旋转体体积公式
旋转体体积公式定积分
旋转体积积分的公式：V=π∫[a，b]f(x)^2dx。
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为点A'，那么这两个点叫做旋转的对应点。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动：
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变。
④旋转中心是唯一不动的点。
⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度。
旋转体体积公式推导
旋转体体积公式推导旋转体是一种常见的几何体，其形状可以通过在平面图形绕某个轴线旋转得到。
如何求出一个旋转体的体积呢？下面，我们将通过推导旋转体体积公式来回答这个问题。
一、圆柱体的体积圆柱体是最简单的旋转体，其直径为d，高为h，其体积可以通过以下公式求出：V=πr²h其中r=d/2，代入可得：V=π(d/2)²h=πd²h/4二、圆锥体的体积圆锥体是由一个圆锥面和一个底面直径相等的圆所形成的旋转体。
其底面半径为r，高为h，其体积可以通过以下公式求出：V=1/3πr²h三、球的体积球是由绕某一条直径旋转所形成的旋转体，其体积可以通过以下公式求出：V=4/3πr³四、圆环的体积圆环是由一个圆绕其不同于圆心的轴线旋转所形成的旋转体，其外径为R，内径为r，高为h。
其体积可以通过以下公式求出：V=πh(R²-r²)五、推广到一般情况对于一般的旋转体，可以通过将其划分成无数个圆环，然后分别求出每个圆环的体积，并将这些体积累加，得到最终的旋转体体积。
当我们将每个圆环的高度取得足够小，取极限时，就可以得到以下的积分公式：V=∫2πr f(x)dx其中，f(x)为旋转曲线在x处的高度，r为旋转曲线到旋转轴线的距离，积分的区间为旋转曲线上所有的x值。
通过这个公式，我们可以求出各种复杂形状的旋转体体积，例如螺旋线、双曲线等等。
以上就是旋转体体积公式的推导过程。
通过这些公式，我们可以很方便地求出各种旋转体的体积，对于物理、数学等领域的学习和工作都非常有帮助。
积分求旋转体体积公式
积分求旋转体体积公式
积分求旋转体体积公式是用于计算通过旋转曲线或曲面而形成的立体图形的体积的公式。
该公式是通过对曲线或曲面的积分计算得出的，具体公式如下：
1. 对于曲线绕 x 轴旋转：
V = π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲线的起点和终点，f(x) 表示曲线在 x 坐标上的高度。
2. 对于曲线绕 y 轴旋转：
V = π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲线在 y 轴上的起点和终点。
3. 对于曲面绕 x 轴旋转：
V = 2π∫a^b[(f(x))^2]dx
其中，a 和 b 分别为曲面的起点和终点，f(x) 表示曲面在 x 坐标上的高度。
4. 对于曲面绕 y 轴旋转：
V = 2π∫c^d[(f(y))^2]dy
其中，c 和 d 分别为曲面在 y 轴上的起点和终点。
需要注意的是，当计算体积时，应根据具体情况选择合适的公式，并注意积分边界和被积函数的正确表达式。
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旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式
标题：旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式概述旋转体体积公式是数学中的重要概念，它用于计算由曲线或曲面旋转产生的立体图形的体积。
在这篇文章中，我们将重点讨论旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的具体公式及推导过程。
一、绕x轴旋转体积公式当曲线y=f(x)在x轴的区间[a,b]上绕x轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vx可由以下公式计算：Vx = π∫[a,b] f(x)² dx其中，π为圆周率。
推导过程：为了推导该公式，我们可以将曲线y=f(x)绕x轴旋转一周后，得到不同x处的截面面积πf(x)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线y=x²，要计算其在区间[0,1]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vx = π∫[0,1] x^4 dx = π/5二、绕y轴旋转体积公式当曲线x=g(y)在y轴的区间[c,d]上绕y轴旋转一周时，所形成的旋转体的体积Vy可由以下公式计算：Vy = π∫[c,d] g(y)² d y推导过程：同样地，为了推导该公式，我们可以将曲线x=g(y)绕y轴旋转一周后，得到不同y处的截面面积πg(y)²。
然后利用定积分的性质，将这些截面面积相加，即得到旋转体的体积公式。
举例说明：假设我们有曲线x=y²，要计算其在区间[0,1]上绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
根据公式，我们可以得到Vy = π∫[0,1] y^4 dy = π/5总结通过本文的讨论，我们可以得出绕x轴和绕y轴旋转体积的计算公式，并了解到其推导过程。
这些公式在数学和工程领域有着广泛的应用，能够帮助我们计算由曲线旋转产生的立体图形的体积，具有重要的理论和实际意义。
为了更深入地理解旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的推导过程，我们可以进一步探讨不同类型曲线的旋转体积公式，并应用这些公式解决实际问题。
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式推导
旋转体体积公式绕x轴和绕y轴的公式推导绕X轴旋转体体积公式推导：
1. 先在平面直角坐标系中，根据函数y=f(x)的图像，将其绕x轴旋转得到一个旋转体。
2. 将这个旋转体分割成无数个薄片，每个薄片的厚度为Δx，半径为
f(x)。
3. 计算出每个薄片的体积：ΔV = π[f(x)]²Δx
4. 把所有薄片的体积加起来就得到了整个旋转体的体积：V = ∫[a,b]
π[f(x)]²dx
其中，a,b分别为函数y=f(x)在X轴上的两个交点。
绕Y轴旋转体体积公式推导：
1. 先在平面直角坐标系中，根据函数x=f(y)的图像，将其绕y轴旋转得到一个旋转体。
2. 将这个旋转体分割成无数个薄片，每个薄片的厚度为Δy，半径为
f(y)。
3. 计算出每个薄片的体积：ΔV = π[f(y)]²Δy
4. 把所有薄片的体积加起来就得到了整个旋转体的体积：V = ∫[c,d] π[f(y)]²dy
其中，c,d分别为函数x=f(y)在Y轴上的两个交点。
注意事项：
1. 所有绕轴旋转体的体积公式都是通过对无数个薄片的体积进行加和求得的，因此需要进行极限运算。
2. 在确定绕轴旋转体的体积公式时，需要先明确旋转的轴，以及被旋转的曲线方程。
3. 为了准确计算体积，需要确保被旋转的曲线在旋转时完整无缺，并且在旋转轴上的交点明确可见。
绕y轴旋转体体积公式两种形式
绕y轴旋转体体积公式两种形式绕y轴旋转体的体积公式是求解由曲线和y轴旋转形成的立体体积的公式。
在数学中，我们可以使用两种不同的形式来表示绕y轴旋转体的体积公式，分别是定积分形式和壳体积分形式。
一、定积分形式当我们有一个曲线y=f(x)，在x轴上的积分区间为[a, b]时，我们可以使用定积分来表示绕y轴旋转体的体积。
根据定积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx其中，π表示圆周率，∫[a, b]表示积分区间，f(x)表示曲线上任意一点的纵坐标。
通过对曲线在x轴上的积分，我们可以得到绕y轴旋转体的体积。
二、壳体积分形式除了定积分形式，我们还可以使用壳体积分形式来表示绕y轴旋转体的体积。
壳体积分形式通常适用于一些无法通过定积分形式直接求解的情况。
当我们有一个曲线x=g(y)，在y轴上的积分区间为[c, d]时，我们可以使用壳体积分来表示绕y轴旋转体的体积。
根据壳体积分的公式，绕y轴旋转体的体积V可以表示为：V = 2π∫[c, d] g(y) h(y) dy其中，2π表示圆周率的倍数，∫[c, d]表示积分区间，g(y)表示曲线上任意一点的横坐标，h(y)表示该点到y轴的距离。
通过对曲线在y轴上的积分，我们同样可以得到绕y轴旋转体的体积。
绕y轴旋转体的体积公式不仅可以通过数学公式来表示，也可以通过立体图形的理解来加深我们对于体积公式的理解。
通过对绕y轴旋转体的两种不同形式的体积公式的探讨，我们可以更全面、深入地理解这一数学概念。
总结回顾通过以上的讨论，我们可以看出，绕y轴旋转体的体积公式有两种主要的表示形式，分别是定积分形式和壳体积分形式。
在求解绕y轴旋转体的体积时，我们可以根据具体情况选择适合的公式并灵活运用。
通过深入理解这两种形式的体积公式，我们可以更灵活地运用数学知识解决实际问题。
个人观点和理解在我看来，绕y轴旋转体的体积公式是数学中一个非常重要且有趣的概念。
旋转体体积绕y轴公式推导
旋转体体积公式推导
已知旋转体体积公式为 V = πr²h，其中 r 为旋转体底面半径，h 为旋转体高度。
现在我们要推导绕 y 轴旋转的旋转体体积公式。
假设旋转体底面半径为 r，高度为 h，绕 y 轴旋转角为θ。
首先，将旋转体底面半径 r 和高度 h 分别展开成 x 和 y 的函数。
底面半径 r 可以表示为 r(x) = √(x² + y²)，而高度 h 可以表示为 h(y) = f(y)。
旋转体的体积 V 可以表示为对 x 和 y 的积分：
V = ∫(πr²h) dx dy
其中，r² = x² + y²，h = f(y)。
将 r²和 h 的表达式代入体积公式中，得到：
V = ∫(π(x² + y²)) f(y) dx dy
为了计算这个积分，我们采用极坐标系。
设 x = ρcosθ，y = ρsin θ。
代入上述积分中，得到：
V = ∫(π(ρcos²θ + ρsin²θ)) f(ρsinθ) ρcosθ dρ dθ
其中，dρ = dx dy，dθ = dx/ρ。
化简得到：
V = ∫(πρ²cos²θ) f(ρsinθ) dρ dθ
这个公式就是绕 y 轴旋转的旋转体体积公式。
积分旋转体体积公式
积分旋转体体积公式
对于曲线y=f(x)，当该曲线绕x轴旋转时，其旋转体的体积V 可以用以下公式表示：
V = π∫[a, b] f(x)^2 dx.
其中，a和b是曲线在x轴上的交点，π是圆周率。
同样地，如果曲线是由x=g(y)给出的，并且绕y轴旋转，那么旋转体的体积V可以用以下公式表示：
V = π∫[c, d] g(y)^2 dy.
其中，c和d是曲线在y轴上的交点。
这个公式的推导涉及到微积分的知识，主要是通过将旋转体切割成无限小的圆柱体，并对这些圆柱体进行求和来得到体积。
这个公式的应用范围非常广泛，涵盖了许多不同类型的曲线和旋转体。
通过积分旋转体体积公式，我们可以精确地计算出由各种曲线
旋转而成的立体体积，这为我们在物理、工程、建筑等领域的实际问题提供了重要的数学工具。
因此，掌握和理解这个公式对于数学学习和实际应用都具有重要意义。
旋转体的体积公式绕y轴
一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；
一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；
前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式
后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式
或
V=Pi* S[x(y)]^2dy
S表示积分
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x
该圆环柱的高为f(x)
所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx
扩展资料：
若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。
相应的切线方程为
T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。
如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。
星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。
在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。
旋转体体积的一个积分公式
旋转体体积的一个积分公式
根据旋转体体积的定义，其体积定义为一个为半径r（r是任意人物）圆环的宽度，两点长度为2πr的曲线截面被旋转2π角度的体积，所以
可以将旋转体体积的积分公式写成如下的形式：
体积V= 2πr ∫c {r² cosθ } dθ
其中，r是半径，θ是旋转轴的角度，c是曲线横轴上的一点。
该积分可以用著名的“旋转体积定理”来求解，根据定理可以写出：
V = 2π ∫c {r² Sinθdθ }
即把曲线横轴上的一点作为旋转轴，将另一点作为圆周上一点，以半
径r旋转2π角度，计算出旋转体体积。
积分最后得出：
V =πr³
因此，可以得出旋转体体积的积分公式是：
V = 2πr ∫c {r² cosθ } dθ = πr³。
旋转体体积公式参数方程形式
旋转体体积公式参数方程形式在咱们的数学世界里，旋转体体积公式的参数方程形式就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。
先来说说啥是旋转体。
想象一下，你手里拿着一根曲线，然后让它绕着某条轴快速地转起来，形成的那个像立体玩具一样的东西，就是旋转体啦。
比如说，把一个半圆绕着它的直径旋转一周，就得到了一个球。
那旋转体体积公式的参数方程形式到底是啥呢？这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
比如说有个曲线，它的参数方程是 x = f(t) ，y = g(t) ，然后让它绕着 x 轴旋转。
这时候，旋转体的体积公式就是V = π∫[g(t)]²f'(t) dt ，积分的上下限根据参数 t 的取值范围来确定。
给大家举个例子吧。
有一次我在课堂上给学生们讲这个知识点，就拿一个简单的抛物线 y = x²来说。
咱们假设它的参数方程是 x = t ，y =t²。
那按照公式，绕 x 轴旋转一周得到的旋转体体积就是V = π∫(t²)² dt 。
当时啊，好多同学都一脸懵，觉得这也太难了。
我就一点点引导他们，从最基本的积分运算开始，一步一步地算。
有个同学特别可爱，一直皱着眉头，嘴里还念念有词，我走过去一听，原来他在小声地重复着公式和步骤，特别认真。
经过一番努力，大家终于算出了结果，那一刻，教室里充满了兴奋和成就感的气氛。
其实在生活中，旋转体体积的计算也有很多用处呢。
比如说，工厂里生产一个旋转形状的零件，工程师就得知道它的体积，才能确定材料的用量。
再比如，建筑设计师在设计一些独特的旋转造型建筑时，也得通过计算体积来保证结构的合理性和稳定性。
学习旋转体体积公式的参数方程形式，虽然过程可能有点曲折，但当你真正掌握了它，就会发现数学的世界真是奇妙无穷。
就像我们在探索的道路上，虽然会遇到困难，但只要坚持不懈，总能找到那把打开知识宝库的钥匙。
所以啊，同学们，别害怕数学中的难题，只要咱们用心去学，都能把它们拿下！。
旋转体的体积公式
旋转体的体积公式
旋转体的体积公式：v=(α+β+γ)。
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
1，绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
2，绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
^因为π∫f(x)^2dx 等于∫πf(x)^2dx,这里面πf(x)^2是面积元素，
设一点（x0,y0) πf(x)^2也就是πr^2,表示f(x0)在围绕x轴旋转一周后所形成的圆的面积，πf(x0)^2再乘以dx也就是πf(x)^2dx则表示体积元素，表示在以f(x0)为半径以一个很小的dx为高的的一个很小的圆柱的体积，然后再积分即
∫πf(x)^2dx，即表示旋转体（绕x轴）的体积。
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x；
则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，
该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x；
该圆环柱的高为f(x)；
所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x则函数绕y轴旋转，围成一个个圆柱环，圆柱环切开可以看成一个个宽为△x，长为2πx，高为y的长方体，所以旋转体积等于一个个长方体体积之和，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)。
定积分求旋转体体积公式
定积分求旋转体体积公式
定积分求旋转体体积公式是V=∫π[4a²-（2a-y）²]dx，定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限，这里应注意定积分与不定积分之间的关系。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
例题
求由x轴与y=lnx，x=e所围图形绕x=e旋转一周所得旋转体的体积。
解：
你可能没搞明白这种计算方法的实质含意。
其运算原理是
这样的：在旋转体上距y轴的距离
为x处取一厚度为dx，旋转半径为(e-x)的薄壁园筒，园筒的高度y=lnx；此薄壁园筒的微体
积dV=2π(e-x)lnxdx；故总体积V：
【在你的计算式中，只有园筒的高度和厚度，没有旋转半径，因此算出来的是你画阴影线的截面的面积，而不是该面积绕轴x=e旋转出来的体积，所以是错的。
】。
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在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记忆。
本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。
一.基本概念1.质量空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。
我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。
由于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。
我们可以用长度来表示线的质量，用面积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。
这就像，一堆小米的粒数是有限但不可数的。
尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两就行了。
关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的质量之和（质量公理）。
2.位量和重心构成空间图形的点，都有各自的位置。
在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。
我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和，称为该图形的位量；把构成空间图形的所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的位置。
显然，位量=重心*总点数。
用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成.W=Z*P（1）关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公理）。
3.旋转基图旋转面和旋转体可统称为旋转形体。
用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，我们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。
旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的面。
二.平面图形的位量和重心要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心的方法：1.形状规则图形的重心是它的几何中心。
如圆，正多边形，中心对称图形等。
2.轴对称图形的重心在它的对称轴上3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总和。
常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形：（抱歉，因发帖数量不够，无法上传示意图）（1）直线段直线段的重心是它的中点（2）圆弧线如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积，即W=h*R。
（3）三角形面三角形面的重心是三个顶点的平均位置，即重心到参考线的距离等于三个顶点分别到参考线距离的平均值。
（4）弓形面如图2，圆心在位置参考线上，弓弦与参考线平行的弓形面的位量，是弦长立方的十二分之一，即W=a*a*a/12。
如图3，弓弦与参考线不平行的弓形面，可以看作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得，它的位量还与旋转的角度有关。
即W=cosθ*a*a*a/124.如果一个图形的位量是W0，质量是P，则当它的重心改变了Z△后，其位量变为W=W0+Z△*P三.旋转形体质量计算的万能公式在旋转基图中，以旋转轴作为位置参考线，则基图的位量，重心和质量可以分别表示为Wj，Zj，Pj。
已知，圆周长等于半径的2π倍，据此可以推导出旋转形体质量计算的统一方法。
定理：旋转形体的质量，等于它的基图位量的2π倍。
证明：如图4，旋转基图由有限但不可数的许多空间点构成，它们到旋转轴的距离分别为r1,r2,r3,......,rn。
每个点经旋转一周后，都形成一条圆周线，旋转形体由所有圆周线构成。
根据质量公理，旋转形体的质量，就是所有圆周线质量的总和。
即P旋=2πr1+2πr2+2πr3+...2πrn=2π*(r1+r2+r3+...rn)=2π*Wj=2π*Zj*Pj(证毕)四.应用举例（抱歉，因发帖数量不够，无法上传例题示意图）例1.如何理解圆周长公式？答：圆周线是最简单的旋转形体，基图是一个点，其质量是1，它到旋转轴的距离是半径R，所以C=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*1*R=2πR例2.求半径为r的圆的面积。
解：圆可以看作是最简单的旋转形体之一，基图是半径，质量为r，重心为r/2，所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*r/2=π*r*r例3.求半径为r，高为h的圆柱的侧面积和体积。
解：圆柱侧面的基图是一条线段，长度为h，重心距旋转轴为r，所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π *h*r圆柱体的基图是一个矩形面，面积为h*r，重心距旋转轴为r/2，所以V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*h*r*r /2=π*h*r*r例4.求底半径为r，高为h，母线长为l的圆锥的侧面积和体积。
解：圆锥侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为r/2，所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*r/2=π*l*r圆锥体的基图是一个三角形面，质量为S=r*h/2，重心距旋转轴为r/3，所以V=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*r*h/2 *r/3=1/3 *π*r*r*h例5.求上底半径为r1，下底半径为r2，高为h，母线长为l的圆台的侧面积和体积。
解：圆台侧面的基图是一条线段，长度为l，重心距旋转轴为（r1+r2）/2，所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*l*（r1+r2）/2=π*l*（r1+r2）圆台体的基图是一个梯形面，它可以分解成两个三角形面，所以V=2πWj=2π(W1+W2)=2π{[r1*h/2 *(r1+0+0)/3 ]+[r2*h/2 *(r1+r2+0)/3]}=2π*h/6 *(r1*r1+r1*r2+r2*r2)=π/3*h*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)例6.求半径为r的圆球体的表面积和体积。
解：圆球面的基图是一条半圆弧线，圆球体的基图是一个半圆形面，所以S=2πWj=2π*2r*r=4π*r*rV=2πWj=2π*(2r*2r*2r/12)=4/3 *π*r*r*r例7.求球半径R，底半径为r，高为h的球缺的侧面积和体积。
解：球缺的侧面是球冠，基图是一条圆弧线；球缺体的基图可以分解成一个弓形面和一个三角形面，弓形面的位量为W=cosθ*a*a*a/12=(r*r+h*h)*h/12,所以S=2πWj=2π*h*RV=2πWj=2π*(W三角形+W弓形)=2π*[r*h/2*r/3+(r*r+h*h)*h/12] =2π*h/12* （2r*r+r*r+h*h）=π/6*h*(3r*r+h*h)由于R*R--r*r=(R--h)*(R--h)r*r=2Rh--h*h,所以V=π/6*h*(3r*r+h*h)=π/3*h*h*(3R--h)例8.求球半径R，上，下底半径分别为r1，r2，高为h的球台的侧面积和体积。
解：球台的侧面是球带，基图是一条圆弧线；球台体的基图可以分解成一个弓形面和一个梯形面，所以S= 2πWj=2π*h*RW（弓形面）=1/12*[（r2-r1)*（r2-r1)+h*h]*hW（梯形面）=h/6*(r1*r1+r1*r2+r2*r2)V= 2πWj=2π[W（弓形面）+W（梯形面）]=π*h/6*(3r1*r1+3r2*r2+h*h)例9.在一个球体上过圆心车了一个长度为a圆柱形孔洞，求剩余部分的体积。
解：本题用传统方法非常棘手，因为只有孔洞长度这一个条件。
但用万能公式却是再简单不过。
球体剩余部分的基图是一个弦长为a的弓形面，所以V= 2πWj=2π*a*a*a/12=π*a*a*a/6例10.求圆x↑2+(y-a)↑2=b↑2绕X轴旋转所成几何体的表面积和体积解：旋转所成的几何体是个环。
在传统立体几何教材中，环体作为复杂图形不介绍其表面积和体积计算，但在万能公式法中，环体却是最简单的形体之一。
环体表面的基图是闭合的圆周线，质量是其周长，重心是其圆心；环体的基图是个圆面，质量是其面积，重心也是其圆心；所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*2πb*a=4π*π*a*bV=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*π*b*b*a=2π*π*a *b*b例11.求边长为a的正六边形绕一边旋转所成几何体的表面积和体积。
解：传统方法是通过割补成圆柱，圆锥，圆台来计算，非常麻烦，尤其当多边形的边数很多时。
用万能公式法则非常简单。
图形中心即是其重心，边心距k=3开平方/2*a，所以S=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*6a*k=12π*a*kV=2π*Wj=2π*Zj*Pj =2π*(6a*k/2)*k=6π*a *k*k严格说，旋转所成几何体表面的基图只有5条边，且不闭合，需补一条边才能成为正六边形线框，但因补上的这条边恰在旋转轴上，位量为0，不影响整个基图的位量，所以可以用正六边形线框作为基图。
在计算圆柱表面积时，也可以采用同一思路。
例12.半径为R的圆周被长度为a的弦分成两段弧，求这两段弧分别绕弦旋转所成形体的表面积解：如果两段弧长度不等，则所成形体分别为柠檬形和苹果形。
劣弧可看作是圆心原在旋转轴上的弧朝旋转轴方向平移后所得，移动距离为弦心距k=(2R*2R-a*a)开平方后再/2，弧长l=2R*arcsin(a/2R),所以W（劣弧）=2π*R*a--l*kS1=2π*W（劣弧）又因为整个圆周的位量为W=2π*R*k，且两段弧分居参考线两侧，位量正负相反，所以W（优弧）=W--[--W（劣弧）]=2π*R*k+W（劣弧）S2=2π*W（优弧）=4π*π*R*k+S1用类似办法还可以求出上述两种形体的体积，而在传统立体几何中，表面积和体积计算必须使用微积分。
....................上面12例介绍了常见旋转形体的侧（表）面积和体积计算，万能公式的应用当然不止这些。
万能公式把对立体图形的分析变成了对平面图形的分析，因而更清晰，简单。
只需记住一个公式，便可解决所有旋转形体的计算问题（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。