高斯列主元素消去法(满秩)
高斯主元素消去法
|
记l ik
若 l k 交换第k行与l行的所有对应元素，再 进行顺序消元。
框图
高斯列主元消去法
(1)输入：aij (i, j 1,2,...,n),bi (i 1,2,...,n) (2)对k 1,2,...,n 1, 做
1)选列主元：| aikk
|
max |
k in
aik
|, 记l
ik ,即全ຫໍສະໝຸດ 元消去法2、第k步消元： 1）假设第k步选主元时得
a(k) ik jk
max
ki; jn
|
a(k) ij
| ；l
ik ;t
jk
如果l k,交换k行 l行;
t k,交换k列 t列; z(k) z(t)
2)顺序消元
全主元消去法
3、求方程组的解 理顺解： b1 x(z(1)), b2 x(z(2)), bn x(z(n))
增加数组 x(n) : 则x(z(i)) bi (i 1,2,..., n)
例如: z(1) 1, z(2) 2, z(3) 3 做 j 1 j 3 Z (1) Z (3) 这时z(1) 3, z(3) 1, z(2) 2，其解 x(z(1)) x(3) b1；x(z(2)) x(2) b2； x(z(3)) x(1) b3。
T akj ; akj alj；alj T ; 20 T bk ;bk bi；bi T ; 4)对i k 1,...,n做
10
aik
lik
aik
/
a
；
kk
20 bi bi lik bk；
30
对j
k
1,...,n做aij
aij
lik
a
；
5.1高斯消去法
转化为等价的（同解）的三角形方程组。 转化为等价的 (同解)的三角方程组. b x b x b x g 12 2 1n n 1 11 1 b 2 n x n g b 22 x 2 2 b nn x n g n
称消元过程，逐次计算出 x n , x n 1 , , x1 称回代过程。
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 22 66 x3 5 5
高斯（Gauss）消去法
元法 目标 一般方程组 消 三角形方程组
上三角方程组的一般形式是：
a11 x1 a12 x 2 .............................. a1n x n b1 a 22 x 2 ............................. a 2 n x n b2 ....................................... .. a n 1n 1 x n 1 a n 1n x n bn1 a nn x n bn 其中a ii 0 ( i 1,2,......, n)
线性方程组的概念（续）
如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0，则该方程组有唯一解。 求解Ax = b，曾经学过高斯（Gauss）消元法， 克莱姆（Cramer）法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。
Gauss 消去法计算过程分析
高斯列主元消去法求线性方程
MATLAB 高斯列主元消去一． 高斯列主元消去法的算法过程对于线性方程组AX=b ，A 为n*n 矩阵：（1）Step1——在增广矩阵（A ，b ）第一列中找到绝对值最大的元素，将其所在行与第一行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第一行第一列的系数 为1，且第一列其它系数都为0.Step2——在增广矩阵（A ，b ）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第二行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第二行第二列的系数为1，且第二列中第二行以下的系数都为0. Step3——在增广矩阵（A ，b ）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值 最大的元素，将其所在行与第三行交换，再对（A ，b ）做初等行变换使原方程组的第三行第三列的系数为1，且第三列中第二行以下的系数都为0。
重复此过程…….（2）如果增广矩阵的秩为n ，则可以将增广矩阵的前n 列化为主对角线都为1的矩阵； 如果增广矩阵的秩为m<n ，则可以将增广矩阵的前m 行m 列矩阵化为主对角线 都是1的矩阵，m 行后的系数均为0；如果增广矩阵的前n 列的秩不等于增广矩 阵的秩，此时方程组无解。
（3）接下来，通过初等变换把对角线上每个1所对应的列上的其他元素变为0，就可以得到增广矩阵的最简阶梯型。
这时可以容易得到最简阶梯型对于方程组的解，即得到方程组的解。
二． 算法的流程图三．运行结果(1)随机生成增广矩阵(6*7)：C =-94 -89 -41 88 83 -57 -1441 70 -27 -30 -82 93 43-67 -24 -31 -62 -49 -14 8318 -21 26 83 -15 56 7821 -35 32 -43 15 5 -7454 11 98 10 79 -34 -77方程组的解为：x =-811/542554/10151329/1117521/628-1763/1053-673/4428检查结果：Right result!>>(2)随机生成增广矩阵(6*7)：C =78 -42 24 86 68 -43 830 -54 60 -81 11 -97 -44-92 -60 -80 19 67 40 -520 -24 45 -54 -60 90 -4378 18 29 -94 24 49 92-23 -47 -6 15 -66 51 -54 方程组的解为：x =1421/1429417/650-557/592-413/1529253/304964/1123检查结果：Right result!>>四．各个重点步骤的设计方法或注意事项生成增广矩阵时，对生成0到1之间的随机数进行变换：C=floor(200*rand(n,n+1)-100)求方程组的唯一解时，对第i列做初等变换前，应该注意找出首非零元绝对值最大的一行，并与第i行进行交换。
(7) 列主元高斯消去法的实现
列主元高斯消去法是一种用于解线性方程组的经典算法，其实现过程包括主元选取、互换行、消元和回代等步骤。
本文将从理论基础、算法描述、实现步骤和代码示例等方面介绍列主元高斯消去法的实现方法，希望可以帮助读者更好地理解和掌握这一算法。
一、理论基础列主元高斯消去法是求解线性方程组的一种经典方法，其基本思想是通过逐步消去未知数，最终得到方程组的解。
在实际应用中，通常将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后通过主元选取、互换行、消元和回代等操作，逐步将增广矩阵转化为阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵，最终获得方程组的解。
列主元高斯消去法的关键在于主元的选取，通过选取适当的主元可以避免出现数值不稳定的情况，从而提高求解的准确性和稳定性。
二、算法描述列主元高斯消去法的基本算法描述如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式2. 从第一行开始，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换3. 通过第一个主元，将当前列下方的元素消为零，得到一个新的增广矩阵4. 重复以上步骤，直到得到一个阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵5. 利用回代的方法，求解得到线性方程组的解三、实现步骤基于上述算法描述，可以将列主元高斯消去法的实现步骤总结如下：1. 主元选取：对于当前列，在所有未处理的元素中选择绝对值最大的元素作为主元，并将其所在行与当前行交换2. 互换行：如果选取的主元为零，则需要考虑互换行的操作，以避免出现除零错误3. 消元：利用当前列的主元将下方的元素消为零4. 回代：通过阶梯形矩阵或行阶梯形矩阵进行回代，求解得到线性方程组的解在实现列主元高斯消去法时，需要注意处理数值计算中可能出现的特殊情况，如零主元和除零错误等，并进行合理的异常处理。
四、代码示例下面是列主元高斯消去法的简单实现代码示例，该示例使用Python 语言编写：```pythonimport numpy as npdef gauss_elimination(A, b):n = len(b)for i in range(n):pivot = ifor j in range(i+1, n):if abs(A[j, i]) > abs(A[pivot, i]):pivot = jA[[i, pivot]] = A[[pivot, i]]b[[i, pivot]] = b[[pivot, i]]for j in range(i+1, n):factor = A[j, i] / A[i, i]b[j] -= factor * b[i]A[j] -= factor * A[i]x = np.zeros(n)for i in range(n-1, -1, -1):x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]return x```以上代码示例实现了列主元高斯消去法的求解过程，通过调用该函数可以求解给定的线性方程组。
高斯列主元素消去法
}
main()
{floata[N][N+1]={{0.101,2.304,3.555,1.183},{-1.347,3.712,4.623,2.137},{-2.835,1.072,5.643,3.035}};//方程组系数
float x[N],max,m,*c,*d;
int k=0,q=0,n=N,i,j;
for(k=0;k<n && q==0;k++)
{
max=max_value(a,n,k);
if(max==0) q=1;
else
{ if(I!=k)
{
for(j=k;j<n+1;j++)
{
c=&a[I][j];
d=&a[k][j];
change(c,d);
}
}
for(i=k+1;i<n;i++)
{
{ float max;
int i;
max=a[k][k];
for(i=k+1;i<n;i++)
if(max<a[i][k])
{
max=a[i][k];
I=i;
}
return(max);
}
void change(float *p,float *q)
{
float temp;
temp=*p; *p=*q; *q=temp;
}
printf("得到的结果如下：\n");
for(i=0;i<n;i++)
printf(" x[%d]=% 6.4f\n",i+1,x[i]);
高斯列主元消去法
如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，现选取ri a )(n r i ≤≤中绝对值最大的元素，设为第j 行的元素ji a ，把矩阵的第i 行和第j 行互换，这时ii a 变为ji a ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii ki a a （k 代表行号），依次进行消元。
Gauss 列主元消去法的算法步骤如下：将方程组写成以下的增广矩阵的形式：⎪⎩⎪⎪⎨⎧43212423222114131211............n n n n a a a a a a a a a a a a对k=1，2，3,...,n-1,令∑==nks sk pk a a max ；交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1，k+2，...,n,计算kk jkkm jm jm a a a a a ⋅-=（m=看，k+1，...，n ）kk jkk j j a a b b b ⋅-=算法结束。
三角分解法程序如下：建立相应的M 文件，其函数名为LU,程序如下：function y=LU(A,B);n=length(A);A=[A B];for k=1:n-1;for i=k:n;if (abs(A(i,k))==max(abs(A(k:n,k)))) P(k)=i;temp=A(k,:);A(k,:)=A(i,:);A(i,:)=temp;endendfor j=k+1:n;A(j,k)=A(j,k)/A(k,k);A(j,k+1:n+1)=A(j,k+1:n+1)-A(j,k)*A(k,k+1:n+1);endendP(n)=n;L(1,1)=1;L(2:n,1)=A(2:n,1);L(1,2:n)=0;U(1,1)=A(1,1);U(2:n,1)=0;U(1,2:n)=A(1,2:n);for i=2:n;L(i,1:i-1)=A(i,1:i-1);L(i,i)=1;L(i,i+1:n)=0;U(i,1:i-1)=0;U(i,i:n)=A(i,i:n);endx(n) = A(n,n+1)/U(n,n);for k = n-1:-1:1x(k)=A(k,n+1);for p=n:-1:k+1;x(k) = x(k)-U(k,p)*x(p); endx(k)=x(k)/U(k,k);endxLUPend在程序命令行输入：a=[0.101 2.304 1.5355;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183,2.137,3.035]';LU(a,b)运行结果为：x =3.1160 -1.1960 2.3305 L =1.0000 0 00.4751 1.0000 0-0.0356 0.7313 1.0000 U =-2.8350 1.0720 5.64300 3.2027 1.94180 0 0.3359 P =3 2 3。
列主元素消去法
列主元素消去法列主元素消去法（Gauss-Jordan 消元法）是一种线性代数中常用的消元方法，用于求解线性方程组的解。
这种方法的基本思想是，将线性方程组的增广矩阵通过一系列的初等变换，化为一个阶梯矩阵或行简化阶梯矩阵，从而得到线性方程组的解。
具体步骤如下：构造增广矩阵，即将系数矩阵和常数矩阵组合成一个矩阵。
将增广矩阵转化为一个上三角矩阵（也叫阶梯矩阵）。
反向消元，将阶梯矩阵转化为一个行简化阶梯矩阵。
根据简化矩阵求解方程组。
这种方法的优点是计算简单、容易理解，且可避免误差的积累。
但是，如果矩阵的规模较大，运算量会很大，计算时间较长。
此时可以使用更高效的算法，如LU分解、QR分解等。
假设有一个 $n$ 个未知量和 $n$ 个方程的线性方程组，可以写成矩阵形式如下：$Ax = b$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的系数矩阵，$x$ 是一个 $n \times 1$ 的未知量向量，$b$ 是一个 $n \times 1$ 的常数向量。
为了求解 $x$，可以将方程组的增广矩阵表示如下：$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$ 其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
高斯选主元消去法.ppt
1 0 r3 2 r20
2/3 0
1 1/2
0 1
1 1/2
2 / 3 3 0 2 r2
0 1 0 0
3/2 1/2
0 3/2 1 1/2
2 1 0
5
r1 3 r2
1 5/ 3 2 0 0 1/ 3
1 0 1/ 2 0 5/ 2 2
1 0 2/ 3 1 0 1 2/ 3 3 0 1 3/ 2 0 3/ 2 1
0 1
r1
r3
2 1
4 2
5 3
0 1
1 1 5/ 3 2 0
1 0 0
0 0
1/3
m31
1 3
1
m32 2
2 r2 3 r1
1 r3 3 r1
0 0
1
2/3 1/3 5/3
101 110
2/3
2 / 3 1 0 1 2/ 3 1/ 3 1 1 0 1/ 3
yn yi
bn (bi
/ ann
n
aij y j ) / aii
j i 1
(i n 1,,2,1)
优点 该方法数值稳定( mi k 1). 缺点 工作量大. 改进方法 列主元消去法，且此时mi k 1.
4.2 列主元素消去法
设已完成第1步~第k-1步计算，得到与原方程组等价的方程组
)第k列与第jk列元素;
1,, n)
bi bi mik bk (i k 1,, n)
二、 回代求解
a11 a12 a1n y1 b1
经过上述过程，方程组约化为
a22
a2n
y2
b2
ann
yn
数值分析4 高斯主元素消去法
§2高斯主元素消去法⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++=++00.357.404.100.200.224.563.200.100.100.200.10120.0321321321x x x x x x x x x 解：clear alla=[0.0120 1.00 2.00;1.00 2.63 5.24;-2.00 1.04 4.57]; b=[1.00;2.00;3.00];x=a\b方程组的三位有效数字的解：Tx )266.0,476.0,645.0(*-=Gauss 消去法求解(取三位有效数字)：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-==00.300.5003.811627.80000.100.200.10120.016432916603.811627.80000.100.200.10120.000.357.404.100.200.224.563.200.100.100.200.10120.006.21673.83323121l l l b A 解出Tx )60.0,197.0,25.0(--≈。
【注】1）设Ax=b,其中A 为n 阶非奇异矩阵，可以应用高斯消元法。
2）消元过程中，即使0)(≠k kk a ，用其作除数)/()()(k kk k ik ik a a l =会导致计算中间结果数量级严重增长和舍入误差的累积、扩大，最后使得计算结果不可靠。
3)应避免采用绝对值很小的主元素)(k kk a ；对一般的系数矩阵，最好保持乘数1≤ik l ，因此，在高斯消去法中应引进选主元技巧，以便减少计算过程中舍入误差对求解的影响。
clear alla=[0.0120 1.00 2.00;1.00 2.63 5.24;-2.00 1.04 4.57]; b=[1.00;2.00;3.00];x_value=vpa(a\b,15)%10位有效数字的近似解a=[a,b];eps=1e-6;[n,m]=size(a);Gauss,x=vpa(x,15) %对比高斯消去法的结果一、列主元素消去法基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数（即消元因子）1≤ik l步骤：设已进行k-1轮消元，得矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)(k nn k nkk kn k kkn kn kk a a a a a a a a a a a A一落千丈 1 23Ｓ１：选列主元素： )()(0max k ik ni k k k i a a ≤≤= (1)Ｓ２：换行：如果)(0k k i a →０，则方程组解不唯一，停止运算； 否则，如果i0=k ， 则可进行下一轮消元；如果k i ≠0，则r i0 r k ，然后进行下一轮消元。
列主元素高斯消去法
实验报告题目：列主元素高斯消去法学生姓名陈玉霞学号20111325015学院信息与控制学院专业信息工程（系统工程方向）指导教师殷传洋2013 年11 月18日一、实验目的（1）掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤；（2）培养编程与上机调试能力。
二、实现功能本程序采用GAUSS列主元消去法求解线性方程组。
AX=b.其中A为N阶矩阵，X，b均为N围列向量。
三、算法描述高斯消去法基本思路设有方程组Ax=b，设A是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵B [A b]，将其中的A变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
四、实验内容X1-0.5*X2+1.5*X3=0.5X2-0.25*X3=0.5X3=-6五、实验步骤(1) 写出增广矩阵A;(2) 选主元;(3) 判断是否奇异;(4) 交换对应行元素;(5) 消元;(6) 回代,计算出X[1], X[2], X[3].六、代码# include<stdio.h># include<math.h># define delta 1e-6#define N 100void main(){int i,j,t,r,n,u,c=0;float p,L,max,s;float X[N];float a[N][N+1];printf("请输入方程的阶数\n"); scanf("%d",&n);printf("输入的原方程系数,中间用空格隔开\n"); for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n+1;j++)scanf("%f",&a[i][j]);printf("方程系数为\n");for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n+1;j++){printf("%.2f ",a[i][j]);if(j==n) {printf("\n");}}}for(j=0;j<n-1;j++){{max=fabs(a[j][j]);r=j;}for(i=j+1;i<n;i++)if(fabs(a[i][j])>max){max=a[i][j];r=i;}if(fabs(a[i][j])<delta)printf("矩阵奇异");for(t=j;t<n+1;t++){} p=a[j][t]; a[j][t]=a[r][t]; a[r][t]=p; } for(i=j+1;i<N;i++) { L=a[i][j]/a[j][j]; for(t=j;t<n+1;t++) a[i][t]=a[i][t]-L*a[j][t]; }printf("输出原方程的解为：\n");X[n-1]=a[n-1][n]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){s=a[i][n];for(j=i+1;j<n;j++)s=s-a[i][j]*X[j];X[i]=s/a[i][i];}for(u=0;u<n;u++)for(j=0;j<n+1;j++){printf("%12f",a[u][j]); c++;if(c%(n+1)==0) printf("\n");}for(i=0;i<n;i++){printf("x(%d)=%.4f\n",i+1,X[i]); if(i==n-1)printf("\n");}}七、实验结果八、实验体会从实验中，我学会了很多，首先要弄懂高斯消去法的原理和计算步骤,使我更加了解Gauss列主元素消去法的实质，掌握了新知识的同时,也为以后的学习打下一个好的基础。
列主元高斯消去法算法流程图讲解
列主元高斯消去法算法流程图讲解下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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gauss列主元素消去法matlab
高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。
在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。
一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。
这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。
在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。
通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。
二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。
该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。
除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。
通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。
三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。
通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。
然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。
在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。
四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。
通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。
列主元高斯消去法
列主元高斯消去法简介
【示例范文仅供参考】
---------------------------------------------------------------------- 列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法，列主元素消去法计算基本上能控制舍入误差的影响。
其基本思想是：在进行第k(k=1,2,...,n-1)步消元时，从第k列的akk 及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素akk的位置上，再进行消元。
列主元消去法仅需矩阵行的交换，因此不发生未知数排列次序的调换。
而全主元消去法则要花费相当多的时间选取主元，且还需记录系数矩阵列交换信息。
其原理是在高斯消去法的消元过程中第k步要求除以akk,为了防止除数为零或除数太小造成的误差过大的问题，在消元开始是先将该列最大元（绝对值）所在行移到消元第一行在除akk，然后消元。
列主元消去法虽然和高斯消去法原理一样，但是列主元消去法可以减小舍入误差，精度比较高，是解决小型稠密矩阵的一个较好的算法。
而高斯消去法虽然编程简单，但是计算量大，而且对于两个相近的解时由于舍入误差的存在，使得结果误差很大。
§7.3 Gauss主元素消去法
1 1 2 0 1 1
109 9 10
9 9 1 10 10 例： 2 1 1
1 0
109 109
注意：这两个方程组 在数学上严格等价。
x2 1 , x1 0
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1 2 1
1 2 0 1 1 1
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
1515
第七章 解线性方程组的直接方法
1 0 0 . 8 0. 4 1 0 .5 0 .5 0 .5 0 1 0.6 0.2 0 2.5 1.5 0.5 1.2 0 0 0. 4 0 1 .5 0 .5 1 .5
用顺序Gauss消去法计算：
8个 a 22 1 l 21 1 0.0 ...01 10 9 10 9 10 9
l21 a21 / a11 109
10 9 1
b2 2 l21 1 109
1 1
1 1 1 10 9 9 9 2 0 10 10 小主元 可能导致计 算失败。 x2 1, x1 0
1919
4 4
© 2009, Henan Polytechnic University §3 Gauss主元素消去法
第七章 解线性方程组的直接方法
7.3.1 列主元消去法
第一步：从第一列中选出绝对值最大的元素作为
主元素：
a11 max ai 1
2.3高斯列主元消去法(可编辑修改word版)
2.3 高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到某个主元等于 0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当某个主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有 n 元线性方程组如下：⎛a11 a1n ⎫⎛x1⎫⎛b1 ⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪＝ ⎪n1 ⎪ ⎪ ⎪ nn n na a x b⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭x 1x 2 . x n-1 x na a . . a a a . . . a a a . . . a a a . . . a I I i1 1 ij ij i1 1j 22i2 2222 2n a a . . . a k a x ) / a 2、第一步：如果 a 11!=0, 令l i1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第 i 个方程上,得同解方程组：(1) (1) (1) 11 12 1n (1) (1) (1) 21 22 2n. . . . . .(1) (1) (1) n-11 n-12n-1n(1) (1) (1) n1 n2 nn(1) 1 (1) 2 = . n-1 (1)n简记为：A (2) x = b (2)其中a (2) = a (1) – l * a (1), I ,j =2,3,..,n b (2) = b (1) – l * b (1),I = 2,3,...,n 第二步：如果 a (2) != 0,令 l i2= a （2） /a （2）, I= 3,……,n 依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：(1) (1) (1) 11 12 1n0 a (1). . . a (1) . . . . . .=(n-1)n-1n(n) nn简记为：A (n) x = b (n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：X n = b (n) / a (n) X i = ( b (k) - ∑ (k)(k) kj j kk以上为高斯消去法的基本过程。
高斯列主元消去法
问题提出：采用高斯列主元消去法解线性方程组。
算法（公式）推导：高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。
如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ，然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以ii kj a a （k 代表行号），依次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。
高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下:1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 432144434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==nk s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行；对j=k+1,K+2,……..,n,计算*km jkjm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n)kk jk k j j a a b b b *-=算法结束。
3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；B：线性方程组中的常数向量；x：线性方程组的解：XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。
高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示：4.其中用到上三角矩阵求解函数：在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)其中，A ：线性方程组的系数矩阵；b ：线性方程组中的常数向量； X ：线性方程组的解；上三角系数矩阵求解函数用MATLAB 实现如下所示：高斯按列主元消去法解线性方程组应用实例：用高斯按列主元消去法求解下列线性方程组的解。
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，在求解大规模线性方程组时具有较高的数值稳定性和计算效率。
该方法的基本思想是，通过选取主元来消除非主元系数的影响，以减小计算误差。
具体步骤如下：
1. 首先将线性方程组的系数矩阵进行列选主元，即对每一列选取绝对值最大的元素所在的行，然后将该行与第一行交换位置。
2. 对于第一列，将选取的主元所在行除以主元的值，使主元变为1。
3. 利用第一行的主元，通过消去操作将其他行的第一列元素变为零。
具体操作是，对于每一行，将该行与第一行乘以适当的倍数后相减，使得第一列元素为零。
4. 重复以上步骤，对第二列以及其后的列重复进行列选主元和消去操作，直到系数矩阵变成上三角矩阵。
5. 根据上三角矩阵进行回代求解，从最后一行开始，依次代入已求解的变量值，计算出未知数的值。
需要注意的是，在进行列选主元时，要注意避免主元为零或接近零的情况，以免造成计算错误或数值不稳定性。
列选主元高斯消去法可以有效地提高线性方程组的求解精度和计算效率，特别适用于存在较大数值差异或特殊矩阵结构的情况。
然而，在某些情况下，该方法可能会导致数值不稳定性或计算量较大，因此在实际应用中需综合考虑问题的特点和求解需求，选择合适的方法。
解线性方程组-高斯消去法列主元
6
1
3 3 1
1 3 1
15 15 6
A
0
b0
l21 12 18,.l31 1 18 ,消元得
18 0 0
3 1 1.1667
1 2.3333 0.9444
15
18
5 交换第2,3行 0
5.1667
0
1 2 4
1 3 1
6 5
11
A1
b1
1 第二次消元: l32 2 ,消元得 0
0
1 2 0
1 3 7
6 5
21
A 2
b
2
回代过
程: x3 21 7 3 , x2 5 3x3 2 2, x1 6 x2 x3 1 1。
例:
用顺序消去法求解方程组:
x1 x2 x3 6 x1 3x2 2x3 1
。
5x1 x2 4x3 19
1
解: A b 1
5
1 3 1
1 2 4
6 1 19
A0
b
0
1 第一次消元: l21 1, l31 5 ,消元得 0
对于i 2, 3, , n 做
li1 ai10 a110
: ai11 0
对于j 2, 3, , n 做
aij1
aij0
l
i
1a1
0
j
bi1 bi0 li1b10
计算流程
高斯主元素消失法
第二节高斯主元素消去法问题的提出：由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现=0的情况, 这时消去法将无法进行；即使主元素≠0，但很小时，用其作除数,会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散, 最后也使得计算解不可靠。
引例求解方程组用4位浮点数进行计算。
解：方法1用高斯消去法求解。
其中计算解为:显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。
方法2交换行，避免绝对值小的主元做除数。
得计算解为：x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)T≈x*.这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时,小主元可能产生麻烦,故应避免采用绝对值小的主元素a 。
对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低价矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性, 这就是全主元素消去法, 在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法。
本节主要介绍列主元消去法,并假定(2.1)的A∈R n×n为非奇异的。
1. 列主元素消去法设方程组（2.1）的增广矩阵为：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如:|ai1,1|= max |ai1|≠0，1≤i≤n然后交换B的第一行与第i1行，经第一次消元计算得(A|b)→(A(2)|b(2) )重复上述过程,设已完成第k-1步的选主元素,交换两行及消元计算，(A|b)约化为:(2. 2)其中A(k)的元素仍记为aij ，b(k)的元素仍记为bi。
第k步选主元素(在A(k)右下角方阵的第一列内选)，即确定ik，使交换(A(k) |b(k) )第k行与ik列的元素，再进行消元计算,最后将原方程组化为(k=1，2…，n-1):回代求解2. 高斯-若当消去法高斯消去法始终是消去对角线下方的元素,现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当(Gauss—Jordan)消去法。
通过选主元，消元等过程最终化为：说明：用高斯-若当方法将A约化为单位矩阵,计算解就在常数位置得到,因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大,但用高斯—若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。
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实验课程：数值分析引论实验项目：高斯列主元素消去法（满秩）
姓名：XXX学号：2015080401XX班级：XXX班专业：数学与应用数学
指导教师：XX完成日期：2017/12/20
实验目的
1、高斯列主元素消去法（满秩）的matlab实现
2、用高斯列主元素消去法（满秩）计算。
>> b=[-2;1;0];
>> [ A1,y] = Gauss_list(A,b)
A1 =
6.0000 2.0000 3.0000
0 1.6667 -1.5000
0 0 -0.6667
y =
3.0000 2.0000 1.0000
1.6000 -2.0500 -2.5000
方程组的计算解为
总结
（1）使用此高斯列主元素消去法（满秩）程序只能解解唯一的方程组程序不完美；
%第五章P234最高斯列主元素消去法（满秩）
A=[A,b];
m=size(A,1);
n=size(A,2)-1;
%判断方程组是否有唯一解
if rank(A)~=n
fprintf('此方程组解不唯一，请使用其他函数进行解答\n')
elseif rank(A)==n
%判断约化次数
if m==n
s=n-1;
并结束
5.判断约化次数
1)若m=n转3）
2)若m>n转4）
3)s=n-1
4)s=n
6.对于
1)按列选取主元素
1确定 使
2
2)约化：对于
1
7.回代求解
1）
2）
8.输出A1,y
主要程序代码
function [ A1,y] = Gauss_list(A,b)
%请输入m*n矩阵A、m*1矩阵b,其中A为方程组系数矩阵,b为常数值；
实验内容：
一、高斯列主元素消去法（满秩）
问题分析和算法设计
高斯列主元素消去法（以P234为例）
设 ，其中 ，本算法求采用具有行交换的列主元素消去法解方程组，消元结果覆盖A,乘数 覆盖 ，解存放在y中（当有唯一解时），行列式存放在A1。
1.输入：
2.
3.若RANK(A)<n
转到4
否则转到5
4.输出：此方程组解不唯一，请使用其他函数进行解答
else
s=n;
end
for i=1:1:s
%按列选取主元素
k=max(A([i:m],i));
for j=i:1:m
if A(j,i)==k
aj=A(j,:);
ai=A(i,:);
A(i,:)=aj;
A(j,:)=ai;
break
end
end
%约化
%bi=zeros(m-i,1);
Bi=zeros(m,n+1);
elseif i==n
y(2,n)=b1(n)/A(n,n);
end
end
end
end
运行结果和总结
运行结果
例5：
用高斯列主元素消去法解方程组（书上出错，所解方程组与例题不一致，故给出两种解法）
1
>>clear
>>clc
>> A=[6,2,2;2,2/3,1/3;1,2,-1];
>> b=[-2;1;0];
>> [ A1,y] = Gauss_list(A,b)
A1 =
6.0000 2.0000 2.0000
0 1.6667 -1.3333
0 0 -0.3333
y =
3.0000 2.0000 1.0000
2.6000 -3.8000 -5.0000
方程组的计算解为
2
>>clear
>>clc
>>A=[6,2,3;2,2/3,1/3;1,2,-1];
bi=A([i+1:m],i)./A(i,i);
Bi([i+1:m],:)=bi*A(i,:);
A=A-Bi;
end
A1=A([1:n],[1:n]);
y1=n:-1:1;
y=zeros(2,n);
y(1,:)=y1;
b1=A([1:n],n+1);
for i=n:-1:1
if i~=n
y(2,i)=(b1(i)-sum(A(i,[i+1:n]).*y(2,[i+1:n])))/A(i,i);
（2）注意按列选取主元素时应将整行都替换。
1