中考数学模拟试卷(四)

2019-2020年中考数学模拟试卷（四）
一、选择题（本题满分24分，共有8小题，每小题3分）
1．﹣的相反数是（）
A．2 B．C．﹣2 D．﹣
2．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（）
A．B．C．D．
3．今年参加我市初中毕业生学业考试的考生总数45 730人，这个数据用科学记数法表示为（）
A．0.4573×105B．4.573×104C．﹣4.573×104D．4.573×103
4．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）
A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（﹣2，2）
5．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD 的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
6．下列计算错误的是（）
A．﹣（﹣2）=2 B．C．2x2+3x2=5x2D．（a2）3=a5
7．如图：AB⊥CD，CD为⊙O直径，且AB=20，CE=4，那么⊙O的半径是（）
A．B．14 C．D．15
8．在同一直角坐标系中，函数y=（k≠0）与y=kx+k（k≠0）的图象可以是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题满分18分，共有6小题，每小题3分）
9．掷一枚骰子时，出现点数小于3的概率是．
10．|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°=．
11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=15°，且AB=AE，则DE=cm．
12．“福建之星”选拔赛在福州举行，评分规则是：去掉7位评委的一个最高分和一个最低分，其平均分为选手的最后得分．下表是7位评委给某位选手的评分情况：
评委1号2号3号4号5号6号7号
评分9.3 9.4 9.8 9.6 9.2 9.7 9.5
请问这位选手的最后得分是．
13．如图所示，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是．（结果保留π）
14．小明作出了边长为2的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10
个正△A10B10C10的面积是．
三、作图题：（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（1）解关于x的方程：；
（2）解不等式组：．
17．在学校开展的“献爱心”活动中，小东同学打算在暑假期间帮助一家社会福利书店推销A、B、C、D四种书刊．为了了解四种书刊的销售情况，小东对五月份这四种书刊的销售量进行了统计，小东通过采集数据，绘制了两幅不完整的统计图表（如图），请你根据所给出的信息解答以下问题：
书刊种类频数频率
A 0.25
B 1000 0.20
C 750 0.15
D xx
（1）填充频率分布表中的空格及补全频数分布直方图；
（2）若该书店计划定购此四种书刊6000册，请你计算B种书刊应采购多少册较合适？（3）针对调查结果，请你帮助小东同学给该书店提一条合理化的建议．
18．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成3等份，每份内均有数字，小明和小亮用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动转盘A和B，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止），若和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，那么小亮获胜．
把下列树状图补充完整，并求小明获胜的概率．
19．“村村通公路工程”拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．（结果保留整数）
20．今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
班级（1）班（2）班（3）班
金额（元）xx
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；
信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；
（2）求出（1）班的学生人数．
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
22．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润=销售量×（销售单价﹣进价）】
23．（1）如图1，边长为1的正三角形ABC，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正三角形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、A、B、C…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP1P2P3P4P5…P n的长度为．
（2）如图2，边长为1的正四边形ABCD，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正四边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、A、B…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP1P2P3P4P5…P n的长度为．
（3）如图3，边长为1的正五边形ABCDE，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正五边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、E、A…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线AP1P2P3P4P5…P n的长度为．
（4）由以上结论猜想：边长为1的正m边形，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正m边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、E、F…循环，则曲线AP1P2P3P4P5…P n的长度为．
24．如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动．
（1）求AD的长；
（2）当x为何值时，PQ⊥AD？
（3）设CP=x，△PQD的面积为S，求出S与x的函数关系式；当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（4）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由．
xx年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8小题，每小题3分）
1．﹣的相反数是（）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣的相反数为．
【解答】解：与﹣符号相反的数是，所以﹣的相反数是；
故选：B．
【点评】本题主要相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是﹣a．2．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（）
A．B．C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】常规题型．
【分析】找到从上面看所到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到左右相邻的3个矩形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．
3．今年参加我市初中毕业生学业考试的考生总数45 730人，这个数据用科学记数法表示为（）
A．0.4573×105B．4.573×104 C．﹣4.573×104D．4.573×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】应用题．
【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．而且a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点．
【解答】解：根据题意45 730人=4.573×104人．
故选B．
【点评】把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，n的值是易错点，这种记数的方法叫做科学记数法．
[规律]
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
4．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）
【考点】坐标确定位置．
【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y 轴，向上为正方向；
根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
5．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，则∠BOD的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】利用角平分线的性质和对顶角相等即可求得．
【解答】解：∵∠EOC=100°且OA平分∠EOC，
∴∠BOD=∠AOC=×100°=50°．
故选C．
【点评】本题考查了角平分线和对顶角的性质，在相交线中角的度数的求解方法．
6．下列计算错误的是（）
A．﹣（﹣2）=2 B． C．2x2+3x2=5x2D．（a2）3=a5
【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方．
【分析】分别根据二次根式的化简、合并同类项、幂的乘方的性质进行计算．
【解答】解：A、﹣（﹣2）=2，正确；
B、=2，正确；
C、2x2+3x2=5x2，正确；
D、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误．
故选D．
【点评】（1）本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、二次根式的化简、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
（2）合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并．
7．如图：AB⊥CD，CD为⊙O直径，且AB=20，CE=4，那么⊙O的半径是（）
A． B．14 C． D．15
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出关于R 的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径为R，
∵AB⊥CD，CD为⊙O直径，AB=20，
∴AE=BE=10，
在Rt△OEA中，OA=R，OE=R﹣4，AE=10，由勾股定理得：R2=102+（R﹣4）2，
解得：R=，
故选C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是能构造直角三角形并得出关于R的方程，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，难度适中．
8．在同一直角坐标系中，函数y=（k≠0）与y=kx+k（k≠0）的图象可以是（）
A．B．C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【解答】解：A、从一次函数的图象过二、四象限知k＜0与反比例函数的图象k＞0相矛盾，错误；
B、从一次函数的图象知k＞0与反比例函数的图象k＞0一致，正确；
C、从一次函数的图象与y轴的负半轴相交知k＜0与反比例函数的图象k＞0相矛盾，错误；
D、从一次函数的图象与y轴的正半轴相交知k＞0与反比例函数的图象k＜0相矛盾，错误．故选B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意系数k 的取值．
二、填空题（本题满分18分，共有6小题，每小题3分）
9．掷一枚骰子时，出现点数小于3的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】由掷一枚骰子时，有6种等可能的结果，且出现点数小于3的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵掷一枚骰子时，有6种等可能的结果，且出现点数小于3的有2种情况，∴掷一枚骰子时，出现点数小于3的概率是：=．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°=﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣3+1﹣
=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE=15°，且AB=AE，则DE=3cm．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据∠ABE=15°，AB=AE，易得∠AEB=∠ABE=15°，再根据AD∥BC，可得
∠EBC=75°，∠AFE=105°，∠DAE=60°，进而可得ADE=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE的长．
【解答】解：∵∠ABE=15°，AB=AE
∴∠AEB=∠ABE=15°
∴∠EFD=∠AFB=90°﹣15°=75°
故∠AFE=180°﹣75°=105°
∴∠DAE=180°﹣105°﹣15°=60°
又∵AB=AE
∴△ADE是等边三角形，
所以DE=AD=3cm．
故答案为3．
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
12．“福建之星”选拔赛在福州举行，评分规则是：去掉7位评委的一个最高分和一个最低分，其平均分为选手的最后得分．下表是7位评委给某位选手的评分情况：
评委1号2号3号4号5号6号7号
评分9.3 9.4 9.8 9.6 9.2 9.7 9.5
请问这位选手的最后得分是9.5分．
【考点】算术平均数．
【专题】图表型．
【分析】在比赛中一般去掉一个最低分去掉一个最高分减小极端值对选手的影响，使选手分数更公平．此题用平均数公式计算即可．
【解答】解：由题意知，应去掉最高分9.8分，最低分9.2分，
∴这位选手的最后得分=（9.3+9.4+9.6+9.7+9.5）÷5=9.5（分），
故答案为9.5分．
【点评】本题考查了平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
13．如图所示，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是3π．（结果保留π）
【考点】圆锥的计算．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为1，则底面周长=2π，侧面面积=×2π×3=3π．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14．小明作出了边长为2的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】规律型．
【分析】根据相似三角形的性质，先求出正△A 2B 2C 2，正△A 3B 3C 3的面积，依此类推△A n B n C n 的面积是，从而求出第10个正△A 10B 10C 10的面积．
【解答】解：正△A 1B 1C 1的面积是×22==，
∵△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1相似，并且相似比是1：2，
∴面积的比是1：4，
则正△A 2B 2C 2的面积是×==；
∵正△A 3B 3C 3与正△A 2B 2C 2的面积的比也是1：4，
∴面积是×==；
依此类推△A n B n C n 与△A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1的面积的比是1：4，
第n 个三角形的面积是，
则第10个正△A 10B 10C 10的面积是，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
三、作图题：（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15．某旅游景区内有一块三角形绿地ABC ，如图所示，现要在道路AB 的边缘上建一个休息点M ，使它到A ，C 两个点的距离相等．在图中确定休息点M 的位置．
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题．
【分析】作AC的垂直平分线交AB于M，根据垂直平分线的性质得到MA=MC，则点M 满足条件．
【解答】解：作AC的垂直平分线交AB于M点，
则点M为所求．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（1）解关于x的方程：；
（2）解不等式组：．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【专题】计算题．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：x=3x﹣6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解；
（2）由①得：x＜1，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜1．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．在学校开展的“献爱心”活动中，小东同学打算在暑假期间帮助一家社会福利书店推销A、B、C、D四种书刊．为了了解四种书刊的销售情况，小东对五月份这四种书刊的销售量进行了统计，小东通过采集数据，绘制了两幅不完整的统计图表（如图），请你根据所给出的信息解答以下问题：
书刊种类频数频率
A 0.25
B 1000 0.20
C 750 0.15
D xx
（1）填充频率分布表中的空格及补全频数分布直方图；
（2）若该书店计划定购此四种书刊6000册，请你计算B种书刊应采购多少册较合适？（3）针对调查结果，请你帮助小东同学给该书店提一条合理化的建议．
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【专题】阅读型；图表型．
【分析】（1）由统计表和直方图可知：D类书刊的频率为1﹣0.25﹣0.20﹣0.15=0.40；A类书刊的频数为1250；
（2）计划定购此四种书刊6000册，则B种书刊应采购6000×0.20=1200册；
（3）在购书时应该多购买D类书刊（只要合理即可）．
【解答】解：（1）完成表格和直方图如下图：
书刊种类频数频率
A 1250 0.25
B 1000 0.20
C 750 0.15
D xx 0.4
（2）6000×0.2=1200（册）；
答：B种书刊应采购1200册较合适；
（3）在购书时应该多购买D类书刊．
【点评】本题考查读图的能力以及频率频数的计算．
18．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成3等份，每份内均有数字，小明和小亮用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别转动转盘A和B，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止），若和为偶数，则小明获胜；如果和为奇数，那么小亮获胜．
把下列树状图补充完整，并求小明获胜的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】此题需要两步完成，而且题目要求用树状图法，所以画树状图是解题的关键．列举出所有情况，让小明获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：树状图为：
（和不正确扣1分）
游戏共有9种可能出现的结果，其中小明获胜的次数有4种结果，（不说明不扣分）
∴P
=．
（小明获胜）
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．“村村通公路工程”拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进500米，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．（结果保留整数）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】在Rt△ACD中，据题意有∠CAD=30°，求得AD，在Rt△CBD中，据题意有
∠CBD=60°，求得BD，又由AD﹣BD=500，从而解得CD．
【解答】解：如图过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．
在Rt△ACD中，据题意有∠CAD=30°
∵tan∠CAD=，
∴AD==
在Rt△CBD中，据题意有∠CBD=60°
∵tan∠CBD=，
∴BD==，
又∵AD﹣BD=500，
∴=500，
解得CD≈433．
答：所修公路长度约为433米．
【点评】本题考查了直角三角形的方位角问题，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD=30°，求得AD，在Rt△CBD中，据题意有∠CBD=60°，求得BD，从而解得CD．
20．今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
班级（1）班（2）班（3）班
金额（元）xx
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；
信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；
（2）求出（1）班的学生人数．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】阅读型；图表型．
【分析】（1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即（2）班的捐款金额+（3）班的捐款金额=捐款的总金额﹣（1）班的捐款金额，（2）班的捐款金额﹣（3）班的捐款金额=300元，列方程组即可求得（2）班、（3）班的捐款金额．
（2）依据题意可知若每人捐48元，则总金额小于xx元；若每人捐51元，则总金额大于xx元，因此可得一不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）设（2）班的捐款金额为x元，（3）班的捐款金额为y元．
依题意得：，
解得：．
答：（2）班的捐款金额为3000元，（3）班的捐款金额为2700元．
班级（1）班（2）班（3）班
金额（元）xx 3000 2700
（2）设（1）班的学生人数为x人．
依题意得：，
解得：．
∵x是正整数，
∴x=40或41．
答：（1）班的学生人数为40人或41人．
【点评】解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．第三问中解得不等式取值时，一定要与事实相符，所以本题存在两个答案．
21．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；梯形．
【专题】证明题．
【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出
△BFC≌△DFC．
（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF⇒∠ABD=∠BDF，又BF=DF⇒∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．
【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF．
在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠FDB．
∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC．
∴∠BDA=∠BDC．
又∵BD是公共边，
∴△BAD≌△BED（ASA）．
∴AD=DE．
【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．
22．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．
（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；
（2）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润=销售量×（销售单价﹣进价）】
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．就相当于直线过点（10，300），（13，150），然后列方程组解答即可．
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值．
【解答】解：（1）当销售单价为13元/千克时，销售量为：千克
设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）
把（10，300），（13，150）分别代入得：
∴
∴y与x的函数关系式为：y=﹣50x+800（x＞0）
（2）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）
∴W=（﹣50x+800）（x﹣8）
=﹣50x2+1200x﹣6400
=﹣50（x﹣12）2+800
∴当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．
23．（1）如图1，边长为1的正三角形ABC，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正三角形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、A、B、C…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为10π；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线
AP1P2P3P4P5…P n的长度为π．
（2）如图2，边长为1的正四边形ABCD，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正四边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、A、B…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为π；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线
AP1P2P3P4P5…P n的长度为π．
（3）如图3，边长为1的正五边形ABCDE，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正五边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、E、A…循环，由题意可求得：曲线AP1P2P3P4P5的长度为6π；如果按这样的规律一直持续下去，则曲线
AP1P2P3P4P5…P n的长度为π．
（4）由以上结论猜想：边长为1的正m边形，曲线AP1P2P3P4P5…叫做“正m边形的渐开线”，其中，AP1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5…的圆心依次按B、C、D、E、F…循环，则曲线AP1P2P3P4P5…P n的长度为π．
【考点】圆的综合题；弧长的计算．
【分析】（1）利用正三角形的外角与n的关系，然后再利用渐开线中第n重的关系求值．。