物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体

40
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
mi
Ri
(C
)
d
md
2
平行轴定理 IMN IC md 2
26
*** 刚体定轴转动
*** 运动学描述
刚体的运动总是可以分解为：平动+转动 刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。 刚体的定轴转动只有一个自由度
27
刚体中每一个点部位都在做圆周运动
z
参考点选在转轴上
ri Ri zi
每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。
x, I m 都是一维运动
30
例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。
(a) 转轴位于质心
O
dm dx m l
Ic
2
l/2 0
x2dm
2
l / 2 x2 0
dx l
m
1 12
ml 2
(b) 转轴位于一端
l/2 x
I A
l x2dm
Ri
zi
ri
y
第 i 个点部位
vi Ri ,
ai心 ai切
2Ri Ri
x
28
*** 动力学量 转动惯量
动量——刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。
动能
Ek
i
1 2
mi vi2
i
1 2 mi
Ri
2
Ek
1 2
I 2 , I
i
mi Ri2
刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
6
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
i
mi ri
mArA
mB
rB
mC
rC
m
m
7
例 由两个质点构成的质点系的质心
9
在任一参考系中 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系
mi
质点系的动量
质点系中各质点
(ri
,
mvii相) 对质心的运动
ri
ri
C rC
质点系的动量等于质心的动量
质点系相对质心的动量总是为零
p
p
pc
O
mivi 0
i
10
质点系的动能
Ek
i
12mivi2
i
12mi
vi
vi
vi
量纲分析 IO 1ma 2 2mab 3mb 2
其中的系数待定
边长a和b互换，转动惯量不变
b/2 b/2
a
O1 O O2
IO 1mb 2 2mab 3ma 2
1(a2 b2 ) 3(a2 b2 )
1 3
36
IO 1m a2 b2 2mab
b/2 b/2
IO1
IO2
1
其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。
质心系是惯性系，以质心为坐标原点。
第 i 个质点
(m1
,
ri
,
ri )
质心
质点系总质量 m
动力学方程组miri
G *mimj (rj ri )
ji
22
miri
G * mim j (rj ri )
4
质点系的质心 (center of mass)
质心速度
vc
drc dt
rc
mi ri
i
m
质心加速度
ac
dvc dt
质心动量等于质点系的总动量
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
质心角动量
Lc rc mvc
mvc mivi
i
5
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
2
mr2 l
u1 r
待续
2
第五章 质心 刚体
3
*** 质心
*** 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： mi , ri , Fi
质点系的总质量 m mi
i
质点系所受合力
F
i
Fi
i
d2
mi ai
dt 2
i
d 2
mi ri
m
dt
2
miri
i
m
刚体定轴转动的动力学规律
质心运动定理
F合外 mac
动能定理
W外
Ek ,
Ek
1 I2
2
转动定理
M 外z
dLz dt
选取 z 轴与刚体转轴重合 M I
39
蛙式打夯机
蛙式打夯机是目前使用最广泛的夯机，它具有操作方便、结构 简单、经久耐用、夯实效果好、易维修、价格低等优点。适用 于建筑、水利、筑路等上方工程中素土、灰土的夯实作业。
f (r) A , 4
r4
Vequ (r)
L2 2mr 2
A 3r 3
Vc (r) Vequ (r)
V (r)
Bertrand定理：只当有心力为平方反比力或Hooke力时， 粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。
1
Bertrand定理的证明
能量 E 守恒 角动量 L 守恒 引入变量
1 m(r2 r22 ) V (r) E
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
33
对于平板刚体
xi2 yi2 ri2
z
xi
ri yi y
mi
x
I x I y mi yi2 mi xi2 miri2
i
i
i
垂直轴定理 I x I y I z
34
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d
m1
l
m2
l1
l2
质心位置满足杠杆关系 m1l1 m2l2 , l1 l2 l
l1
m2 m1 m2
lLeabharlann m1l,l2
m1 m1 m2
l
m2
l
8
*** 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止
rc
常矢量
vc 0
质心系中的运动图象
各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
Ek
1 2
IMN 2
刚体质心的速度 vc d
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
1 2
md 2 2
刚体相对质心的转动角速度为
刚体相对质心的动能
Ek'
1 2
I c
2
柯尼希定理 Ek Ekc Ek
I MN IC md 2
35
例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与
板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，
0
l x2 dx m 1 ml 2 0 l 3
31
例 圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转
动惯量
圆环
I0 mR 2
匀质圆盘
I0
R r 2dm
0
R 0
r
2
2rdr R 2
m
1 2
mR
2
r
R
r dr
32
关于计算转动惯量的定理
取两个互相平行、间距为 d 的转轴
光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？
m
v
v// T
F
F
20
在质心系中，只有力 F 作功 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功
利用动能定理
Fl
2
1 2
mv2
v
Fl m
21
例 线性引力
假设质点间的万有引力是线性的： F G * m1m2r
vc
vi
Ek
i
1 2
mivc
vc
i
mi
vc
vi
i
1 2
mi
vi
vi
1 2
mvc2
vc
i
mivi
i
1 2
mivi2
Ek Ekc Ek ,
Ekc
1 2
mvc2 ,
资用能 Ek
i
1 2
mi
vi2
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和
柯尼希(König)定理
a qE / m t1
2l a
2ml qE
第k次碰撞用时 tk 2kt1 t1
18
{A，B}系统的质心加速度
ac
qE 2m
在tk时间内质心位移
sc
1 2
actk2
A球的位移
sA
sc
1 2
l
电场力对A所做的功 W (qE)sA (2k 2 2k 1)qEl
19
例 质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在
11
核反应中的资用能
12
质点系的角动量 L
ri mivi
i
其中
ri
rc
ri,
vi
vc
vi
mi
ri
ri
L
rc
mi
vc
rc
mivi
i
i
C rC
mi ri
vc
ri mivi
O
i
i
L Lc L,
Lc
rc mvc ,
L
ri
mi
vi
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和
质点系的动能定理和角动量定理
14
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW内 dW外 dW惯 dEk
dW惯
mi ac
dr
i
ac
d
mi
ri
ac
d
mrc
0
i
质心系中质心位置矢量为常量
i drc 0
dW惯 0
质心系中质点系动能定理 dW内 dW外 dEk
与惯性系完全相同，机械能定理也相同
子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） 在质心系中，B端相对质心速度不变
A l/2
B端的速度 vB gl
质心速度
vC
1 4
gl
质心离A点的位置
rA
7 16
l
B端相对质心的距离
rBC
1l 16
B l/4
绳子伸直所用时间 t 7 l 12 g
25
力学期中考试
时间：4月24日上午10：10 - 12：00 地点：理教113 考试时间：1：50
质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理
相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理
17
例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对
小球A所做的功。
m, q>0
m
A
B
分析碰撞过程 第一次碰撞用时
动力学方程可分解为： xi G * mxi , yi G * myi
每个方程的解都是简谐运动，角频率都是 G * m
合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为
T 2
G*m
24
例 长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳
I r 2dm V
V：刚体的质量分布区域 r：质元 dm 到转轴的距离
29
选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量
L ri (mivi )
i
Ri (mivi ) zi (mivi )
i
i
z
Ri
zi
ri
Lz Rimi (Ri ) I
y
i
Lz I
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
同一参考点
质心为参考点
13
*** 质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力 miac
质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力
平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小
方向沿着质心加速度的反向
质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 在质心系中
G * mim j (rj ri )
ji
j
G * mi j
m
j
rj
G*
mi
j
m j ri
G * mimrC G * mimri
ri
G
*
mri
方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。
23
第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动
i
I y mi (zi2 xi2 )