列主元素Gauss消去法Jacobi迭代法原理及计算方法

一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法
1. 列主元素Gauss 消去法：
1.1 Gauss 消去法基本原理
设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。

高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。

1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤
将方程组用增广矩阵[]()(1)ij
n n B A b a ⨯+== 表示。

1). 消元过程
对1,2,,1k n =-
(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i n
a a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。

(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。

(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算
.ij ij ik kj a a l a =-
2). 回代过程
(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。

(2) ,1/;n n n nn x a a +=
对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
∑
2. Jacobi 迭代法
2.1 Jacobi 迭代法基本原理
Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。

从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.
(1)输入1,,,,)0(=k n x
b A ε，. (2) )(1,1)0()
1(∑≠=-=n j i i j ij i ii
i x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，
)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。

二、 实例
⎪⎩⎪⎨⎧==+=++6018-4-310-7-166********
2121n n n x x x x x x x x x
进行列主元Gauss 消去法和Jacobi 迭代法进行计算（Matlab）
1. 列主元素Gauss 消去法程序及结果
A=[10 4 3;6 16 -7;3 -4 -18];b=[16;-10;60]; %方程参数
Ab=[A,b]; %构造增广矩阵
[m n]=size(Ab); %求增广矩阵维数
x=zeros(m,1); %定义通解0
for i=1:1:m-1
absAb=abs(Ab); %对第i 次的增广矩阵取绝对值
mx=absAb(i,i);p=i;
for j=i+1:1:m
if absAb(j,i)>mx
p=j; %取第i 次的增广矩阵的第i 列后m-i+1 个元素中第一个绝对值最大
的元素所在的位置
end
end
temp=Ab(i,:);Ab(i,:)=Ab(p,:);Ab(p,:)=temp; %交换增广矩阵Ab 的第i 行和第i 列中绝对值最大元素所在行
for k=i+1:1:m
Ab(k,:)=Ab(k,:)+Ab(i,:)*(-Ab(k,i)/Ab(i,i)); %将交换后的增广矩阵Ab 的后m-i 行消
元
end
end
%回带求解
x(m)=Ab(m,n)/Ab(m,m);
for l=m-1:-1:1
x(l)=(Ab(l,n)-Ab(l,1:m)*x)/Ab(l,l);
end
x %显示结果
计算结果(小数点后10位) [3.3738441215, -2.8276089828, -2.1426684280]
format long
A=[10 4 3;6 16 -7;3 -4 -18];b=[16;-10;60]; %方程参数
D=diag(diag(A)); %取矩阵A 的对角线元素构造矩阵D
M=inv(D)*(D-A); %构造矩阵M
evalue=eig(M); %求矩阵M 的的特征值
r=max(abs(evalue)) %求矩阵M 的谱半径，若r<1,则Jacobi 迭代法对于此方程对于任意初始向量都收敛
error=0.000001; %定义终止误差条件
x0=[0;0;0]; %定义初始向量
x1=inv(D)*((D-A)*x0+b); %用迭代法求解
n=1; %用n 记录迭代次数%迭代求解
while max(abs(x1-x0))>error
x0=x1;
x1=inv(D)*((D-A)*x0+b);
n=n+1;
end
x1 %显示结果
n %显示迭代次数
计算结果(小数点后10位) [3.3738443859, -2.8276090662,-2.1426680769]，迭代次数17。

3. 结果分析
列主元素Gauss消去法求得的结果是方程组的精确解, Jacobi迭代法的结果为近似解。

本例Jacobi迭代法中error设置为0.000001，其计算迭代次数为17次，计算结果与Gauss消去法计算结果的差为[-0.0000002644, 0.0000000834, -0.0000003511]。

当提高精度时(即减小error值)，需要更多的迭代次数(计算时间)。

对于实时测量与分析来说，在达到精度要求情况下，需要尽量提高测量与分析速度。

对于离线数据分析，考虑到数据的实际物理含义，在时间充裕的前提下，提高计算精度要求有利于对数据的处理分析。