中考数学二次函数专题复习超强整理
初中数学「二次函数」最全知识点汇总
01
知识点总结
02
学习口诀
二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键;
开口、顶点和交点，它们确定图象限;
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;
顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
03
易错分析
函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力。
1、知识结构
2、知识梳理
3、性质
注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．
4、二次函数与一元二次方程的关系
【易错点剖析】
一、忽略二次项系数不等于0
二、忽略隐含条件
三、忽略数形结合思想方法的应用
四、求顶点坐标时混淆符号
五、忽视根的判别式的作用
04
巧选解析式
二次函数解析式的确定是中考的高频考点，在压轴题的第一问就难倒了不少小伙伴。
那么如何巧选表达式来确定二次函数的解析式呢？
【小试牛刀】
【几种特殊情况】
05
动态最值专题
06
解题技巧
学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性
质画图像，正所谓数形结合，函数无敌！。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。
下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。
一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。
-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。
2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。
-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
-当Δ<0时，方程没有实根。
4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。
三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。
2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。
3.当b=0时，抛物线经过原点。
4.当c=0时，抛物线经过x轴。
5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。
6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。
四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。
-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
2024年初中二次函数知识点汇总最全
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数，）的函数,叫做二次函数。
2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数,而能够为零．二次函数的定义域是0a ≠b c ，全体实数．2. 二次函数的结构特性：2y ax bx c =++⑴ 等号左边是函数,右边是有关自变量的二次式,的最高次数是2.x x ⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数，是常数项.a b c ，，a b c 二、基本形式１. 二次函数基本形式:的性质:2y ax =ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 的性质:（上加下减）2y ax c =+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y随的增大而减小；时,有最小值.x 0x =y 00a <向下()00，轴y 时,随的增大而减小；时，0x >y x 0x <y随的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y３. 的性质:(左加右减）()2y a x h =-4. 的性质:()2y a x h k =-+三、二次函数图象的平移1． 平移步骤:措施1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，详细平移措施如下:2y ax =()h k ，随的增大而减小；时，有最小值x 0x =y c．a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小;时,随0x >y x 0x <y 的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0h ，X=h时,随的增大而增大；时，x h >y x x h <y随的增大而减小;时,有最小值．x x h =y 00a <向下()0h ，Ｘ＝h时，随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时，有最大值.x x h =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()h k ，X=h时,随的增大而增大；时,随x h >y x x h <y 的增大而减小;时,有最小值.x x h =y k 0a <向下()h k ，Ｘ＝h时,随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时,有最大值.x x h =y k【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 ２. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下h k 减”． 措施2:⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2(或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数与的比较()2y a x h k=-+2y axbx c =++从解析式上看，与是两种不一样的体现形式,后者通过配方能够得()2y a x h k =-+2y ax bx c =++到前者,即，其中.22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，五、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配措施将二次函数化为顶点式,确定其开2y ax bx c =++2()y a x h k =-+口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为:顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点y ()0c ，()0c ，()2h c ，x ，(若与轴没有交点,则取两组有关对称轴对称的点)．()10x ，()20x ，x 画草图时应抓住如下几点:开口方向,对称轴,顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 六、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当初,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当初，随的增大而减小;当初,随的增大而增大；当初，有最2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 小值．244ac b a- ２. 当初，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当初,0a <2b x a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a <-随的增大而增大；当初，随的增大而减小；当初，有最大值.y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a -七、二次函数解析式的表示措施１． 一般式：(,,为常数，);2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：(，，为常数，);2()y a x h k =-+a h k 0a ≠３. 两根式：(,,是抛物线与轴两交点的横坐标)．12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次x 240b ac -≥函数解析式的这三种形式能够互化．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数中,作为二次项系数，显然.2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当初，抛物线开口向上，的值越大,开口越小,反之的值越小，开口越大；0a >a a⑵ 当初,抛物线开口向下，的值越小,开口越小，反之的值越大，开口越大.0a <a a 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向，的大小决定开口的大a a a 小.2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.a b ⑴ 在的前提下,0a >当初，,即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当初,,即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当初，，即抛物线对称轴在轴的右侧.0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当初,，即抛物线的对称轴在轴右侧;0b >02ba->y 当初，,即抛物线的对称轴就是轴;0b =02ba-=y 当初,，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则，概括的说就是ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab “左同右异”总结:3． 常数项c ⑴ 当初，抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y ⑵ 当初，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当初，抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.0c <y x y总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置.c y 总之,只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.a b c ，，二次函数解析式确实定：依照已知条件确定二次函数解析式，一般利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须依照题目标特点，选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说，有如下几个情况:１. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；２. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值,一般选用顶点式;3． 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，能够用一般式或顶点式体现 １． 有关轴对称x 有关轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---有关轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 有关轴对称y 有关轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+有关轴对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++3. 有关原点对称 有关原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+- 有关原点对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4． 有关顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转18０°） 有关顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-有关顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 有关点对称 ()m n ，有关点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k=-+-+- 依照对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远a 不变.求抛物线的对称抛物线的体现式时,能够依据题意或以便运算的标准,选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或体现式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的体现式．十、二次函数与一元二次方程:1． 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况)：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =图象与轴的交点个数:x ① 当初,图象与轴交于两点，其中的是一元二240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，次方程的两根.这两点间的距离()200ax bx c a ++=≠2AB x =-② 当初，图象与轴只有一个交点; 0∆=x ③ 当初,图象与轴没有交点.0∆<x 当初,图象落在轴的上方,无论为任何实数，都有；1'0a >x x 0y > 当初,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.2'0a <x x 0y <２． 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为，；2y ax bx c =++y (0)c 3． 二次函数常用解题措施总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;x ⑵ 求二次函数的最大（小)值需要利用配措施将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 依照图象的位置判断二次函数中，,的符号,或由二次函数中，,的符号2y ax bx c =++a b c a b c 判断图象的位置，要数形结合;⑷ 二次函数的图象有关对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的x 一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的尚有二次三项式,二次三项式自身就是所含字母的二次函2(0)ax bx c a ++≠x 数;下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:0a >0∆>抛物线与轴有x 两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆=抛物线与轴只x 有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与轴无x 交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出目前选择题中，如:已知以为自变量的二次函数的图像通过原点, 则的值是 x 2)2(22--+-=m m x m y m 2．综合考查正百分比、反百分比、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大体是b kx y +=12-+=bx kx y （ ）ｙ ｙ y y 1 0 x o-1 x ０ x 0 -1 ｘ A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高，习题类型有中等解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线通过（0,3),（4,6）两点,对称轴为，求这条抛物线的解析式。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要内容，以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1. 二次函数的定义：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
2. 求解二次函数的根：当y=0时，求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。
3.二次函数的图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
4.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。
5.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a。
二、图像与相关性质1.拉平方法：将一般式的二次函数化为顶点形式的二次函数。
2.抛物线的开口方向：若二次函数的a>0，则抛物线开口向上；若二次函数的a<0，则抛物线开口向下。
3.抛物线的最值：若抛物线开口向上，则函数有最小值（最小值为f(-b/2a)）；若抛物线开口向下，则函数有最大值。
4.抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称。
5.零点存在性：若一元二次方程有实数根，则抛物线与x轴有交点；若一元二次方程无实数根，则抛物线与x轴无交点。
6.抛物线的轨迹：当抛物线的开口向上时，抛物线图像在x轴上方；当抛物线的开口向下时，抛物线图像在x轴下方。
三、解二次方程1. 提取公因式法：ax^2+bx+c=0，公因式为a，即a(x^2+(b/a)x+c/a)=0，再由零因积性质解得x的值。
2. 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解的公式为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。
3. 完全平方式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，通过变形将方程化为完全平方式(x﹦d)^2=0，再解出x的值。
四、因式分解1. 根与系数关系：若x1和x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则方程可以分解为a(x-x1)(x-x2)=0。
2. 判别式与因式分解：一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中b^2-4ac 被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不等实数根，即方程可因式分解为a(x-p)(x-q)=0，其中p和q是方程的两个根；当判别式等于0时，方程有两个相等实数根，即方程可因式分解为a(x-r)^2=0，其中r 是方程的根；当判别式小于0时，方程无实数根，即方程不可因式分解。
中考复习二次函数知识点总结
中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。
一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。
在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。
二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。
3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。
三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。
2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。
四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。
2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。
3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。
4.求单调性：根据图像特征可以判断。
5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。
初中二次函数知识点总结(全面)
二次函数知识点二次函数概念:1. 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c（是常数, a≠0）的函数, 叫做二次函数。
这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数a≠0, 而可以为零. 二次函数的定义域是全体实数。
<＜＞≤≥2.二次函数y=ax2+bx+c的性质1）当a＞0时, 抛物线开口向上, 对称轴为, 顶点坐标为.当时, 随的增大而减小；当时, 随的增大而增大；当时, 有最小值..2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式: （, , 为常数, ）；2.顶点式: （, , 为常数, ）；3.两根式: （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点, 即时, 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中, 属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(). A.(1, -4.. B.(-1, 2...C.(1, 2... D.(0, 3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在..)A.第一象....B.第二象...C.x轴....D.y轴上4.抛物... 的对称轴是.. )9、 A.x=-....B.x=.... C.x=-.....D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列结论中, 正确的是(.)A.ab>0, c>0B.ab>0, c<0C.ab<0, c>0D.ab<0, c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则点在第_.象限()A.一B.二C.三D.四7.如图所示, 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4, 图象交x轴于点A(m, 0)和点B, 且m>4, 则AB的长是()A.4+.B.mC.2m-8D.8-2m10、8.若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是.)11、 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A.直线B.直线C.直线D.直线10.把抛物线的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.二、填空题1、下列函数中, 哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+=（4）322-+=x x y 2.二次函数的图象开口方向, 顶点坐标是, 对称轴是； 3.当k 为何值时, 函数为二次函数？ 画出其函数的图象.3.函数, 当为时, 函数的最大值是；4、二次函数, 当时, ;且随的增大而减小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式, 则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A.B 两点, 则AB 的长为_________..8.抛物线y=x2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数的对称轴是.10二次函数的图象的顶点是, 当x 时, y 随x 的增大而减小.11抛物线的顶点横坐标是-2, 则=.12、抛物线的顶点是, 则、c 的值是多少？（１） 13. 已知抛物线y=﹣x －３x －（２） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（３） 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（４） 画出草图观察草图, 指出x 为何值时, y ＞0,y ＝0,y ＜0.14.（2010年宁波市）如图, 已知二次函数的图象经过A（2, 0）、B（0, －6）两点。
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二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 2 的性质（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a < 0 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中h =- b，k =2a4ac -b 2.4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法⎛ b ⎫24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ⎪+，∴顶点是（-，），⎝2a ⎭4a 2a 4a对称轴是直线x =-b .2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x = - b2a，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，a 对称轴在 y 轴左侧；③ b< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b< 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对 应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切；③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像y =kx +nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两y =ax 2 +bx +c组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故1 2 1 2第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4 题图３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC 上一点， ，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ）５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤1212x －x，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．21k7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得2 4-2 ⨯ b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b= -10, b = -6 . 2 41 2⎩ ⎩ ⎨ ⎨ ⎨b （2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．（1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,⎧a (-2) 2 + b (-2) + c = 5⎧c = -3 ⎧a = 1则 a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = -3 ,即⎪2a - b = 4 ,解得⎪= -2 ⎪a + b + c = -4 ⎪a + b = -1 ⎪c = -3⎩故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中 发现：骆驼的体温会随外部环境 温度 的变化而变化，而且在这四天中 每昼 夜的体温变化情况相同．他们将一头 骆驼前两昼夜的体温变化情况绘下图．请根据图象回答：第 9 题制成1⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)1610. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4+ 3a )x + 4 与 x 轴交于3A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．是否存在实数 a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +423a设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），由ax 2 + (4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4．3 1 23a∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a，0）．∴ AB =| - 4+ 3 |， AC = 3a= 5 ，BC = =．∴ AB 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 ⨯ 3⨯ 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，3a 9a 2 3a9a 2 aAC 2 = 25 ， BC 2 = 169a 2+16 ．〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ， 得16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) ． 9a 2解得a a = - 1． 49a 2∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =625 ， AC 2 = 25 ，439BC 2 =400 ．9于 是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．∴ 当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．4〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°． 由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (16 - 8 + 9) + ( 16+ 16) ． 9a 2 a 9a 2AO 2 + OC 25 5解 得 a = 49 当a = 4时， - 49 3a=44 3⨯9= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．由BC 2 = AC 2 + AB 2，得 169a 2解得 a = 4．不合题意．9+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．411. 已知抛物线 y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝ ，试求 m 的值；（2） 设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ （+ ）x 2 - 4x x =,121 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .．2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .∵M、N 是抛物线上的两点,∴ ⎨⎪-a 2 + ma - m + 2 = b , ①-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②⎪①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.∴ a = .这时 M 、N 到 y又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C= 27 ,1∴2× ×（2－m =27 .2∴解得 m=－7 .12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2） 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．0 0解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．∴D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴1 ( AB + CD ) ⋅OD ＝9 ．∴ 21 (2＋4) 3a ＝9 ． 2∴ a±1．∴所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或．（3） 设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，y ＝- x 2 - 4ax -y 0＜0，且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5x ．x 22 0⎨ ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．⎧5 ⎧x '＝- 1⎪ y 0＝－ x 0 , ⎨⎧x ＝- 6，⎨0 2解方程组⎪⎨y ＝x 2＋2 4x ＋3得 ⎩0 y 0＝15；⎪ y '＝5． ⎩ 0 0 0⎪ 0 4∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 125 ， ）．4设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点． 设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，⎧ 15 ⎧m ＝1 , ⎪- m ＋n ＝ ,∴ 解得 2⎨ 24 ⎩－3m ＋n ＝0.⎪n ＝ 3 . ⎩ 2点 P 坐标为（－2， ）．②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．⎧y ＝－ 5 x , 解方程组⎪ 02 0消去 y3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．⎪⎨ y ＝- x 2 - 4x - 3. ⎩ 0 0 02∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1．222∴ 1 2∴△＜0 . ∴此方程无实数根．1综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．2解法二：（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴．y＝ax2＋4ax＋3a令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．1 2∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴1( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2∴ 3a＝3 ．∴ a±1．∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．由PF∥EQ，可得BF＝PF．∴1＝PF ．∴PF＝1 BQ EQ．1点P 坐标为（－2，）．2 以下同解法一．5 5 2 2 413.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴- ， P 要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ⨯1⨯ (-2) ．∴a = 1 ．∴ y = x 2 - x -2 ． 其顶点 M 的坐标是⎛ 1 ，- 9 ⎫ ．⎪ ⎝ 2 4 ⎭（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），∴ ⎨ ⎧0 = 2k + b ，3 ⎪ 9= 1k + b . ．解得k = 2 ，b = -3 ． ⎪ 4 2∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3x - 3 ．2∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ⨯1⨯ 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1t +1．222 2342∴s 与t 间的函数关系式是S = 3t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是42 1< t < 2 ． 2（3） 存在符合条件的点 P ，且坐标是P⎛ 5 7⎫ ， ⎪ ⎛ 3 ，- 5 ⎫ ．1 2⎝ 4 ⎭2 ⎝ 2 4 ⎭⎪设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ． 分以下几种情况讨论：i ） 若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ⎛ 5 7 ⎫．1 221 ， ⎪ ⎝2 4 ⎭ii ） 若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ⎛ 3 ，－ 5⎫ ．3242 ⎝4 ⎪⎭iii ） 由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4） 以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ⎛- 12 ⎫ ，F ⎛ 4 ， ⎪ 8 ⎫ ．⎪ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 55 ⎭图 a图 b14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得 a －2＝－1.2，-2∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝x 2- 2 ．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ＝ax 2＋ 9 ．10因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0＝a ⋅(- 5 )2＋ 9，2 2 得a ＝－ 18．1252 10因此所求函数解析式为 y ＝－18x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5) ．（2） 因为点 D 、E 的纵坐．所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2标为 9 ， 所 以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 203 2 c所以DE ＝ 5 2－(-52) 5 2 ． ＝ 44 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2⨯11000 ⨯ 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 216. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与 y 轴相交于点C ．（1） a 、c 的符号之间有何关系?（2） 如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3） 在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的值． 解:（1） a 、c 同号． 或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．（2） 证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ⋅ x 2 = ．a由题意，得OA ⋅OB ＝OC 2 ，即 c＝c 2＝c 2 ．a所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 22 3 33 3 （3）当b = -4 时，由（2）知， x ＋xb 40 ，∴ a ＞0．12＝－ a ＝ a ＞解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝，21∴ AB =∵ AB = 4=， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．12∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝2 +3 ．21a∵ AB ＝4 ，∴2 3 ＝4 ，得a ＝ 1．∴ c＝2． a 217. 如图，直线 y = -A 、B 两点． 3 x + 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C的坐标；（2） 求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3） 若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 33 3 3 解：（1）连结 EC 交x 轴于点 N （如图）．∵ A 、B 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ ON = 1 OA = 3 , EN = OB = ．22 2 23,- 2 连结 OE ．∴ ）． 2 EC = OE = ． ∴ NC = EC - EN = 3．∴ C 点的坐标为（2 （2）设经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax (x - 3)．∵ C（ 3 ,- 2 ）． ∴ - 3 = a ⋅ 3 ( 3 - 3) ．∴ a =2 3 ． 2 2 2 2 9∴ y = 2 3 x 2 - 9 2 3 x 为所求． 8（3）∵ tan ∠BAO = 3 ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ∠OBD = 1 ∠ABO - 1 ⨯ 60︒ = 30︒ ．2 2∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°． 即PA⊥AB． 即直线 PA 是⊙E 的切线．(0, 3) ．3 33“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
中考专题复习二次函数知识点总结
中考专题复习二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象与性质：上加下减y ax c（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：，已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：，已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：，已知图象与轴的交点坐标、.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的一个重要内容，它在中考中也是一个常见的考点。
下面是一个最全的中考二次函数知识点总结。
1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，a的符号决定了抛物线的开口方向。
3. 二次函数的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。
4.二次函数的对称轴：对称轴为x=-b/2a。
5. 二次函数的判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，可以用来判断二次函数的性质。
6.二次函数的零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x)=0的解。
7.二次函数的单调性：当a>0时，二次函数是开口朝上的，是递增函数；当a<0时，二次函数是开口朝下的，是递减函数。
8. 定比分点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，若存在一点(x1,y1)，使得x1 = -b/2a + t 且 y1 = f(x1)，其中t为常数，则称(x1,y1)为定比分点。
9.定比分点与顶点的关系：二次函数的定比分点与顶点的横坐标之差等于m倍的a的倒数，即x1-(-b/2a)=m/a。
10. 二次函数的平移变换：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a 不等于1时，二次函数的平移变换可以通过替换x变量来实现，平移后的函数为y = a(x-h)^2 + k。
11.二次函数与一次函数的关系：当a=0时，二次函数退化为一次函数。
12.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
13.二次函数与根的关系：如果二次函数有两个不相等的根，那么函数图像必定与x轴有两个交点；如果二次函数有两个相等的根，那么函数图像必定与x轴有一个相切的交点；如果二次函数没有实数根，那么函数图像与x轴没有交点。
中考数学总复习之二次函数考点归纳
中考数学总复习之二次函数考点归纳1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的图象（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．4．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．6．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．8．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c ＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．9．二次函数与不等式（组）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．10．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．。
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀一、基本概念与定义一次函数是二次函数特殊情况图像开口向上或向下二次项系数>0则为向上二次项系数<0则为向下二、二次函数的图像特征顶点坐标为(-b/2a,f(b/2a))若a>0,最小值在顶点若a<0,最大值在顶点对称轴为x=-b/2a两个根为函数与x轴交点如果D=b²-4ac>0,两个根如果D=b²-4ac=0,一个根如果D=b²-4ac<0,无实数根三、零点与因式分解二次函数与x轴交点解方程ax²+bx+c=0求得零点x₁=(-b+√D)/2a零点x₂=(-b-√D)/2a由零点得因式分解得到f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)四、函数图像与参数之间的关系函数f(x)=a(x-h)²+kh为平移的横坐标k为平移的纵坐标a，决定开口大小a>0函数图像开口向上a<0函数图像开口向下整体上下平移k个单位左右平移h个单位五、函数与导数导数用于求函数的曲线斜率导数f'(x)表示函数f(x)的变化率求导公式如下所示：（ax²）' = 2ax(a²)=2a(ax+b)' = a(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)函数的导数为f'(x)原函数的导数为F'(x)函数f(x)在区间I上有两个导数，则在I上相等的只有常数项f'(x)=g'(x)⇒f(x)=g(x)+c六、描点法绘制二次函数图像求顶点=(-b/2a,f(-b/2a))求显正负号设出f(-b/2a)七、根与系数之间的关系根与系数之间存在倒数关系两根之和相当于系数b的相反数两根之积相当于系数c的相反数八、函数与图像的应用判断增减性需知一二三一阶导数为正则单调递增一阶导数为负则单调递减高度与顶点的纵坐标相同顶点处横坐标为最值的轴九、最值的判断与求解a>0最小值在顶点处a<0最大值在顶点处最小/大值=f(-b/2a)可以用求导数来验证取得最值时x=f(-b/2a)十、解二次不等式二次不等式与二次方程对应将二次函数换成y即可解二次不等式需要找根对应二次方程的零点首先表示成标准形式a(x-x₁)(x-x₂)≥0判断符号即可得解若a>0则为≥；若a<0则为≤十一、反比例函数与二次函数的关系当二次函数与其倒数相乘时f(x)*g(x)=k则可以判定函数关系f(x) = ax² + bx + cg(x) = k / (ax² + bx + c)若a>0，则两个函数的图像关于y轴对称；若a<0，则两个函数的图像关于x轴对称。
【重点梳理】初三数学_二次函数
二次函数专项梳理（上）一、知识梳理✓ 要点一：二次函数的定义一般地，2yax bx c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.✓ 要点二：二次函数的图像与性质1) 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2y ax ；②2y ax k ；③2()y a x h ；④2()y a x h k ，其中2bha，244ac b ka；⑤2y ax bx c .（以上式子a ≠0）几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2y ax 当0a时开口向上 当0a时开口向下0x (y 轴)(0，0) 2yax k0x (y 轴) (0，k ) 2()y a x h xh(h ，0) 2()ya x h kx h(h ，k )2y axbx c 2b xa (24,24b ac b a a)2) 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ② 平行于y 轴(或重合)的直线记作xh .特别地，y 轴记作直线0x3) 抛物线2(0)y ax bx c a中，a,b,c 的作用： 2040b ac① a 决定开口方向及开口大小，这与2y ax 中的a 完全一样.② b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线2yax bx c 的对称轴是直线2b xa，故：a):0b时，对称轴为y 轴；b):0b a (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧； c):0b a(即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴右侧.③ 的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：a):，抛物线经过原点；b):，与轴交于正半轴；c):，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4) 用待定系数法求二次函数的解析式：① 一般式：2(0)y ax bx c a .已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.② 顶点式：2()(0)ya x h k a.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成2yax 的图像平移后所对应的函数.)③ “交点式”：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：12()()(0)ya x x x x a .(由此得根与系数的关系：1212,bc x x x x a a). 二、易错梳理➢ 易错点一：二次函数系数a 分类讨论如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.➢ 易错点二：二次函数与一元二次方程1.求抛物线2(0)yax bx c a ≠的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数图像与x 轴的交点的个数由24b ac 的值来确定.(1)当二次函数的图像与x 轴有两个交点，这时240b ac ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图像与x 轴有且只有一个交点，这时240b ac ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图像与x 轴没有交点，这时240b ac ，则方程没有实根.➢ 易错点三：二次函数与实际问题常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.三、知识体系➢暑假二次函数内容体系：➢秋季二次函数内容学习体系二次函数专项梳理（下）一、知识梳理✓ 要点三：二次函数与一元二次方程的关系函数2(0)yax bx c a ≠，当0y 时，得到一元二次方程20(0)ax bx c a ≠，那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图像与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.1. 当二次函数的图像与x 轴有两个交点，这时240b ac ，则方程有两个不相等实根；2. 当二次函数的图像与x 轴有且只有一个交点，这时240b ac ，则方程有两个相等实根；3. 当二次函数的图像与x 轴没有交点，这时240b ac ，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图像和一元二次方程的关系：240(0)b ac a ≠0 0 02(0)yax bx c a ≠的图像2=0(0)ax bx c a ≠ 的解方程有两个不等实数解242bb ac xa方程有两个相等实数解2b x a方程没有实数解✓ 要点四：二次函数的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）✓ 要点五：利用二次函数解决实际问题1. 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 2. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2①建立适当的平面直角坐标系；②把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；③用待定系数法求出抛物线的关系式；二、易错梳理➢易错点一：二次函数系数a分类讨论如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.➢易错点二：二次函数与一元二次方程y ax bx c a≠的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，1.求抛物线2(0)这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．二次函数图像与x轴的交点的个数由24b ac的值来确定.(1)当二次函数的图像与x轴有两个交点，这时240b ac，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点，这时240b ac，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图像与x轴没有交点，这时240b ac，则方程没有实根.➢易错点三：二次函数与实际问题常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.三、知识体系1)暑假二次函数内容体系：2)秋季二次函数内容学习体系。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。
2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。
d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。
3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。
a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。
b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。
c)当D<0时，方程无实数解。
4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。
d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。
5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。
b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。
6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。
b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。
中考专题--二次函数复习专题
二次函数复习专题一、 二次函数知识点1. 二次函数的解析式三种形式● 一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0)● 顶点式 2()y a x h k =-+ / 224()24b ac b y a x a a-=-+ ● 交点式 12()()y a x x x x =-- 2. 二次函数图像与性质 对称轴：2bx a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a--与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 图像平移步骤（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ） （2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x += 根据图像判断a,b,c 的符号 （1）a ——开口方向（2）b ——对称轴与a 左同右异 3.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点3. 二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等【典型例题】A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）例2.下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就不是二次函数了。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a ，（4ac b²) ／ 4a）。
例如，对于二次函数 y ＝ 2x² 4x ＋ 1，其中 a ＝ 2 ＞ 0，抛物线开口向上，对称轴为 x ＝（－4) ／（2×2) ＝ 1，顶点坐标为（1，－1）。
三、二次函数的平移二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
“上加下减”指的是在函数表达式后面直接加上或减去一个常数，影响抛物线的上下移动。
比如，将 y ＝ x²向上平移 2 个单位，得到 y ＝ x²＋ 2；向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 。
“左加右减”指的是在自变量 x 上加上或减去一个常数，影响抛物线的左右移动。
例如，将 y ＝（x 1)²向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x 1 ＋ 2)²＝（x ＋ 1)²；向右平移 3 个单位，得到 y ＝（x 1 3)²＝（x 4)²。
四、二次函数的最值当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，同样在顶点处取得，即 y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
例如，对于二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3，因为 a ＝－1 ＜ 0，所以函数有最大值。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
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利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。
【例题点拨】 【例 1】如图 1-3,二次函数 y ax2 bx 2 的图像与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C,经过点 A
的直线 y kx 2 与 y 轴相交于点 D，与直线 BC 垂直于点 E，已知 AB=3，求这个二次函数的解析式。
【模拟题训练】
C
变式二图
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中考数学二次函数专题复习超强整理
1．（2015• 三亚三模)如图,直线 y=﹣ x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经
过点 B、C 和点 A（﹣1，0）． （1）求 B、C 两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在,请说明理由； （4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位 置时,四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．
过顶点 C 作 CH⊥x 轴于点 H。
（1）直接填写：a=
，b=
，顶点 C 的坐标为
；
(2)在 y 轴上是否存在点 D，使得△ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标;若不
存在，说明理由;
y
C
OA x
【例 3】、（2011 山东烟台)如图,已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A(1,0），B(0,—3）,与 x 轴交于另一点 C。(1)求抛物线的解析式； （2)若在第三象限的抛物线上存在点 P，使△PBC 为以点 B 为直角 顶点的直角三角形,求点 P 的坐标； （3）在(2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q，B，
△ABC 相似，试求点 E 的坐标。
y
C
1 O
A
x
图1-6
【模拟题训练】 2．（2015• 崇明县一模）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过直线 y=﹣ +1 与坐标轴的两个交点 A、B， 点 C 为抛物线上的一点，且∠ABC=90°． （1）求抛物线的解析式; （2）求点 C 坐标； （3）直线 y=﹣ x+1 上是否存在点 P，使得△BCP 与△OAB 相似？若存在，请直接写出 P 点的坐标;若 不存在,请说明理由．
y
C
yD轴交与图点三 C，
D
为抛物线的顶点，
连接 BD，CD，
(1)求四边形 BOCD 的面示x :本题中的三角形没O有横A向或x纵
OE
x
向的边,可以通过添加辅助线进行转化,把你想到的思路在图
中画出来,并图选四择其中的一种写出详细的解答图过五程）
3、已知抛物线 y 1 x2 x 4 与 x 轴交与 A、C 两点，与 y
图六
2
轴交与点 B，
(1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；
（2）求四边形 ABMC 的面积.
4、已二次函数 y x 2 2x 3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C，顶点为 P.
（1)结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； (2）求 A、B、C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积;
N，使得
S NAB
S
ABC
，若存在直A 接写P出
N 的坐标；若不存在， B
请说明理由。
yO
x
5、抛物线 y x 2 2x 3 与 x 轴交与A、B(点A在B右侧）,与 y 轴交与点CC，若点变E式为一第图二象限抛物线
A
B
上一动点， 点E运动到什么位置时，△EBC的面积最大,并求出此时点E的O坐标和△EBxC的最大面积．
二、二次函数与相似 【相似知识梳理】
二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐 标过程中需要用到相似三角形的一些性质,如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。 其 实 破 解 难 点 以 后 不 难 发 现 ， 若 是 直 角 三 角 形 相 似 无 非 是 如 图 1-1 的 几 种 基 本
存在，求出点 D 的坐标，若不存在,请说明理由。
D1
Y
D2
H
EO A
B
X
C
【例 3】如图 1-6,在平面直角坐标系中，二次函数 y 1 x2 bx c -的图像经过点 A（4，0），C（0， 4
2）。
（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点 B(—2,0）是否在该函数的图像上；
（2）设所求函数图像的对称轴与 x 轴交于点 D，点 E 在对称轴上,若以点 C、D、E 为顶点的三角形与
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初三-—二次函数归类复习
一、二次函数与面积 面积的求法：①公式法:S=1/2＊底*高 ②分割法/拼凑法 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
y
y
y
A
E
O
B
x
AO
Bx
AO
P
Bx
y CC
2、抛物线 y图一x 2
D
2x
3与
x
DM y 轴交与 A图、二B（E点
A
在
B
右侧），与
y
【例 2】如图 1—4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为 C 4, 3 ，且在 x 轴上截得的线段
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C E
OA D
x B
AB 的长为 6。 （1）求二次函数解析式；
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（2）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若
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三、二次函数与垂直 【方法总结】 ①应用勾股定理证明或利用垂直 ②三垂直模型 【例 1】：如图,直线 l 过等腰直角三角形 ABC 顶点 B，A、C 两点到直线 l 的距离分别是 2 和 3，则 AB 的长是（ ）
【例 2】：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（-3，0）、B（1，0)，
（3）在抛物线上（除点 C 外)，是否存在点 N,使得 SNAB SABC ，
若存在，请写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。
y
A
B
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点 N，使得 SNAB SABC ，若存在直接写O 出 N 的坐标；x若不存在，
请说明理由。
y C
变式二：在双曲线 y
3 x
上是否存在点