四年级等差数列求和
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利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
随堂小练:
(1)求等差数列:1、3、5、7、9……它的第21项是多少?
(2)求等差数列:2、6、10、14、18……它的第60项是多少?
(3)
例6:已知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项?
分析:第2项比首项多1个公差,第3项比首项多2个公差,第4项比首项多3个公差……,那第n项比首项多(n-1)个公差。可根据,项数=(末项-首项)÷公差+1进行计算,(35-2)÷3+1=12。所以,这个数列共有12项。
分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等,由此可知,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
解:(1)最大三角形面积为(1+3+5++15)×12=[(1+15)×8÷2]×12=768(平方厘米)
2)火柴棍的数目为3+6+9++24=(3+24)×8÷2=108(根)。
答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。
例8:盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?
四年级等差数列求和
第3讲:等差数列求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:1+2+3+4++99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98==49+52=50+51。
由此可知:项数=(末项-首项)÷公差+1
随堂小练:
(1)有一个等差数列:1、3、5、7、9……99,这个等差数列共有多少项?
(2)
(3)有一个等差数列:2、5、8、11……101,这个等差数列共有多少项?
(4)
例7:在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米(2)整个图形由多少根火柴棍摆成
5、求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少?
6、
7、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?
8、
9、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项第50项是多少
10、
11、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
12、
8已知等差数列5,8,11…,求出它的第15项和第20项。
(3)
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2
随堂小练:
计算等差数列1,3,5,7,9,,99的和
例2:计算下面数列的和
1+2+3++1999
分析:这串加数1,2,3,,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得
解:原式=(1+1999)×1999÷2=1999000
9、按照1、4、7、10、13…,排列的一列数中,第51个数是多少?
10、
10、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
例4:计算下面数列的和
3+7+11++99
分析:3,7,11,,99是公差为4的等差数列,项数=(99-3)÷4+1=25
解:原式=(3+99)×25÷2=1275
例5:求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,和=(25+142)×40÷2=3340。
分析:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了2×1+2×2++2×10=2×(1+2++10)=2×55=110(只)。加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
解:综合列式为:
(3-1)×(1+2++10)+3
计算等差数列的和,可以用以下关系式:
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
例1:计算下列数列的和
(1)1,2,3,4,5,,100;
(2)8,15,22,29,36,,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例3:计算下面数列的和
11+12+13++31
分析:这串加数11,12,13,,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
解:原式=(11+31)×21÷2=441
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=(末项-首项)÷公差+1,末项=首项+公差×(项数-1)。
=2×[(1+10)Fra Baidu bibliotek10÷2]+3
=113(只)
课后练习:
1、求下列等差数列的和。
(1)6+7+8+9+……+74+75
(2)2+6+10+14+……+122+126
(3)1+2+3+4+……+2007+2008
2、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项?
3、
4、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。
随堂小练:
(1)求等差数列:1、3、5、7、9……它的第21项是多少?
(2)求等差数列:2、6、10、14、18……它的第60项是多少?
(3)
例6:已知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项?
分析:第2项比首项多1个公差,第3项比首项多2个公差,第4项比首项多3个公差……,那第n项比首项多(n-1)个公差。可根据,项数=(末项-首项)÷公差+1进行计算,(35-2)÷3+1=12。所以,这个数列共有12项。
分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等,由此可知,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。
解:(1)最大三角形面积为(1+3+5++15)×12=[(1+15)×8÷2]×12=768(平方厘米)
2)火柴棍的数目为3+6+9++24=(3+24)×8÷2=108(根)。
答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。
例8:盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?
四年级等差数列求和
第3讲:等差数列求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:1+2+3+4++99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98==49+52=50+51。
由此可知:项数=(末项-首项)÷公差+1
随堂小练:
(1)有一个等差数列:1、3、5、7、9……99,这个等差数列共有多少项?
(2)
(3)有一个等差数列:2、5、8、11……101,这个等差数列共有多少项?
(4)
例7:在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米(2)整个图形由多少根火柴棍摆成
5、求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少?
6、
7、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?
8、
9、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项第50项是多少
10、
11、求1——99个连续自然数的所有数字的和。
12、
8已知等差数列5,8,11…,求出它的第15项和第20项。
(3)
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2
随堂小练:
计算等差数列1,3,5,7,9,,99的和
例2:计算下面数列的和
1+2+3++1999
分析:这串加数1,2,3,,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得
解:原式=(1+1999)×1999÷2=1999000
9、按照1、4、7、10、13…,排列的一列数中,第51个数是多少?
10、
10、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
例4:计算下面数列的和
3+7+11++99
分析:3,7,11,,99是公差为4的等差数列,项数=(99-3)÷4+1=25
解:原式=(3+99)×25÷2=1275
例5:求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
解:末项=25+3×(40-1)=142,和=(25+142)×40÷2=3340。
分析:一只球变成3只球,实际上多了2只球。第一次多了2只球,第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后,多了2×1+2×2++2×10=2×(1+2++10)=2×55=110(只)。加上原有的3只球,盒子里共有球110+3=113(只)。
解:综合列式为:
(3-1)×(1+2++10)+3
计算等差数列的和,可以用以下关系式:
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
例1:计算下列数列的和
(1)1,2,3,4,5,,100;
(2)8,15,22,29,36,,71。
其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例3:计算下面数列的和
11+12+13++31
分析:这串加数11,12,13,,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。
解:原式=(11+31)×21÷2=441
在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系,可以得到项数=(末项-首项)÷公差+1,末项=首项+公差×(项数-1)。
=2×[(1+10)Fra Baidu bibliotek10÷2]+3
=113(只)
课后练习:
1、求下列等差数列的和。
(1)6+7+8+9+……+74+75
(2)2+6+10+14+……+122+126
(3)1+2+3+4+……+2007+2008
2、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项?
3、
4、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列的第一个数(第一项)叫首项,最后一个数(最后一项)叫末项,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是一个不变的数,这样的数列叫做等差数列,这个不变的数则称为这个数列的公差。