插值法(一)概论
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a,b xk1, xk1,
k 1,2,, n 1
整个区间使用Lagrange插值函数
Hermite插值法
• 给出n个互异节点x1,x2,…xn处的函数值yi和 导数值yi’，寻求一个与所有节点数据协 调的（2n-1）次多项式。
Hermite插值函数
n
n
f (x) Uk (x) yk Vk (x) yk'
例3
• 选用具有密集曲率的函数，典型的超椭 圆方程，其用于圆形截面与正方形截面 间的整形。
y
(1
xm
)
1 m
• 当m取较大时，曲线几乎表示一个正方形
• m=2时，方程为圆方程。
• 其误差值远大于指数函数的误差值，且 集中是x=1附近。
• 随节点数增加最大误差下降很慢。
• m=4时，结果于2时规律类似。
• 方法本身问题。
例2
• 选用正弦函数sin2πx，在0<x<1区间的插值 问题。
• 给出四点插值和七点插值结果。
• 最大误差远大于指数函数的最大误 差值。
• 多项式插值函数拟合波动函数比拟 合平滑函数要困难。
• 相对于插值节点数 的最大误差曲线。
• 是非一条平滑曲线， 原因是在正弦曲线 上节点位置的选择 非常重要。
Lagrange插值法
• 通过给定数据点，可构造线性多项式函 数：
•
f (x)
得到
an1x n1
an2
xn2
a1x
a0
an1xi n1 an2 xi n2 a1xi a0 yi i 1,2,n
典型线性方程组求解的问题
• 当n>4或n>5时求解要借助于计算机； • 当n>5，时方程可能为病态； • 不能具有紧凑格式的表达式。
(0 0.5)(0 1)
(0.5 0)(0.5 1)
(0.25 0)(0.25 0.5) (2.718282) 1.271756 (1 0)(1 0.5)
e1 F (0.25) 2.71828 (0.25 0)(0.25 0.5)(0.25 1) 0.0212
3!
6
精确值为： e0.25 1.2840254
对插值曲线的要求
• 由问题的陈述，必须满足
f (xi ) yi
i 1,2,, n
• 函数必须容易定值。
• 应该容易进行微分和积分。
• 应具有线性可调参数。
• Lagrange插值法 • Hermite插值法 • 样条（Splines）插值法 • 拉力样条（Tension Spline）插值法 • 参量插值法和多维插值法
实际误差为：0.0123 估计误差约等于实际误差的两倍，结果不算太坏。
内插与外插（外推）
• 在给定的点x，计算出插值公式的值作为 f(x)的近似值，此过程称为插值，点x称为 插值点；若插值点x位于插值区间之内， 此种插值过程称为内插，否则称为外插 （或外推）。
• 在例1中，若插值区间相同，在x=-0.25处 插值，可求得f(x)=0.83345，与精确值 0.77880相比，误差等于0.055。
Lagrange插值函数
• 用每一个yi和一个含x的（n-1）次多项式 乘积的线性组合。
n
f (x) Lk (x) yk k 1
k 1,2,n
Lagrange插值多项式
Lk
(x)
(x x1)(x (xk x1)(xk
xk1)(x xk1)(x xk1)(xk xk1)(xk
xn ) xn
• 二次插值公式为：
L2 (x)
2
lk (x) yk
k 0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x (x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
f (0.25) (0.25 0.5)(0.25 1) 1 (0.25 0)(0.25 1) (1.648721)
• 该误差值为x=0.25处插值实际误差的四倍 多
• 可以看出，Lagrange插值法用于外推较内 插结果相差很大。
• 对函数ex用五点插值比用三点插值要好
• 五点插值时，误差均较小，仍发出波动 分布，误差最大值出现在插值区间两端 点附近。
• 最大误差相对于所 用插值节点数的变 化曲线。
• n较大时，估计误 差小于实际误差。
很少作为独立方法应用
• Lagrange插值法能够提供所构造的插 值函数滑顺程度有限。
• 改进的方法
– 分段插值 – Hermite插值法
分段插值
• 高次插值的Runge现象。函数在进行高次 Lagrange插值时，表现为区间两端点处误 差很大的现象。
• 大范围内使用高次插值，逼近的效果往 往不理想，故应采用分段低次插值
)
且满足：
Lk
(x
j
)
Βιβλιοθήκη Baidukj
1, 0,
j k, j k.
误差分析
• 实际误差 • 估计误差
y(n) ( ) F (x)
n!
x1 xn
F (x) (x x`1)(x x2 )(x xn )
例1
• 选定函数ex，0<x<1,给定x=0,x=0.5,x=1，求 x=0.25处的插值。
分段插值函数
• 将插值区间多个子区间，在每个子区间 上均为线性函数，表示为：
f (x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
分段多项式
Lk
(x)
x
xk x
xk
xk 1
xk 1 xk 1
xk 1
, ,
0,
xk1 x xk
xk x xk1
插值法
插值法
• 插值法是对一系列有限数据拟合出一条 平滑曲线的过程。
• 按照所提供数据的类型及期望得到结果 的型式，将插值法分为两类：
– 标准插值法 – 最小二乘插值法
插值法基本问题的描述
• 给出一组数据点(xi,yi), i=1,2,…,n,要求构造 出一平滑曲线f(x)，使其通过这些数据点。
k 1
k 1
• 其中Uk(x)和Vk(x)分别是（2n-1）次多项式， 具有如下特性：
• 其误差更加增大，且更集中在曲率大 的局域内。
• 随节点数增加最大误差下降愈加缓慢。
多项式插值法的重要特性
• 插值曲线必在精确值附近上下波动 • 逼近平滑函数较逼近波动函数或具有集
中曲率函数能获得更高的精度 • 大于三点或四点的Lagrange插值法很少应
用 • Lagrange插值法是其它许多方法的基础，
k 1,2,, n 1
整个区间使用Lagrange插值函数
Hermite插值法
• 给出n个互异节点x1,x2,…xn处的函数值yi和 导数值yi’，寻求一个与所有节点数据协 调的（2n-1）次多项式。
Hermite插值函数
n
n
f (x) Uk (x) yk Vk (x) yk'
例3
• 选用具有密集曲率的函数，典型的超椭 圆方程，其用于圆形截面与正方形截面 间的整形。
y
(1
xm
)
1 m
• 当m取较大时，曲线几乎表示一个正方形
• m=2时，方程为圆方程。
• 其误差值远大于指数函数的误差值，且 集中是x=1附近。
• 随节点数增加最大误差下降很慢。
• m=4时，结果于2时规律类似。
• 方法本身问题。
例2
• 选用正弦函数sin2πx，在0<x<1区间的插值 问题。
• 给出四点插值和七点插值结果。
• 最大误差远大于指数函数的最大误 差值。
• 多项式插值函数拟合波动函数比拟 合平滑函数要困难。
• 相对于插值节点数 的最大误差曲线。
• 是非一条平滑曲线， 原因是在正弦曲线 上节点位置的选择 非常重要。
Lagrange插值法
• 通过给定数据点，可构造线性多项式函 数：
•
f (x)
得到
an1x n1
an2
xn2
a1x
a0
an1xi n1 an2 xi n2 a1xi a0 yi i 1,2,n
典型线性方程组求解的问题
• 当n>4或n>5时求解要借助于计算机； • 当n>5，时方程可能为病态； • 不能具有紧凑格式的表达式。
(0 0.5)(0 1)
(0.5 0)(0.5 1)
(0.25 0)(0.25 0.5) (2.718282) 1.271756 (1 0)(1 0.5)
e1 F (0.25) 2.71828 (0.25 0)(0.25 0.5)(0.25 1) 0.0212
3!
6
精确值为： e0.25 1.2840254
对插值曲线的要求
• 由问题的陈述，必须满足
f (xi ) yi
i 1,2,, n
• 函数必须容易定值。
• 应该容易进行微分和积分。
• 应具有线性可调参数。
• Lagrange插值法 • Hermite插值法 • 样条（Splines）插值法 • 拉力样条（Tension Spline）插值法 • 参量插值法和多维插值法
实际误差为：0.0123 估计误差约等于实际误差的两倍，结果不算太坏。
内插与外插（外推）
• 在给定的点x，计算出插值公式的值作为 f(x)的近似值，此过程称为插值，点x称为 插值点；若插值点x位于插值区间之内， 此种插值过程称为内插，否则称为外插 （或外推）。
• 在例1中，若插值区间相同，在x=-0.25处 插值，可求得f(x)=0.83345，与精确值 0.77880相比，误差等于0.055。
Lagrange插值函数
• 用每一个yi和一个含x的（n-1）次多项式 乘积的线性组合。
n
f (x) Lk (x) yk k 1
k 1,2,n
Lagrange插值多项式
Lk
(x)
(x x1)(x (xk x1)(xk
xk1)(x xk1)(x xk1)(xk xk1)(xk
xn ) xn
• 二次插值公式为：
L2 (x)
2
lk (x) yk
k 0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x (x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
f (0.25) (0.25 0.5)(0.25 1) 1 (0.25 0)(0.25 1) (1.648721)
• 该误差值为x=0.25处插值实际误差的四倍 多
• 可以看出，Lagrange插值法用于外推较内 插结果相差很大。
• 对函数ex用五点插值比用三点插值要好
• 五点插值时，误差均较小，仍发出波动 分布，误差最大值出现在插值区间两端 点附近。
• 最大误差相对于所 用插值节点数的变 化曲线。
• n较大时，估计误 差小于实际误差。
很少作为独立方法应用
• Lagrange插值法能够提供所构造的插 值函数滑顺程度有限。
• 改进的方法
– 分段插值 – Hermite插值法
分段插值
• 高次插值的Runge现象。函数在进行高次 Lagrange插值时，表现为区间两端点处误 差很大的现象。
• 大范围内使用高次插值，逼近的效果往 往不理想，故应采用分段低次插值
)
且满足：
Lk
(x
j
)
Βιβλιοθήκη Baidukj
1, 0,
j k, j k.
误差分析
• 实际误差 • 估计误差
y(n) ( ) F (x)
n!
x1 xn
F (x) (x x`1)(x x2 )(x xn )
例1
• 选定函数ex，0<x<1,给定x=0,x=0.5,x=1，求 x=0.25处的插值。
分段插值函数
• 将插值区间多个子区间，在每个子区间 上均为线性函数，表示为：
f (x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
分段多项式
Lk
(x)
x
xk x
xk
xk 1
xk 1 xk 1
xk 1
, ,
0,
xk1 x xk
xk x xk1
插值法
插值法
• 插值法是对一系列有限数据拟合出一条 平滑曲线的过程。
• 按照所提供数据的类型及期望得到结果 的型式，将插值法分为两类：
– 标准插值法 – 最小二乘插值法
插值法基本问题的描述
• 给出一组数据点(xi,yi), i=1,2,…,n,要求构造 出一平滑曲线f(x)，使其通过这些数据点。
k 1
k 1
• 其中Uk(x)和Vk(x)分别是（2n-1）次多项式， 具有如下特性：
• 其误差更加增大，且更集中在曲率大 的局域内。
• 随节点数增加最大误差下降愈加缓慢。
多项式插值法的重要特性
• 插值曲线必在精确值附近上下波动 • 逼近平滑函数较逼近波动函数或具有集
中曲率函数能获得更高的精度 • 大于三点或四点的Lagrange插值法很少应
用 • Lagrange插值法是其它许多方法的基础，