弦长与面积问题
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
4圆锥曲线的弦长面积问题-中等难度-讲义
圆锥曲线的弦长面积问题知识讲解一、弦长问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：()2221212121141x AB k x x k x x x x k a∆=+-=++-=+()1212122221111141y AB y y y y y y k k ka∆=+-=++-=+或二、面积问题1.三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+002211122a1x ABPkx y mS AB d k k∆∆-+=⋅=+⋅+2.焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212y ABF c S F F y y c y y a∆∆=⋅-=-=H OyxPBA3.平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==三、范围问题方法：首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 ：222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一”正“二”定“三”相等圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） 2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+ 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. 4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立 5）2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.经典例题一．选择题（共9小题）1．（2018•德阳模拟）设点P为椭圆C：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|：|PF2|=3：4，那么△GPF1的面积为（）A．24B．12C．8D．6【解答】解：∵点P为椭圆C：x 249+y224=1上一点，|PF1|：|PF2|=3：4，|PF1|+|PF2|=2a=14∴|PF1|=6，|PF2|=8，又∵F1F2=2c=10，∴△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2=12×PF1⋅PF2=24，∵△PF1F2的重心为点G．∴S△PF1F2=3S△GF1F2，∴△GPF1的面积为8，故选：C．2．（2018•邵阳三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为2√1313，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）A ．x 216+y 29=1B ．x 216+y 213=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 24=1【解答】解：设椭圆半焦距为c ，则{c a=2√131312×2c ×b =6a 2−b 2=c 2，解得a=√13，b=3，c=2．故椭圆方程为：x 213+y 29=1．故选：C ．3．（2018•齐齐哈尔三模）已知双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F ，抛物线y 2=12x 与双曲线交于A ，B 两点，则△FAB 的面积为（ ） A ．2B ．1+√2C ．2+√2D ．2+√3【解答】解：双曲线x 22−y 2=1的左焦点为F （﹣√3，0），由{x 22−y2=1y 2=12x可得：A （2，1），B （2，﹣1），则△FAB 的面积为：12×(2+√3)×2=2+√3．故选：D ．4．（2018•珠海二模）已知F 是双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，P是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ，若点P ，M ，F 三点共线，且△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√3B ．√5C ．√6D ．√7【解答】解：如图以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线y=bax 交于点M ，由△MFO 的面积是△PMO 面积的4倍，可得|MF |=4|MP |， 由OM ⊥PF ，设F （c ，0），可得|MF |=√a 2+b 2=b ，则|PM |=b4，在直角三角形POF 中，由射影定理可得， |OF |2=|MF |•|FP |，即为c 2=b•54b=54（c 2﹣a 2），则c 2=5a 2，即有e=ca=√5．故选：B ．5．（2018•重庆模拟）已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M 、N 两点，与抛物线的准线交于P 、Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是（ ） A ．16√3B ．12√3C ．4√3D ．3【解答】解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0）， ∴圆的圆心坐标为F （1，0）．∵四边形MNPQ 是矩形，且PM 为直径，QN 为直径，F （1，0）为圆的圆心， ∴点F 为该矩形的两条对角线的交点，∴点F 到直线PQ 的距离与点F 到MN 的距离相等．∵点F 到直线MN 的距离d=2， ∴直线MN 的方程为：x=3， ∴M （3，2√3），∴则矩形MNPQ 的面积是：4×4√3=16√3． 故选：A ．6．（2018•武汉模拟）过点P （2，﹣1）作抛物线x 2=4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为（ ）A ．√32B ．√33 C ．12D ．34【解答】解：设过P 点的直线方程为：y=k （x ﹣2）﹣1，代入x 2=4y 可得x 2﹣4kx +8k +4=0，①令△=0可得16k 2﹣4（8k +4）=0，解得k=1±√2．∴PA ，PB 的方程分别为y=（1+√2）（x ﹣2）﹣1，y=（1﹣√2）（x ﹣2）﹣1， 分别令y=0可得E （√2+1，0），F （1﹣√2，0），即|EF |=2√2．∴S △PEF =12×2√2×1=√2，解方程①可得x=2k ，∴A （2+2√2，3+2√2），B （2﹣2√2，3﹣2√2）， ∴直线AB 方程为y=x +1，|AB |=8，原点O 到直线AB 的距离d=√22，∴S △OAB =12×8×√22=2√2．∴△PEF 与△OAB 的面积之比为12．故选：C ．7．（2018•马鞍山三模）已知抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为l ，过C 的焦点F 的直线交l 于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ，若F 为线段AB 的中点，BH ⊥AB 交l 于H ，则△BHF 的面积为（ ） A ．12√3B ．16√3C ．24√3D ．32√3【解答】解：抛物线C ：y 2=4√3x 的准线为为x=﹣√3，焦点F （√3，0）， 设直线AB 的方程为y=k （x ﹣√3）， 由{y =k(x −√3)x =−√3，解得x=﹣√3，y=﹣2√3k ，∴A （﹣√3，﹣2√3k ）， ∵F 为线段AB 的中点， ∴x B ﹣√3=2√3，y B ﹣2√3k=0， ∴x B =3√3，y B =2√3k将点B 坐标代入y 2=4√3x ，可得12k 2=4√3×3√3， 解得k=±√3，不妨令k=√3，∴A （﹣√3，﹣6），B （3√3，6）， ∵k BH •k BA =﹣1， ∴k BH =﹣√33， 设H （﹣√3，y H ），∴H −√3−3√3=﹣√33， 解得y H =10，∴|BH |=√(−√3−3√3)2+(10−6)2=8， |BF |=√(3√3−√3)3+62=4√3，∴S △BHF =12|BH |•|BF |=12×8×4√3=16√3，故选：B ．8．（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C ：x 23﹣y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．2√3D ．4【解答】解：双曲线C ：x 23﹣y 2=1的渐近线方程为：y=±√33x ，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F （2，0）的直线为：y=√3(x −2)，则：{y =−√33xy =√3(x −2)解得M （32，−√32），{y =√33x y =√3(x −2)解得：N （3，√3）， 则|MN |=(3−32)+(√3+√32)=3．故选：B ．9．（2008秋•中山区校级月考）斜率为2的直线l 经过抛物线x 2=8y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．40【解答】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=√5，|AB |=8sin 2θ=815=40．故选：D ．二．填空题（共6小题）10．（2018•邵阳三模）已知Q 为椭圆C ：x 23+y 2=1上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点M （2，0），线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN的面积取最小值时，点Q 的横坐标为32． 【解答】解：设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND ⊥MQ ，直线ND 的斜率存在，设Q （x 0，y 0），（y 0≠0，x 0＞0），∴点D 的坐标为（x 0+22，y 02），且直线MQ 的斜率k MQ =y 0x 0−2，∴k ND =﹣1k MQ =2−x 0y 0，∴直线ND 的方程为y ﹣y 02=2−x 0y 0（x ﹣x 0+22），令x=0，可得y=x 02+y 02−42y 0，∴N （0，x 02+y 02−42y 0），由x 023+y 02=1可得x 02=3﹣3y 02， ∴N （0，−2y 02−12y 0），∴S四边形OQMN =S△OQM +S△OMN =12×2×|y 0|+12×2×|−2y 02−12y 0|=|y 0|+|2y 02+12y 0|=2|y 0|+12|y 0|，即y 0=±12，x 0=32等号成立，故Q 的横坐标为32，故答案为：3211．（2018•齐齐哈尔二模）已知点P 是双曲线x 22﹣y 2=1 上的一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|+|PF 2|=4√2，则△PF 1F 2的面积为 √5 ． 【解答】解：不妨设P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF 1|﹣|PF 2|=2√2，又|PF 1|+|PF 2|=4√2， ∴|PF 1|=3√2，|PF 2|=√2，又|F 1F 2|=2c=2√3，∴cos ∠F 1PF 2=PF 12+PF 22−F 1F 222PF 1⋅PF 2=23，sin ∠F 1PF 2=√53，∴△PF 1F 2的面积为12×3√2×√2×√53=√5．故答案为：√5．12．（2018•沈阳一模）已知正三角形△AOB （O 为坐标原点）的顶点A 、B 在抛物线y 2=3x 上，则△AOB 的边长是 6√3 ． 【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA 的方程为y=√33x ，联立{y =√33x y 2=3x，解得A （9，3√3）．∴|AO |=√81+27=6√3． 故答案为：6√3．13．（2018•甘肃模拟）抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE →=NM →+NF →，则△MNF 的面积为 3√22．【解答】解：准线方程为x=﹣1，焦点为F （1，0）， 不妨设N 在第三象限， ∵2NE →=NM →+NF →， ∴E 是MF 的中点，∴NE=12MF=EF ，∴NE ∥x 轴，又E 为MF 的中点，E 在抛物线y 2=4x 上，∴E （12，﹣√2），∴N （﹣1，﹣√2），M （0，﹣2√2），∴NF=√6，MN=√3，∴S △MNF =12×√6×√3=3√22故答案为：3√2214．（2016秋•九龙坡区校级期中）如图所示，过抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作直线交C 于A 、B 两点，过A 、B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A′，B′，已知四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7，则△A′B′F 的面积为 6 ．【解答】解：设△A′B′F 的面积为S ，直线AB ：x=my +p2，代入抛物线方程，消元可得y 2﹣2pmy ﹣p 2=0设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2），则y 1y 2=﹣p 2，y 1+y 2=2pmS △AA'F =12|AA'|×|y 1|=12|x 1+p 2||y 1|=12（y 122p +p 2）|y 1|S △BB'F =12|BB'|×|y 2|=12|x 2+p 2||y 2|=12（y 222p +p 2）|y 2|∴12（y 122p +p 2）|y 1|×12（y 222p +p 2）|y 2|=p 24（p 22+y 124+y 224）=p 44（m 2+1） S △A′B′F =p2|y 1﹣y 2|=p 2√m 2+1=S∵四边形AA′B′F 与BB′A′F 的面积分别为15和7∴p 44（m 2+1）=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴14S 2=（15﹣S ）（7﹣S ） ∴34S 2﹣22S +105=0 ∴S=6 故答案为：615．（2016春•芒市校级期中）斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，则|AB |得最大值为 4√105．【解答】解：设直线l 的方程为y=x +t ，代入椭圆x 24+y 2=1消去y 得54x 2+2tx +t 2﹣1=0，由题意得△=（2t ）2﹣5（t 2﹣1）＞0，即t 2＜5． 弦长|AB |=4√2×√5−t 25≤4√105．当t=0时取最大值． 故答案为：4√105．三．解答题（共5小题）16．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅰ）直线l 与椭圆Γ交于A ，B 两点，AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，则c a =√32，得c=√32a，b=12a，所以3x 24c2+3y2c2=1，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为x 24+y2=1．（Ⅰ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得y=±√32，S△AOB=12×1×√3=√32，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由{y=kx+mx2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，所以x0=−4km1+4k2，y=kx0+m=−4k2m1+4k2+m=m1+4k2，将(−4km1+4k2，m1+4k2)代入x2+y2=1，得m2=(1+4k2)216k2+1，又因为|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2，原点到直线l的距离d=√1+k2，所以S△AOB=12×|m|√1+k2×√1+k2⋅41+4k2√1+4k2−m2=2|m|1+4k2√1+4k2−m2=21+4k2×2√16k2+1×√1+4k2×√1−1+4k216k2+1=2√12k 2(1+4k 2)(16k 2+1)2=216k 2+1×√12k 2(1+4k 2)≤216k 2+1×1+16k 22=1．当且仅当12k 2=1+4k 2，即k =±√24时取等号．综上所述，△AOB 面积的最大值为1．17．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a＞b ＞0）的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2+y 2=89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a =√22，2a 2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x 24+y 22=1．（2）△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴AB=2AM ， ∴点M 为AB 的中点．∵椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴A （﹣2，0）．设M （x 0，y 0），则B （2x 0+2，2y 0）．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1， 化为：9x 02﹣18x 0﹣16=0，−2√23≤x 0≤2√23．解得：x0=﹣23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±1 2，因此，直线AB的方程为：y=±12（x+2）．18．（2018•衡阳一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，直线y=1与C的两个交点间的距离为4√63．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）易知椭圆过点(2√63，1)，所以83a2+1b2=1，①…（2分）又c a =12，②…（3分）a2=b2+c2，③…（4分）①②③得a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为x 24+y23=1．…（6分）（Ⅰ）设直线l1：x=my﹣1，它与C的另一个交点为D．与C联立，消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，…（7分）△=144（m2+1）＞0.|AD|=√1+m2⋅12√1+m23m2+4，…（9分）又F2到l1的距离为d=2√1+m，…（10分）所以S△ADF2=12√1+m23m2+4．…（11分）令t=√1+m2≥1，则S△ADF2=123t+1t，所以当t=1时，最大值为3．…（14分）又S四边形ABF2F1=12(|BF2|+|AF1|)⋅d=12(|AF1|+|DF1|)⋅d=12|AB|⋅d=S△ADF2所以四边形ABF2F1面积的最大值为3．…（15分）19．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【解答】解：设P（x0，y0），Q（x1，y1）．（1）在y=x+3中，令x=0，得y=3，从而b=3．……（2分）由{x 2a 2+y 29=1，y =x +3得x 2a 2+(x+3)29=1． 所以x 0=−6a 29+a 2． ……（4分）因为PB 1=√x 02+(y 0−3)2=√2|x 0|，所以4√2=√2⋅6a 29+a2，解得a 2=18． 所以椭圆的标准方程为x 218+y 29=1． ……（6分）（2）方法一：直线PB 1的斜率为k PB 1=y 0−3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为k QB 1=−x 0y 0−3． 于是直线QB 1的方程为：y =−x 0y 0−3x +3．同理，QB 2的方程为：y =−x 0y 0+3x −3． ……（8分）联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 02−9x 0． …（10分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以x 1=−x 02． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=2． ……（14分）方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k'，则直线PB 1的方程为y=kx +3．由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y =−1k x +3．将y=kx +3代入x 218+y 29=1，得（2k 2+1）x 2+12kx=0，因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0，从而x 0=−12k2k 2+1．…（8分）因为P （x 0，y 0）在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 0218+y 029=1，从而y 02−9=−x 022． 所以k ⋅k′=y 0−3x 0⋅y 0+3x 0=y 02−9x 02=−12，得k′=−12k ． ……（10分）由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y=2kx ﹣3．联立{y =−1k x +3，y =2kx −3则x =6k 2k 2+1，即x 1=6k 2k 2+1． ……（12分） 所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2=|x 0x 1|=|−12k 2k 2+16k 2k 2+1|=2． ……（14分）20．（2018•黄州区校级模拟）如图，从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F ，又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，|FA |=2√2+2，（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）过F 且斜率不为0的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为E ，直线OE 与直线x=﹣4相交于点D ，若△MDF 为等腰直角三角形，求l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）令x=﹣c ，得y =±b 2a ．所以P (−c ，b 2a )．直线OP 的斜率k 1=−b 2ac ．直线AB 的斜率k 2=−b a ．故b 2ac =b a 解得b=c ，a =√2c ．由已知及|FA |=a +c ，得a +c =2√2+2， 所以(1+√2)c =2√2+2，解得c=2．所以，a =2√2，b=2所以C 的方程为x 28+y 24=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅰ）易得F （﹣2，0），可设直线l 的方程为x=ky ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立方程组x=ky ﹣2和x 2+2y 2=8，消去x，整理得（k2+2）y2﹣4ky﹣4=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由韦达定理，得y1+y2=4k2+k2，y1y2=﹣42+k2，所以y1+y22=2k2+k2，x1+x22=k(y1+y2)2−2=﹣42+k2，即C（﹣42+k2，2k2+k2），所以直线OC的方程为y=﹣k2x，令x=﹣4，得y=2k，即D（﹣4，2k），所以直线DF的斜率为2k−0−4+2=﹣k，所以直线DF与l恒保持垂直关系，故若△ADF为等腰直角三角形，只需|AF|=|DF|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）即√4+4k2=√(x1+2)2+y12=√(1+k2)y12，解得y1=±2，又x128+y124=1，所以x1=0，所以k=±1，从而直线l的方程为：x﹣y+2=0或x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)
椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程（注意：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标（注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组，得到新的一元二次方程4.求出韦达定理（注意：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化，常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（注意：需讨论K 是否存在，OA ⊥OB ） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题：找等式关系，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：应当假设存在去求，若求出答案则假设成立，若不存在则计算时会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变量用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明（此方法用得少）4、处理定点问题的方法：⑴常把方程参数分离，使参数乘以的因式为0，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；、题型一、椭圆与向量（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
弦长与面积
弦长与面积弦长和面积是在几何学中经常使用的概念。
在平面几何中，弦是连接圆上两点的线段，而面积是二维图形所占据的空间大小。
弦长和面积的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
一、弦长的计算弦长的计算方法取决于所给定的圆的信息。
如果我们已知圆的半径，那么可以使用以下公式来计算弦长：弦长 = 2 * 半径 * 正弦(θ/2)其中，θ是弧度制下的圆心角。
这个公式的推导可以通过利用正弦定理得出。
如果我们已知圆的直径，那么可以简单地将直径除以2来得到半径，然后再使用上述公式进行计算。
二、面积的计算圆的面积计算公式是：面积= π * 半径²其中，π是一个常数，等于3.14159。
这个公式的推导可以通过将圆划分为无数个扇形，然后计算这些扇形的面积之和来得到。
除了圆形，其他二维图形的面积计算方法也有所不同。
例如，矩形的面积可以通过将长乘以宽来计算。
三角形的面积可以通过使用海伦公式或底边乘以高再除以2来计算。
三、应用举例1. 弦长的应用在建筑工程中，弦长的计算常常用于设计拱形结构。
通过计算弦长，可以确定建筑物的拱形弧线的形状和尺寸。
另外一个应用是在物理实验中测量摆线的长度。
摆线可以通过将一根线固定在一端，并在另一端悬挂一个质点，然后观察质点在重力作用下的运动轨迹而形成。
通过测量摆线的弦长，可以计算出摆线的周期和频率等参数。
2. 面积的应用在农业中，面积的计算常常用于确定土地的大小。
农民可以使用测量工具，如测量带或GPS设备来测量土地的边界，然后通过计算面积来确定土地的大小。
在地理学中，面积的计算常用于计算国家或地区的面积。
这对于了解不同国家或地区的大小和位置非常重要，也有助于进行地理分析和研究。
总结：弦长和面积是几何学中重要的概念，对于解决实际问题和进行理论推导都有很大的帮助。
弦长的计算方法取决于所给定的圆的信息，而面积的计算方法则可以根据不同的图形类型来选择合适的公式。
在实际应用中，弦长和面积的计算可以帮助我们解决许多有关形状和空间的问题。
第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· －85t2－4×4（t25－1） ＝452· 5－t2， 当 t＝0 时，|AB|max＝4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条，则 λ＝ 44 ．
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m 为常数，k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1，0)，且E→M＋2E→N＝0 时，求直线 l 的方程；
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，且△ MON 的面积为 23时，求 直 线 l 的倾斜角．
解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
∴S△MON＝12×|MN|× 23＝
3 4
3（k2＋1）（9k 2＋1）
（3k 2＋1）2
.
∵△MON 的面积为 23，
由
3 4
3（k2（＋31k）2＋（19）k 22＋1）＝ 23，可得 k＝± 33，
设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝± 33， 由于 0≤θ＜π，∴θ＝π6或 θ＝56π.
解析 ∵使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y＝±2，故|AB|＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4， 综上可知，|AB|＝4 时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点 间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
双曲线的弦长公式与面积(不过焦点的弦)
第 1 页 共 1 页双曲线的弦长公式与面积（不过焦点的弦）双曲线()0,01-2222>>=b a by ax 与直线m kx y l +=:相交于AB 两点，求AB 的弦长．设 设()()2211,,,y x B y x A 则()()()21221221221241x x x x k y y x x AB -++=-+-=将mkx y +=代入1-2222=by ax 得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=⋅-=+∴=-222222221222221222222222-20-2--a k b b a m a x x a k b km a x x b a m a kmx a x a k b ()222222222122122141ka b m a k b ab kx x x x kAB -+-+=-++==∴．双曲线与直线交点的判别式：()2222224m a k b b a +-=∆用来判断是否有两个交点问题． 面积问题：双曲线与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆．设C 到l 的距离为d ，则222222200200-12121a k b m a k b ab m y kx k m y kx AB d AB S ABC-+⋅+-=++-==△．直线与双曲线交点问题： （1）直线m kx y +=与双曲线()0,01-2222>>=b a by a x 有两个交点时，()04222222>+-=∆m a k b b a ；()04222222=+-=∆m a k b b a ，有仅有一个交点；()04222222<+-=∆m a k bb a ，没有交点．（2）过点()00,y x P 的直线与双曲线有一个交点情况需要分类讨论：①当a bx y ±=00时，点P 在渐近线上，当a x ±=0时，有两条直线（一条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；①当a x ±≠0时，且在双曲线外部，有三条直线（两条切线，一条与另一条渐近线平行的直线）；①当()0,01-220220>>>b a by a x 时（点P 在双曲线内部），一定有交点，当直线斜率a b k ±=时，有一交点，当直线斜率abk ±≠时，有两个交点．。
与弦长、面积有关的问题
高中数学：与弦长、面积有关的问题(2019·黄山模拟)设F 1，F 2分别是椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于A ，B两点，F 1到直线AB 的距离为23，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形的面积为2 5.(1)求椭圆D 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆D 和圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的弦长分别为m ，n ，当m ·n 最大时，求直线l 的方程．解：(1)设F 1的坐标为(－c,0)，F 2的坐标为(c,0)(c ＞0)， 则直线AB 的方程为y ＝3(x －c )，即3x －y －3c ＝0， ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23，解得c ＝2.∵12·2a ·2b ＝25，∴ab ＝5，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝5，b 2＝1，∴椭圆D 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)由题意知，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2t |t 2＋1， ∴n ＝222－d 2＝4t 2＋1， 由⎩⎨⎧ x ＝ty ＋2，x 25＋y 2＝1得(t 2＋5)y 2＋4ty －1＝0，设直线l 与椭圆D 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－4t t 2＋5，y 1y 2＝－1t 2＋5，∴m ＝1＋t 2|y 1－y 2|＝25(t 2＋1)t 2＋5， ∴m ·n ＝85·t 2＋1t 2＋5＝85t 2＋1＋4t 2＋1≤25(当且仅当t 2＋1＝4t 2＋1，即t ＝±3时，等号成立)， ∴直线l 的方程为x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0.求解弦长的四种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x 1－x 2)2或(y 1－y 2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．提醒：利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k (x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2， 所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2. 同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3k 2＋4.所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k2＋1)2(3＋4k2)(3k2＋4)＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.。
利用放缩变换解决椭圆有关弦长与面积问题
]．
(收稿日期：2012—07—01)
，
0，E ，0 G 两两垂直，而 D ，E ，G 是单位圆上三点，矛盾．故不存在．
例 3 (2012年浙江省桥考卷(高考调研试卷))
图 1’图 2
2应用z‘z：詈解题
例 2 (相交弦定理)已知，两弦 AB，DC交于P，求证： ·PB=PC·PD．
证明 如图 2，以点 P为极点，过点 P的一条
射线为极轴，建立极坐标系．设圆的方程为：
1 应用 Xl+z2=一 解题
例 1 (1982年全 国 28省、市、自治区联赛题 )
已知：(1)半圆的直径 AB长为2r；(2)半圆外的直线 l与BA 的延长线垂直，垂足为丁，fAT f=2a
(2a< 1r)；(3)半圆上有相异两点 M，N，它们与
在以 z为准线 ，A 为焦点，极轴为对称轴，开 VI向右
·解题方法·数学通讯一 2012年第 12期 (下半月)29
韦达定理与极坐标解题
肖维松
(江苏省姜堰市励才实验学校，225500)
高中数学新课程标准把《坐标系与参数方程》列人选修系列 4，使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中，为说明极坐标在解题中的应用，本文现谈谈韦达定理与极坐标解题，供高中师生教与学时参考．
故L：Y=一要z十1一 ，
即 3z+2 +2√7—2=0．
例 2 (2011年山东卷)
已知动直线 与椭圆 c： 十 =1交于 P
(,7C1， 1)，Q(352， 2)两不同点 ．且／xOPQ 的面积 S
=，其中0为坐标原点．
(工)证明：z}+z；和Y{+Y；均为定值．
弦长万能公式
弦长万能公式弦长是指圆周上两个点之间的距离，这个距离对于很多数学问题都是非常重要的。
在数学中有一个非常重要的公式，就是弦长万能公式，大家可以一起来了解一下这个公式。
一、定义弦长万能公式是指：圆心角的正弦值与相应弦的长度之间的关系，具体是sin(θ/2) = AB/2R，其中AB是弦的长度，R是圆的半径，θ是圆心角的度数。
二、应用弦长万能公式通常用于解决圆的几何问题，其中包括：1. 圆的弧长问题：当已知圆心角的度数和圆的半径时，可以利用弦长万能公式求出弦的长度，从而计算出圆的弧长。
2. 三角形问题：如果圆的半径和三角形边长已知，可以将三角形的一个角作为圆心角，利用弦长万能公式求出相应弦的长度，从而计算三角形的面积。
3. 圆的切线问题：当圆的半径和一个圆外点到圆心的距离已知时，可以应用弦长万能公式求出连接这个圆外点和圆上两个交点的两条弦的长度，这两条弦所对应的圆心角相等，因此这些弦也是相等的。
三、例题1. 已知圆的半径为10cm，圆心角的度数为60度，求弦长。
解：根据弦长万能公式，sin(θ/2) = AB/2R，其中θ=60度，R=10cm。
将这些值代入公式可以得到：sin(60/2) = AB/20，因此AB=20sin(30) = 10cm。
2. 有一个直径为16cm的圆，从圆上某一点引一条切线，这条切线和直径所夹的角度为30度，求切线长度。
解：切线所对应的弦对应的圆心角也为30度，因此可以利用弦长万能公式求得弦长，而弦长等于切线的长度。
sin(30/2) = AB/8，因此AB=8sin(15) = 2.62cm。
以上是关于弦长万能公式的介绍和应用，希望能够对大家的数学学习有所帮助。
高中数学解析几何答题全攻略
高中数学解析几何答题全攻略解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。
对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。
下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。
1考试时间分配问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。
如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。
如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。
这个过程比做新题更重要。
问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。
如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。
弦长与面积问题
弦长与面积问题（总4页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小"圆锥(2)若直高二数学理科讲义编号7—・知识点：1 •直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A, B两点，贝IJ弦长|AB|二2 . (1)若直线AB的斜率为定值，P为定点, 面积如何求如何求二・典型例题：2 、2 py1 •已知椭圆r+沽=1(〃＞〃＞0)的离心率为三过点A (0? -b)和B (a, a o2o)的直线与原点的距离为(1)求椭圆C的方程；(2)设直线L经过定点(0, 1),且与椭圆交于M,N两点，当|MN|二竽时，求直线L的方程；2 .已知椭圆E :二+「= 1(“＞〃＞0)的离心率为岂一，且椭圆上一点与椭圆的cr ly3两个焦点构成的三角形周长为6+4 v2。
(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线L与椭圆E交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C.求AABC的面积的最大值；作业：1 •已知动圆过定点A (p, 0),圆心C在抛物线y2=2px (p>0)上运动。
圆C 与y轴上截得的弦长为MN,求证：三角形AMN的面积为定值口2 •设F’，匚分别是椭圆E ：寸+ £ = 1(0<方vl)的左，右焦点，过F】的直线L b 与E相交于A, B两点，且|AF=|, |AB|, |BF=|成等差数列。
(1) 求|AB|长；(2) 若直线L的斜率为1,求b的值；3 •如图，尺分别是椭圆4 + £ = 1(<?>少0)的左，右焦点，力是椭圆C的顶点，3是3 D直线力£与椭圆C的另一个交点，乙FJ\Fz = 60°⑴求椭圆C的离心率；⑵已知△ AF.B的面积为4越，求彳Z?的值.4 .已知椭圆G： ?十专= l(*Z?>0)的离心率为爭右焦点为(2y[2, 0).斜率为1的直线/ 与椭圆G交于几3两点，以M3为底边作等腰三角形，顶点为f=\ -3,2).⑴求椭圆G的方程；⑵求△少3的面积•5 •已知中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为半的椭圆过点(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线/与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP, PQ, OQ的斜率依次成等比数列，求住面积的取值范围.6 •如图，点P（O,-1）是椭圆C|：・+占=1@">0）的一个顶点C的长轴是圆bC2：X2+/=4的直径/詁是过点P且互相垂直的两条直线•其中厶交圆C2于两点交椭圆G于另一点D ；⑴求椭圆C］的方程；（2）求AABD面积取最大值时直线/］的方程。
圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)
9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】 已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANⅠ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。
（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。
二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长1212AB AB AB x y y ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠00x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0x y ，即22op a k k b =-；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0x y ，即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)pk y =≠0y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p=0x 。
高考数学复习----《弦长、面积范围与最值问题》规律方法与典型例题讲解
高考数学复习----《弦长、面积范围与最值问题》规律方法与典型例题讲解【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OAB S OM y y =⋅−（横截距已知的条件下使用）③121||2OAB S ON x x =⋅−（纵截距已知的条件下使用）【典型例题】例1、（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C .(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； (2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ; (3)求线段AC 长的取值范围.【解析】（1）22:184x y C +=的左焦点为(2,0)−，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=−，即240x y −+=.（2）由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+， 则()()1122,,,D x y C x y −−，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()221216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=−+>，即2230k −> ，1212221624,1212k x x x x k k −∴+=⋅=++， 又212111,BQDQ y y k k x x −−==−，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x −−++∴−=−=+−， ()21212248312222202412kx x k k k k k x x k −++=+=+=−=+， BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ， 故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）由（2）可知()()()()22222212121212AC x x y y x x k x x =++−=++−()()2221212124x x k x x x x ⎡⎤=+++−⋅⎣⎦()()22222222221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=+−⨯⎢⎥+++⎣⎦42242424106116161441441k k k k k k k ⎡⎤⋅+−=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦令261t k =−，则216t k +=， 又由()22216424120k k ∆=−⨯⨯+>得232k >，所以8t >，2221699161611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设216168,()()1h t h t t t t'==−++ ，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立， 168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16818t t∴++>，9101628t t∴<<++，93111628t t∴<+<++，21624AC ∴<<，4AC ∴<<例2、（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =.设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q . (1)求 OQ OP的值；(2)求ABQ 面积的最大值.【解析】（1）设 ()00OQP x y OPλ=，，， 由题意知()00Q x y λλ−−，. 因为 220014x y +=， 又()()22001164x y λλ−−+=， 即22200()144λ+=x y ， 所以2λ=， 即2OQ OP=.（2）由(1)知，ABQ 的面积为3OABS，设 ()()1122A x y B x y ，，，. 将 y kx m =+代入椭圆E 的方程， 可得()2221484160k x kmx m +++−=，由 Δ0>， 可得22416m k <+，①则有 212122284161414km m x x x x k k −+=−=++，.所以12x x −=因为直线 y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0m ，， 所以OAB的面积1212S m x x =−===设 2214m t k=+， 将y kx m =+代入椭圆C 的方程， 可得 ()222148440k x kmx m +++−=，由 Δ0…， 可得2214m k +…，②由 (1)(2)可知 01t <…， 因此S =故S … 当且仅当 1t =， 即2214m k=+时取得最大值所以ABQ 面积的最大值为例3、（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +−=相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围.【解析】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 所以2b a =，即2a b =，又因为直线3460x y ++=与圆222()x y b a +−=相切，a =结合2ab =解得2,1a b ==，所以椭圆22:14x C y +=.（2）(i)若1l 垂直于x 轴，则2l 与x 轴重合，由2214x y x ⎧+=⎪⎨⎪⎩解得12y =±，所以1AB =，又因为124,22ACBD CD a S AB CD ==∴== 同理2l 垂直于x 轴，则1l 与x 轴重合时1,4,2ACBD CD AB S ==∴=. (ii)若12,l l 都不与x 轴平行或垂直，设直线()()11122:0),,,,l x my m A x y B x y =≠，2214x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得：()22410m y ++−= 1l 与椭圆C 相交于,A B 两点，()2Δ1610,m m ∴=+>∴∈R则1212214y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=−⎪+⎩，12y y −==()2122414m AB y m +∴=−=+12l l ⊥∴当0m≠时，直线21:l x y m=−将()22414m AB m +=+的m 替换为1m−可得()224114mCD m +=+，()()()22422281192124174414ACBDm m S AB CD m m m m +⎛⎫∴=⋅==− ⎪++++⎝⎭229214417m m ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪++⎝⎭，因为22448m m +≥=，所以2293221425417m m ⎛⎫⎪−≥ ⎪ ⎪++⎝⎭， 当且仅当2244=m m ，即1m =±时“=”成立， 32225ACBD S ∴≤< 综上32225ACBD S ∴≤≤所以四边形ACBD 的面积的取值范围为32,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
圆锥曲线题型、解题方法与技巧
圆锥曲线题型、解题方法与技巧一、直线过曲线焦点，求弦长与面积问题1．设直线l 过椭圆22143xy+=的右焦点2F ，直线交椭圆于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求线段A B 的距离；（Ⅱ）若线段24||7A B =，求直线l 的斜率．（用四种方法求解）2．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点3(1,)2在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若A O B ∆的面积为7，求直线l 的方程．（用三种方法求解）3．已知椭圆22:142xyC +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过1F 交C 于,P Q 两点，且11||2||PF Q F =，求||PQ ．（用三种方法求解）4．已知椭圆22132xy+=的焦点为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且A C BD ⊥，垂足为P ．求四边形A B C D 的面积的最小值． （用三种方法求解）补充：1．已知双曲线22221xya b-=的右焦点为2F ，直线l 过点2F 与双曲线交于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角为θ，则||AB = ．2．设抛物线22(0)x py p =>，过抛物线焦点F 的直线的倾斜角为θ，直线与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．练习1．（2012北京理）在直角坐标系xo y 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物 线相交于A 、B 两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则O A F ∆的 面积为 ．（用四种方法求解） 2．（2012,1海淀）已知椭圆C :22221(0)xya b a b+=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若P A B ∆的面积为3613，求直线A B 的方程．（用三种方法求解）3．（2012,4石景山）二、直线与曲线相交的一般弦长、面积问题1．已知直线y x m =+与椭圆2214xy +=相交于A ，B 两点，求||AB 的最大值．2．已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）过点(0,2)M ，离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆. 3．直线l 与椭圆2214xy +=交于A 、B 两点，记A O B ∆的面积为S ．当||2AB =，1S =时，求直线A B 的方程．4．已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆交于点A 、B ，线段A B 的垂直平分线交x 轴于点D ，当m 变化时，求D AB ∆面积的最大值．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的3e =，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A 、B 两点，原点O 到l 的距离为23，求A O B ∆面积的最大值．练习1．（2012北京文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2．直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M ，N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当A M N ∆的面积为3时，求k 的值．2．（2011北京理）已知椭圆22:14xC y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆C于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（Ⅱ）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．1．已知(4,2)M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的线段的中点，求直线l 的方程．2．设椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>，斜率为1的直线（不过原点O ）与椭圆C 相交于A ，B 两点，M 为线段A B 的中点．问：直线A B 与O M 能否垂直？说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)倍．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段A B的中点为P ．若直线O P 的斜率为1-，求O A B ∆的面积．4．（2012,1西城）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段M N 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围．练习1．（2011北京文）已知椭圆2222:1(0)xyG a b a b+=>>的离心率为3，右焦点为0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，以A B 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -．（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求△P A B 的面积．2．已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为3，一个焦点为0)F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．3．已知椭圆2222:1x y C ab+=（0a b >>）的离心率12e =，且经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，线段A B 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB V 面积的最大值．1．椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>2，且过(2,0)点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，若A O B ∠为直角，求m 的值． 2．已知椭圆22221xya b+=的右焦点2(1,0)F ，且点(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若以A B 为直径的圆过原点，求直线l 方程． 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为0)，右顶点为(2,0). （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx =+A 、B ，且2O A O B ⋅>uur uu u r，求k 的取值范围.4．已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e .（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A 、B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点.若坐标原点O 在以M N 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围.练习1．在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线2:+=kx y l 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=uu u r uuu r？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.2．已知椭圆12222=+by ax （0>>b a ）过点(0,2)M ，离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过定点(2,0)N 的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点)，求直线l 倾斜角的取值范围.3．已知椭圆22221xya b +=的右焦点为)0,1(F ，又(0,)M b ，且△OMF 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于P ，Q 两点，且使点为△PQM 的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．l F l五、直线与曲线相交有关定点、定值问题1．椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆交于点M 、N （M 、N 不是椭圆的左右顶点），且以M N 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．2．已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.3．已知椭圆()222210xya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F M F ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为1k 、2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1(,2)2--．4．已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率是12，左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P与直线4x = 分别交于M ，N 两点．证明：以M N 为直径的圆与直线2P F 相切于点2F ．5．已知椭圆2222:1(0)xyC a b a b+=>>过点(0,1)，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆的左、右顶点，直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点．证明：||||DE DF ⋅恒为定值．C练习1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，设点(3,2)N ，记直线A N 、B N 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k +为定值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为2，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接,MA MB并延长交直线4x =于,P Q 两点，且121111PQy y y y +=+．求证：直线l 过定点．3．（2012北京理）已知曲线22:(5)(2)8C m x m y -+-=()m ∈R ． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ． 求证：,,A G N 三点共线．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>3x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆222x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，证明：A O B ∠的大小为定值．5．倾斜角为α的直线经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点． （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段A B 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：||||cos 2FP FP α-为定值，并求此值．。
圆的弦长与面积的关系(二)
圆的弦长与面积的关系(二)
圆的弦长与面积的关系
弦长和面积的基本概念
•弦长：圆内一条弦的长度
•面积：圆内部被边缘线包围的部分的大小
弦长在圆内的位置
•圆内任意一条弦将圆分为两个部分，其中一个较小的部分称为弓形，另一个较大的部分称为剩余部分
•圆的直径是唯一一条将圆分成两个等分弓形的弦
弦长与面积的关系
•在给定的圆中，相同弦长的所有弦的中点都在圆的直径上
•直径是圆内具有两倍于任何其他弦长的最长弦
•如果我们将一条弦从圆的中心引出，并逐渐增加其长度，那么弦两侧形成的弧的面积也会随之增加
•当弦为直径时，圆被分成两个完全一样的弓形，它们的面积相等并且等于整个圆的面积的一半
•当弦的长度减小到零时，弧的长度也减小到零，因此面积为零
结论
•弦长越长，弧的长度越长，面积也越大
•当弦为直径时，面积最大
•当弦的长度为零时，面积为零
通过上述的解释，我们可以得出结论，圆的弦长与面积呈正相关关系。
弦越长，面积越大，而当弦为圆的直径时，面积达到最大值。
这个关系在许多数学和工程问题中都有重要应用，例如计算圆盘的面积或设计圆形物体的尺寸等。
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圆锥曲线中弦长与三角形问题 一．知识点：
1．直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A ，B 两点，则弦长|AB|=
2．（1
（2
1与原点的距离为3
6。
（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过定点（0，1），且与椭圆交于M ，N 两点，当|MN|=
3
2
4时，求直线L 的方程；
2．已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为322，且椭圆上一点与椭圆的两个焦
点构成的三角形周长为6+42。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线L 与椭圆E 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 的面积的最大值；
作业：
1．已知动圆过定点A （p ，0），圆心C 在抛物线y 2
=2px （p>0）上运动。
圆C 与y 轴上截得的弦长为MN ，求证：三角形AMN 的面积为定值。
2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：)10(122
2
<<=+b b
y x 的左，右焦点，过F 1的直线L 与E 相交
于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列。
（1）求|AB|长；
（2）若直线L 的斜率为1，求b 的值；
3．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是
直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l
与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．
5．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝
⎛⎭⎫ 2，2
2.
(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
6．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆
4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D ；
(1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程
.
（第21题图）。