2
mvc2 ,
资用能 Ek
i
1 2
mi
vi2
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和
柯尼希(König)定理
a qE / m t1
2l a
2ml qE
第k次碰撞用时 tk 2kt1 t1
18
{A，B}系统的质心加速度
ac
qE 2m
在tk时间内质心位移
sc
1 2
actk2
A球的位移
sA
sc
1 2
l
电场力对A所做的功 W (qE)sA (2k 2 2k 1)qEl
19

物理竞赛-刚体共43页PPT

物理竞赛-刚体
51、没有哪个社会可以制订一部永52、法律源于人的自卫本能。——英格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样一种的网，触犯法律的人，小的可以穿网而过，大的可以破网而出，只有中等的才会坠入网中。 ——申斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大夏，庇护着我们大家；它的每一块砖石都垒在另一块砖石上。 ——高尔斯华绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢！
51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。——陆游 52、生命不等于是呼吸，生命是活动。——卢梭
53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。 ——易卜生 54、唯书籍不朽。——乔特
55、为中华之崛起而读书。 ——周恩来

滑轮的运动

滑轮的运动
舒幼生
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1986(000)002
【摘要】一个简单而又典型的问题是：在一条跨搭于定滑轮两侧的绳之两端挂有不同质量的物体时，如果忽略滑轮与其中心轴间的摩擦，那么滑轮与绳之间究竟是纯滑动、纯滚动、还是滑动与滚动两者并存呢？本文就这一问题进行分析，并给出相应的力学判据．
【总页数】3页(P31-33)
【作者】舒幼生
【作者单位】北京大学
【正文语种】中文
【中图分类】O31
【相关文献】
1.滑轮组增程抽油机传动系统的运动学分析 [J], 崔旭明;孙英飞;闵志缤;陈平;黄雪松
2.MK7-3型拦阻装置滑轮运动特性分析 [J], 王海东;毕玉泉;杨炳恒;黄葵
3.双滑轮运动分析的常见误区 [J], 赵培茈;郭振平
4.分析滑轮运动探讨功的定义 [J], 王语益
5.登山和攀岩运动中滑轮组系统的应用 [J], 李进超
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40
茹可夫斯基凳
41
例质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
mi
Ri
(C
)
d
md
2
平行轴定理 IMN IC md 2
26
*** 刚体定轴转动
*** 运动学描述
刚体的运动总是可以分解为：平动+转动刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。刚体的定轴转动只有一个自由度
27
刚体中每一个点部位都在做圆周运动
z
参考点选在转轴上
ri Ri zi
每一个点部位圆运动的角速度和角加速度是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。
x, I m 都是一维运动
30
例质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。
(a) 转轴位于质心
O
dm dx m l
Ic
2
l/2 0
x2dm
2
l / 2 x2 0
dx l
m
1 12
ml 2
(b) 转轴位于一端
l/2 x
I A
l x2dm
Ri
zi
ri
y
第 i 个点部位
vi Ri ,
ai心 ai切
2Ri Ri
x
28
*** 动力学量转动惯量
动量——刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。
动能
Ek
i
1 2
mi vi2
i
1 2 mi
Ri
2
Ek
1 2
I 2 , I
i
mi Ri2
刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
6
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
i
mi ri
mArA
mB
rB
mC
rC
m
m
7
例由两个质点构成的质点系的质心
9
在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系
mi
质点系的动量
质点系中各质点
(ri
,
mvii相) 对质心的运动
ri
ri
C rC
质点系的动量等于质心的动量
质点系相对质心的动量总是为零
p
p
pc
O
mivi 0
i
10
质点系的动能
Ek
i
12mivi2
i
12mi
vi
vi
vi
量纲分析 IO 1ma 2 2mab 3mb 2
其中的系数待定
边长a和b互换，转动惯量不变
b/2 b/2
a
O1 O O2
IO 1mb 2 2mab 3ma 2
1(a2 b2 ) 3(a2 b2 )
1 3
36
IO 1m a2 b2 2mab
b/2 b/2
IO1
IO2
1
其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。
质心系是惯性系，以质心为坐标原点。
第 i 个质点
(m1
,
ri
,
ri )
质心
质点系总质量 m
动力学方程组miri
G *mimj (rj ri )
ji
22
miri
G * mim j (rj ri )
4
质点系的质心 (center of mass)
质心速度
vc
drc dt
rc
mi ri
i
m
质心加速度
ac
dvc dt
质心动量等于质点系的总动量
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
质心角动量
Lc rc mvc
mvc mivi
i
5
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
2
mr2 l
u1 r
待续
2
第五章质心刚体
3
*** 质心
*** 质心质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： mi , ri , Fi
质点系的总质量 m mi
i
质点系所受合力
F
i
Fi
i
d2
mi ai
dt 2
i
d 2
mi ri
m
dt
2
miri
i
m
刚体定轴转动的动力学规律
质心运动定理
F合外 mac
动能定理
W外
Ek ,
Ek
1 I2
2
转动定理
M 外z
dLz dt
选取 z 轴与刚体转轴重合 M I
39
蛙式打夯机
蛙式打夯机是目前使用最广泛的夯机，它具有操作方便、结构简单、经久耐用、夯实效果好、易维修、价格低等优点。适用于建筑、水利、筑路等上方工程中素土、灰土的夯实作业。
f (r) A , 4
r4
Vequ (r)
L2 2mr 2
A 3r 3
Vc (r) Vequ (r)
V (r)
Bertrand定理：只当有心力为平方反比力或Hooke力时，粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。
1
Bertrand定理的证明
能量 E 守恒角动量 L 守恒引入变量
1 m(r2 r22 ) V (r) E
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
33
对于平板刚体
xi2 yi2 ri2
z
xi
ri yi y
mi
x
I x I y mi yi2 mi xi2 miri2
i
i
i
垂直轴定理 I x I y I z
34
例由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能此轴到刚体质心的距离 d
m1
l
m2
l1
l2
质心位置满足杠杆关系 m1l1 m2l2 , l1 l2 l
l1
m2 m1 m2
lLeabharlann m1l,l2
m1 m1 m2
l
m2
l
8
*** 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止
rc
常矢量
vc 0
质心系中的运动图象
各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
Ek
1 2
IMN 2
刚体质心的速度 vc d
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
1 2
md 2 2
刚体相对质心的转动角速度为
刚体相对质心的动能
Ek'
1 2
I c
2
柯尼希定理 Ek Ekc Ek
I MN IC md 2
35
例质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与
板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，
0
l x2 dx m 1 ml 2 0 l 3
31
例圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转
动惯量
圆环
I0 mR 2
匀质圆盘
I0
R r 2dm
0
R 0
r
2
2rdr R 2
m
1 2
mR
2
r
R
r dr
32
关于计算转动惯量的定理
取两个互相平行、间距为 d 的转轴
光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？

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