正弦交流电路基础

• 7、掌握不对称三相电路的概念
预备知识——复数
一、复数的形式
1、代数形式
F = a + jb
j
1
为虚单位 Re[F ] = a
b
+j F
复数F 的实部
复数F 的虚部 Im[F ] = b 复数 F 在复平面上可以用一条从 原点O 指向F 对应坐标点的有向 线段表示。
O

a
+1
2、三角形式
+j
ik 0
Ik 0

uk
ij
uj


Uk
Ij
Uj
例：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率ω=103rad/s， R=3Ω，L=1H，C=1μF。求电压uad和ubd。
a i + uR b + uL + c
iS
uC
d
解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图 jωL R b a I c
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设F1=3-j4，F2=10 /135°
求 : F1+ F2 和 F1/ F2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
正弦交流电路
• 1、掌握正弦量的三要素和有效值 • 2、掌握电感、电容元件电流电压关系的 相量形式及基尔霍夫定律的相量形式 • 3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功 率、视在功率和功率因数的概念 • 4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法
• 5、熟练掌握三相电路中电源和负载的联 接方式及相电压、相电流、线电压、线 电流、三相功率的概念和关系 • 6、熟练掌握对称三相电路分析的相量方 法


1 UC j I = 5000 / - 90 °V C
U bd U L U C = 0 U ad U R U bd 15 / 0




ubd 0
3 uad 15 cos(cos( 3 t )A 2 10 t ) 10
相量法的三个基本公式
UR RIR
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用极坐标形式比较方便 设 F | F |
1 1
1
F2 | F2 | 2
F F2 F 1 F2 2 1 1
F F2 / 1 2 1
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2
Z R j L
1 j C
3
15 j (5000 12 10
1 ) 6 5000 5 10
15 j 20 25 53.13 ()
U I Z
1000 4 53.13 ( A) 2553.13
i(t)= 42 cos ( 5000 t - 53.13o ) A
2π
ωt
3、初相位（角） i 主值范围内取值
i
Im 2π O
i 180
i
π
2π
ωt
(t i ) 称为正弦量的相位，或称相角。
三、正弦量的有效值
I
I
2
def
1 T
T 0

T
0
i dt
2
def
1 T

Im2 cos2 (t i )dt
1 cos[ 2(t i )] cos (t i ) 2
2 2
X
Z
R 阻抗三角形
电路的性质
Z= R + jX 当 X > 0，称Z呈感性； 当 X < 0，称Z呈容性； 当 X = 0，称Z呈电阻性
二、导纳
1、定义

Y
I

U
I / i u Y / Y U
导纳模 | Y | = I / U 导纳角 Y i u 导纳Y的代数形式可写为 Y= G + jB 其实部为电导，虚部为电纳。
二、正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式： u -
i I m cos(t i )
1、振幅（最大值） Im
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 i 2、角频率ω Im 反映正弦量变化的快慢 2π 单位 rad/s O ωT=2π π ω=2πf i f=1/T 频率f 的单位为赫兹（Hz） 周期T的单位为秒（s） 工频，即电力标准频率：f =50Hz, T = 0.02s ω =314 rad/s
I I m / 2 0.707 I m
Im I 2
Um U 2 Em E 2
四、同频率正弦量相位的比较
i I m cos(t i )
u U m cos( t u )
相位差 u i 相位差也是在主值范围内取值。 φ > 0，称u超前i； φ < 0，称u落后i；
阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式，它们在形
式上与线性电阻电路相似。 对于电阻电路有：
i 0
u Ri
I 0

u 0 i Gu
U 0
I YU

对于正弦电流电路有：
U ZI


用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法
2、单个元件R、L、C 的导纳
1 YR G R 1 1 YR j jL L
YC jC
3、感纳和容纳
1 感纳 BL L
容纳 BC C
阻抗（导纳）的串联和并联
一、阻抗的串联
对于 n 个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗
Zeq Z1 Z2 Zn

F1 F2
/ 1 2
三、旋转因子
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j

2
j
e
j

2
-j
e
j
-1
因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。
例如 一个复数乘以j， 等于把该复数逆时针旋转π/2， 一个复数除以j， 等于把该复数乘以-j， 等于把它顺时针旋转π/2 。

IS
+

UR
-
+

UL + UC d
-
1 j C

a

I
+
R

b +
jωL UL + UC
c
1 j C
IS
UR
d
设电路的电流相量为参考相量 即令 I I S 5 / 0
U R R I = 15 /0 °V




U L jL I = 5000 / 90°V
U / u i Z / Z I

U
No
-
阻抗角
Z u i
Z= R + jX
阻抗Z的代数形式可写为 其实部为电阻，虚部为电抗。
2、R、L、C 对应的阻抗分别为：
1 ZC j C 3、感抗和容抗
感抗 X L L 反映电感对电流的阻碍作用
容抗 X C

常数，大写字母
常数，大写字母加 下标m再加点 常数，大写字母加点

5 2 / 30 A
电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律
正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都 是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL 转换为相量形式。 1、基尔霍夫电流定律
对电路中任一点，根据KCL有 Σ i = 0 其相量形式为 I 0 2、基尔霍夫电压定律 对电路任一回路，根据KVL有 Σ u = 0

I k 为第k个阻抗的电流 I 为总电流 . ,
例： 如图RLC串联电路。R= 15 ，L= 12 mH，C= 5 F， 端电压 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。 求：i，各元件的电压相量。
解： 用相量法。
U 1000 (V )
5000 rad / s) (
j
10 /30 ° =10(cos30 °+ jsin30 °)
-3+j4= 5 /-53.1 ° =5 /126.9 °
×
=8.66+j5
二、复数的运算
1、加法 用代数形式进行， 设 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
φ = 0，称u,i 同相；
φ = π/2，称u，i 正交；
φ = π ，称u，i 反相。
例：i = 10 sin(314t+30°) A u= 5 cos(314t-150°) V 求电压和电流的相位差。
30 (150) 180
i = 10 sin(314t+30°)
= 10 cos(314t+30°-90°)
UL
L

IL
UL

O
u
IL
i
相量图 +1
U L jL I L
3、电容元件
瞬时值表达式
iC C
+
uC
+j

duC iC C dt
相量形式 +


IC

IC C
i
O
UC
u
相量图 +1
UC

I C jC U C
1 (或U C j IC ) C
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
= 10 cos(314t-60°)
60 (150) 90
正弦量相应符号的正确表示 瞬时值表达式 i = 10 cos(314 t + 30°)A 最大值 Im= 10A 变量，小写字母
常数，大写字母加下标m
10 A 有效值 I = 2
最大值相量 I m 10 /30 A 有效值相量 I 10 / 30 2
各个阻抗的电压分配为
Zk Uk U , k = 1,2,…，n Z eq


U k 为第k个阻抗的电压 U 为总电压 . ,

二、阻抗的并联
对 n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳
Yeq Y1 Y2 Yn
各个导纳的电流分配为
Yk Ik I, Yeq


k = 1,2,…，n
其相量形式为
U 0

二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式
1、电阻元件 瞬时值表达式
iR
+ R
u R RiR
相量形式
uR
-
+j


IR
+

UR
R

IR
O 相量图
UR RIR

UR
i u
+1
2、电感元件 瞬时值表达式
iL
+
L
di uL L dt
相量形式
+


uL

+j

U R IR 4 53.13 15

60 53.13 (V )
U L j LI 240 36.87 (V )
I 1 160 143.13 (V ) UC j C
正弦稳态电路的分析
在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 F1 a1 jb1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
几何意义
+j
(a1 a2 ) j (b1 b2 )
F F (cos j sin )
F
b

O a
模
+1
F
a b
2
2
辐角
b arctan a
3、指数形式 根据欧拉公式
e j cos j sin
F F (cos j sin )
F Fe
4、极坐标形式
F =|F| /θ 3+j4= 5 /53.1°
= - 4.07 + j3.07
= 5.1 /143°
3-j4 F1 百度文库 F2 10 /135°
=
5 /-53.1 ° 10 /135°
= 0.5 /-188.1 °
= 0.5 /171.9 ° 辐角应在主值范围内
正弦量的概念
一、正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正 弦量。 对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。 用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用 cosine。
1 C
ZR R Z L jL
反映电容对电流的阻碍作用
4、RLC串联电路
如果No内部为RLC串联电路，则阻抗 Z 为

1 Z C I 1 R j (L ) C R jX
U
R jL j
Z / Z
|Z|
Z R X X Z arctan( ) R

U L jL I L 1 UC j IC C
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件 下得到的；


如果为非关联参考方向，则以上各式要变号。
以上公式 既包含电压和电流的大小关系，
又包含电压和电流的相位关系。
阻抗和导纳
一、阻抗
1、定义


+
I
Z
U

I 阻抗模 | Z | = U / I