21.1.1 一一元二次方程及有关概念

【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程；
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
【点睛】判定一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数需要 先将方程化为一般形式，再去判断；注意系数和项均包含前面的符号.
3600cm2
50cm
化简，得 x2 75x 350 0 ①
x
100cm
该方程中未知数的个数和最高次 数各是多少？
问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和 时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队 参加比赛?
解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛.
※一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常 数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
※一元二次方程的一般形式 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, bx 称为一次项,
c 称为常数项.
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然 后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面 积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长 为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的 底面积为3600cm2,得
a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
(3)(x+3)(2x-4)=x2
(4)3y2=(3y+1)(y-2) (5)x2=x3+x2-1 (6)3x2=5x-1
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0
【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
1 2
(4) x2 x 0
(5) x+1=0
(6) x2 6 3
(7)4x2 1 (2x 3)2
※一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解 （又叫做根）.
【练习】下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：3和-2.
你注意到了吗？一元二次 方程可能不止一个根.
例4 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C ）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程 B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成x2-3x+2=0
含两个未知数 少了限制条件a≠0
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次 项和常数项及它们的系数.
2a2 4a 2018 2(a2 2a) 2018 2 2 2018 2022
【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整 体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代 入求值．
1. 下列哪些是一元二次方程？
(1)3x+2=5x-2
(2)x2=0
(8)( x )2 2 x 6 0
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时， 原方程是一元二次方程；
(2)由|a |+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
根据题意，列方程： 1 x(x 1) 7 4. 2
化简，得： x2 x 56 0 ②
该方程中未知数的个数和最高次 数各是多少？
方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别
在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 75x 350 0 ①
x2 x 56 0 ②
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
人教版 数学 九年级 上册
理解一元二次方程的概念. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中 前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.