高斯赛德尔迭代法
高斯赛德尔法
的系数矩阵A可逆且主对角元素都不为零，令
)
并将A分解成
A = (A D) + D
Dx = (D A)x + b 从而方程可以写成 x = B1 x + f1 令 B = I D A, f = D b 其中
1 1 1 1
以 B 为迭代矩阵的迭代法 称为雅克比迭代法。
1
x ( k +1) = B1 x ( k ) + f1
(k ) 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x 的全部分量 ( k +1 ) ( k+1) x i 时，已经算出最新的 来计算 x 的 所有分量 , 显然在计算第i个分量 分量，但没被利用。因此，将最新算出来的第k+1次近似加以利用，就 得到了高斯赛德尔迭代法。 A = D L U 将矩阵A分解成 其中 D = diag ( a11 ,a 22 ,..., a nn ) ， L ,U 是A的主对角除外的下三角 和上三角部分，于是有 (D L )x = Ux + b
ρ 是迭代矩阵的谱半径（B0中绝对值最大的特征值的绝对值）
首先取 α =1.5，迭代若干次后，有 式中： 为第k 次迭代的节点电压与该节 点前次迭代值的差值的绝对值 U ( m ) U ( m 1) 为所有节点中差值绝对值最大的 ∞ Bso为加速迭代矩阵 再有
U ( m ) U ( m 1)
将上式带入最佳加速因子公式得到近似最佳加 速因子 α 。
x = B2 x + f 2 即 B = (D L ) U , f = (D L ) 其中 以 B2 为迭代矩阵的迭代法 x ( k +1) = B2 x ( k ) + f 2 称为高斯-赛德尔迭代法。
高斯—塞德尔迭代法
上式至少有一个不等号严格成立。
*定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优 或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。
定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列) 对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都 收敛。
高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…,
三、逐次超松驰(SOR)迭代法
SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…,
说明:1)ω=1,GS; 2)ω>1超松驰,ω<1低松驰;
3)控制迭代终止的条件: 例3 用上述迭代法解线性代数方程组
初值x(0)=0，写出计算格式。
四、三种迭代法的收敛性
定理7 对线性方程组Ax=b，A，D非奇异，则 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 GS迭代法收敛的充要条件是 SOR迭代法收敛的充要条件是 定义6 （1）按行严格对角占优：
证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可
则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征 值λ使得|λ|≥1，并且
类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不
可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ 的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且
定理10 对线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则 1）GS迭代法收敛. 2）若2D-A也是对称正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛。
例8 见书上
定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则
当0<ω<2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ<1（其中λ为Lω的任一特征值） .
matlab高斯赛德尔迭代法
标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。
高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。
本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。
二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。
给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。
迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。
三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。
下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。
1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。
在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。
2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。
通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。
3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。
在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。
四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。
假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。
数值分析中的高斯-赛德尔迭代法-教案
数值分析中的高斯-赛德尔迭代法-教案一、引言1.1背景介绍1.1.1数值分析在现代科学和工程中的应用1.1.2高斯-赛德尔迭代法在解决线性方程组中的重要性1.1.3迭代法的基本概念和分类1.1.4高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的比较1.2教学目标1.2.1理解高斯-赛德尔迭代法的数学原理1.2.2学会应用高斯-赛德尔迭代法解决实际问题1.2.3掌握高斯-赛德尔迭代法的编程实现1.2.4分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和效率1.3教学方法1.3.1采用理论讲解与实践操作相结合的方式1.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段1.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答1.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点二、知识点讲解2.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理2.1.1线性方程组的迭代解法概述2.1.2高斯-赛德尔迭代法的迭代公式2.1.3高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式2.2高斯-赛德尔迭代法的应用2.2.1高斯-赛德尔迭代法在电路分析中的应用2.2.2高斯-赛德尔迭代法在热传导问题中的应用2.2.3高斯-赛德尔迭代法在流体力学中的应用2.2.4高斯-赛德尔迭代法在经济模型中的应用2.3高斯-赛德尔迭代法的实现2.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤2.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现2.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化2.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍三、教学内容3.1高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析3.1.1收敛性的定义和判定条件3.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛速度3.1.3收敛性分析的理论基础3.1.4收敛性分析的实例演示3.2高斯-赛德尔迭代法的效率分析3.2.1计算效率的定义和评价指标3.2.2高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的效率比较3.2.3影响高斯-赛德尔迭代法效率的因素3.2.4提高高斯-赛德尔迭代法效率的方法3.3.1案例一：电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.2案例二：热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.3案例三：流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用3.3.4案例四：经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式4.1.2学会使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题4.1.3能够编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码4.1.4能够分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力4.2.2培养学生运用迭代法解决实际问题的能力4.2.3培养学生进行数学实验和数据分析的能力4.2.4培养学生进行团队合作和交流讨论的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数值分析的兴趣和热情4.3.2培养学生的科学精神和创新意识4.3.3培养学生严谨治学和精益求精的态度4.3.4培养学生的国际视野和跨文化交流能力五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式5.1.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.1.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.1.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.2教学重点5.2.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式5.2.2高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析5.2.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试5.2.4高斯-赛德尔迭代法在实际问题中的应用5.3教学策略5.3.1采用案例教学法和问题导向教学法5.3.2利用多媒体和板书相结合的教学手段5.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答5.3.4通过案例分析和作业练习巩固知识点六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体投影仪和计算机6.1.2白板和彩色粉笔6.1.3高斯-赛德尔迭代法的PPT课件6.1.4高斯-赛德尔迭代法的程序代码和软件工具6.2学具准备6.2.1笔记本电脑和编程软件6.2.2数值分析教材和相关参考书籍6.2.3高斯-赛德尔迭代法的案例分析和作业练习6.2.4小组讨论和问题解答的场地和设备6.3教学资源准备6.3.1高斯-赛德尔迭代法的在线课程和视频教程6.3.2高斯-赛德尔迭代法的学术论文和研究成果6.3.3高斯-赛德尔迭代法的软件工具和程序库6.3.4高斯-赛德尔迭代法的实际应用案例和项目七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入数值分析和高斯-赛德尔迭代法的背景7.1.2提出问题和挑战，激发学生的兴趣和好奇心7.1.3回顾迭代法的基本概念和分类7.1.4阐述高斯-赛德尔迭代法的重要性和应用领域7.2知识讲解7.2.1详细讲解高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式7.2.2通过实例演示高斯-赛德尔迭代法的应用和计算过程7.2.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率7.2.4讲解高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试技巧7.3实践操作7.3.1分组进行高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试7.3.2通过案例分析和作业练习巩固知识点7.3.3引导学生进行小组讨论和问题解答7.3.4提供反馈和指导，帮助学生提高编程能力和问题解决能力7.4.2引导学生对高斯-赛德尔迭代法的理解和应用进行反思7.4.3提供进一步学习和研究的建议和资源7.4.4鼓励学生参与相关的学术活动和项目实践八、板书设计8.1高斯-赛德尔迭代法的基本原理和迭代公式8.1.1高斯-赛德尔迭代法的迭代公式8.1.2高斯-赛德尔迭代法的矩阵形式8.1.3高斯-赛德尔迭代法的收敛条件8.1.4高斯-赛德尔迭代法的计算步骤8.2高斯-赛德尔迭代法的应用案例8.2.1电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.2热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.3流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用8.2.4经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用8.3高斯-赛德尔迭代法的编程实现和调试8.3.1高斯-赛德尔迭代法的算法步骤8.3.2高斯-赛德尔迭代法的编程实现8.3.3高斯-赛德尔迭代法的程序调试与优化8.3.4高斯-赛德尔迭代法的软件工具介绍九、作业设计9.1基础练习题9.1.1编写高斯-赛德尔迭代法的程序代码9.1.2使用高斯-赛德尔迭代法解决线性方程组问题9.1.3分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和计算效率9.1.4比较高斯-赛德尔迭代法与其他迭代法的优缺点9.2案例分析题9.2.1分析电路分析中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.2分析热传导问题中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.3分析流体力学中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.2.4分析经济模型中的高斯-赛德尔迭代法应用案例9.3扩展阅读与思考题9.3.1阅读相关的学术论文和研究成果9.3.2思考高斯-赛德尔迭代法的改进和优化方法9.3.3探索高斯-赛德尔迭代法在其他领域的应用9.3.4分析高斯-赛德尔迭代法在并行计算中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1反思教学内容的组织和讲解方式10.1.2反思学生的参与度和学习效果10.1.3反思教学方法和策略的有效性10.1.4反思教学资源和材料的适用性10.2拓展延伸10.2.1探索高斯-赛德尔迭代法的进一步研究和应用10.2.2学习其他数值分析方法和算法10.2.3参与相关的学术活动和项目实践10.2.4拓宽国际视野，了解数值分析的前沿动态重点关注环节的补充和说明：1.高斯-赛德尔迭代法的数学原理和迭代公式的讲解，确保学生理解并掌握基本概念。
高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法
将A分裂成A =L+D+U，则 Ax b 等价于
( L+D+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux (k) b
x(k1) (D L)1Ux (k) (D L)1b
数值计算方法
高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
1.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的 迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，
即在求
x (k 1) i
时用新分量
x1( k
1)
,
x
(k 2
1)
,,
x (k 1) i 1
代替旧分量
x1(
k
)
,
x1(k
x
(k 2
1) 1)
( x2(k ) x3(k ) (2x1(k1)
1) / 8 x3(k) 4) /10
x3(k
1)
( x1(k 1)
x (k 1) 2
3) / 5
取初始迭代向量 x(0) (0 ,0 ,0)T ,迭代结果为：
1.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
令 G1 (D L)1U , d1 (D L)1b
则高斯-塞德尔迭代形式为：
x (k 1) G1 x (k ) d1
1.3 高斯—塞德尔迭代算法实现
高斯-塞德尔迭代算法的计算步骤与流程图与
雅可比迭代法大致相同，只是一旦求出变元 xi
的某个新值
后, x (k1) i
就改用新值
gauss伪谱法
gauss伪谱法
高斯伪谱法（Gauss-Seidel method）是一种迭代法，用于求解线性方程组的近似解。
这种方法基于将连续优化问题转化为离散优化问题，然后使用离散化方法进行求解。
在离散化过程中，通过将连续优化问题转换为一系列离散的子问题，可以使用高斯-赛德尔迭代法进行求解。
高斯-赛德尔迭代法的原理是将原方程组转化为等价的迭代格式，并不断迭代直到收敛。
在每一次迭代中，首先使用已知的解来更新未知量，然后将更新的解代入方程组中进行下一轮迭代。
这个过程不断重复，直到满足一定的收敛条件为止。
高斯伪谱法通过将连续优化问题转换为离散优化问题，可以利用离散化方法的高效性和精度，同时保持了一定的通用性和灵活性。
该方法适用于多种不同类型的优化问题，包括线性规划、二次规划、非线性规划等。
高斯-赛得尔迭代法
0
则
L~ D 1L, U~ D1U
于是 I L~ D1D D1L D1(D L) (3 16)
7
解线性方程组的迭代法
x(k1) (I L~)1U~x(k ) (I L~)1 g I L~ D1D D1L D1(D L) L~ D 1L, U~ D1U
将式(3-16)代入式(3-15)得
b1n xn(k)
g1
x2(k
1)
b x (k1) 21 1
b23x3(k) L
b x (k 2n1 n1
)
b2nxn(k)
g2
M
x (k1) n
b x (k1) n1 1
bn2x2(k1)
bn3x3(k1)
L
b x (k1) nn1 n1
gn
(3 13)
p4
2
解线性方程组的迭代法
b2n xn(k )
g2
M
x (k 1) n
bn1x1(k )
bn2 x2(k )
bn3 x3(k )
L
bnn
1xn
( 1
k
)
gn
其中
bij
aij aii
,
gi
bi aii
(i j,i, j 1, 2,L , n),
(i 1, 2,L , n).
(3 12)
1
解线性方程组的迭代法
因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，要同时保留
即每算出新近似解的一个分量
x , ( k 1) i
再算下一个
x 分量
x(k 1) i 1
时，用新分量
x(k 1) i
代替老分量
(k ) i
进行计算。这样，在整个计算过程中，只需用n个
雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述
雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的算法描述一. 雅克比迭代法雅克比迭代法（Jacobi Iteration）是计算数值解的一种迭代方法，它遵循一个简单的步骤：给定问题的初始值，按照一定的规则，用求出某一个矩阵元素，替换当前值，得到下一个矩阵值，重复这个步骤，直到满足某一个条件，即为所求解的结果。
雅克比迭代法求解矩阵问题的一般步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|；（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j≠i)[a(i, j)x(j)])/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。
二. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）是另一种迭代方法，算法的基本思想也是：通过迭代，计算出当前矩阵的第i行第j列的元素xi；然后更新第i行第j列元素的值，继续迭代，直到某种条件满足，即可求出矩阵的解。
高斯-赛德尔迭代法的基本步骤为：（1）给定初始矩阵A和右端值矩阵B，将第i行第j列的元素表示为aij，bi；（2）第i行其它元素之和定义为s(i) =∑(j≠i)|a(i, j)|，亦即∑|aij|;（3）如果s(i)不等于0，则第i行第i列元素的值更新为xi=1 (b(i) ∑(j<i)[a(i, j)x(j)]∑(j>i)[a(i,j)x(j)] )/a(i, i)（4）重复步骤3，直到满足|X(i)X(i)|＜ε（ε为设定的误差），此时x即为所求解的结果。
总结从上面的对比来看，雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的步骤基本一致，均采用迭代的方式求解矩阵A的解X，不同的是，高斯赛德尔迭代法在更新矩阵A的第i行第i列元素时，采用把小于i的j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算，而雅克比迭代法采用把全部j元素的值替换成当前迭代求得的值来计算。
高斯-赛得尔迭代法
b12x2(k) b13x3(k)
x2(k
1)
b x (k1) 21 1
b23x3(k)
b x (k) 1n1 n1
b1n xn(k)
g1
b x( 2n1 n1
k
)
b2nxn(k)
g2
x (k1) n
b x (k1) n1 1
bn2
x (k1) 2
bn3x3(k1)
b x (k1) nn1 n1
9
解线性方程组的迭代法
例 用Gauss-Seidel迭代法求线性方程组
10x1 x2 2x3 72,
x1 10x2 2x3 83,
x1 x2 5x3 42,
x1 0.1x2 0.2x3 7.2 x2 0.1x1 0.2x3 8.3 x3 0.2x1 0.2x2 8.4
x )
x (k 1) 2
0.4x2(k )
0.7( x1(k 1)
x (k) 3
)
x (k 1) 3
0.4x3(k ) 0.7(1.8 x2(k1) )
20
解线性方程组的迭代法
x (k 1) 1
0.4x1(k )
0.7(1 x2(k) )
参数 , 误差限 , 最大容许迭代次数N.
2. 置 k 1.
3.计算
18
解线性方程组的迭代法
n
x1 (1 ) x1(0) (b1
a1
j
x(0) j
)
/
a11
j2
i 1
n
xi (1 )xi(0) (bi aij x j
aij
x
(0) j
)
/
aii
j 1
高斯-赛德尔迭代
高斯-赛德尔迭代-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12012-2013（1）专业课程实践论文高斯-赛德尔迭代张禹廷，0818180111，R数学08-1班23一、算法理论高斯-赛德尔迭代是计算)1(+k x 的第i 个分量)1(+k i x 的方法，利用了已经计算出得最新分量)1,...,2,1()1(-==+i j x k j .高斯-赛德尔迭代法可以看作雅克比迭代法的一种改进.高斯-赛德尔迭代法没迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法选取分裂矩阵M 为A 的下三角部分，即选取L D M -=（下三角矩阵），N M A -=，于是得到解b Ax =的高斯-赛德尔（Gauss-Seidel ）迭代法⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,...,1,0,,)()1()0(k f Bx xx k k 初始向量 （1）其中.)(,)()(111b L D f G U L D A L D I B ----=≡-=--=称U L D G 1)(--=为解b Ax =的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵.下面给出高斯-赛德尔迭代法的分量计算公式.记T k n k i k k x x x x ),...,,...,()()()(1)(=由（1）式有,)()()1(b Ux x L D k k +=-+或,)()1()1(b Ux Lx Dx k k k ++=++4即∑∑-=+=++=--=111)()1()1(.,...,,2,1,i j n i j k j ij k j ij i k i ii n i x a xa b x a于是解b Ax =的高斯-赛德尔迭代法计算公式为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--==∑∑+=-=++.,1,0,,2,1/)(),,(1)(11)1()1()0()0(1)0( k n i a x a x a b x x x x ii ni j k j ij i j k j ii i k iT n二、算法框图三、算法程序5#include "stdio.h"#include "math.h"# define m 3float a[m][m];float c[m];void gaosi();void main(){int i,j;float x[m],x1[m],eps[m];float s=0;float t=0;int p=1;int q=1;int k=0;float eps1;gaosi();for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){s=float(s+fabs(a[i][j])); t=float(t+fabs(a[j][i])); }q=q&&(s<2*fabs(a[i][i])); p=p&&(t<2*fabs(a[i][i]));6s=0;t=0;}if((p+q)==0)printf("ERROR!");else{for(i=0;i<=m-1;i++){x[i]=0;x1[i]=0;}do{eps1=x[0]-x1[0];for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++) s=s+a[i][j]*x[j]; x[i]=(c[i]+a[i][i]*x[i]-s)/a[i][i]; s=0;eps[i]=float(fabs(x[i]-x1[i]));x1[i]=x[i];eps1=(eps1>eps[i])eps1:eps[i];printf("x%d=%f",i,x[i]);printf("\n");}7k=k+1;}while(eps1>1e-3);printf("迭代 %d 次",k);}}void gaosi(){int i,j;float b[m*m];printf("请输入一个矩阵a：\n"); for(i=0;i<=m-1;i++){for(j=0;j<=m-1;j++){scanf("%f",&b[j+i*m]);a[i][j]=b[j+i*m];}}printf("请输入矩阵b\n");for(i=0;i<=m-1;i++)scanf("%f",&c[i]);}89 四、算法实现例1．利用高斯-赛德尔法迭代解方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-3612333311420238321321321x x x x x x x x x解：运行程序(1) 显示出 请输入一个矩阵a ：输入⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12331114238，回车。
研究生数值分析高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
迭代法的发展趋势和未来研究方向
非线性问题
将高斯-赛德尔迭代法应用于非线性问题是一个具有挑战性的方 向，也是未来研究的重要课题。
理论分析
深入分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和误差估计，为算法改进 提供理论支持。
应用领域拓展
将高斯-赛德尔迭代法应用于更多领域，如工程、物理、经济等， 解决实际问题。
谢谢观看
05
高斯-赛德尔迭代法的应 用
在线性方程组求解中的应用
01
02
03
线性方程组求解是高斯赛德尔迭代法的重要应用 之一。对于给定的线性方 程组Ax=b，高斯-赛德尔 迭代法可以用来求解x的
值。
通过迭代的方式，高斯赛德尔迭代法不断逼近 方程的解，直到满足一
定的收敛条件。
该方法在数值分析中广 泛应用于解决线性方程 组问题，具有较高的稳
高斯-赛德尔迭代法是一种直观且易 于理解的迭代方法，计算过程相对简 单，易于编程实现。
收敛速度快
对于某些问题，高斯-赛德尔迭代法可 能比其他迭代方法具有更快的收敛速 度。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
• 适用于多种线性系统：该方法适用于多种线性系统，包括 稀疏矩阵和稠密矩阵。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
松弛法(SOR方法)
总结词
松弛法是一种改进的高斯-赛德尔迭代法，通过引入松弛参数，使得迭代过程更 加灵活，提高了收敛速度。
详细描述
松弛法(SOR方法)是在高斯-赛德尔迭代法的基础上，引入了一个松弛参数，使得 迭代过程中每一步的解不仅依赖于前一步的解，还与前几步的解有关。这种方法 能够更好地处理非严格对角占优的线性系技巧通过优化迭代过程中的参数或采用其他方法， 加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度。
研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
x (k 1) 1
x (k 1) 2
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5
x3(k
1)
0.2 x1( k 1)
0.4x2(k1)
2
取迭代初值
X (0)
( x1(0)
由定理的误差估计式
X (k ) X * B k X (1) X (0) 1 B
k 1, 2,3,
可以看出， B 越小收敛速度越快，
且可用来估计迭代次数。
在例8例9中，显然 BG 比 BJ 小， 所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快。
若在例8例9中要求近似解 X (k) 的误差
5 0.9997 1.9999 2.9999
高斯-赛德尔迭代矩阵 BG 的特征方程为
10 2 1 2 10 1 0 2 5
即 (500 2 54 2) 0
解得
1
0, 2
27
1729 500
, 3
27
1729 500
于是
(BG )
BJ与BG的特征值和谱半径
i (BJ ) 0, (i 1, 2,3), (BJ ) 0 1
1(BG ) 0, 2,3 (BG ) 2, (BG ) 2 1
由定理2知，用雅可比迭代法求解，迭代过程收 敛，用高斯-赛德尔迭代法求解，迭代过程发散。
练习:考察用高斯-赛德尔迭代法解方程组 AX=b 的收敛性，其中
27 1729 500
0.1372
高斯-塞德尔迭代法
高斯-塞德尔迭代法
高斯-赛德尔迭代（gauss–seidel method）是数值线性代数中的一个迭代法，可用
来求出线性方程组解的近似值。
该方法以卡尔·弗里德里希·高斯和路德维希·赛德尔命名。
同雅可比法一样，高斯-赛德尔迭代是基于矩阵分解原理。
在数值线性代数中，gauss-seidel方法也称作liebmann方法或已连续加速度方法，
就是用作解线性方程组的运算方法。
它以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（carl friedrich gauss）和菲利普·路德维希·冯·塞德尔（philipp ludwig von seidel）命名，与雅基数排序方法相近。
高斯-赛德尔迭代法是解线性方程组的常用迭代法之一，设线性方程组为a1x1 +a2x2 +..+ cintn =b.s
(i= 1,2,,n),
高斯赛德尔迭代法的迭代公式，虽然它可以应用于对角线上具有非零元素的任何矩阵，但只能在矩阵是对角线主导的或对称的和正定的情况下，保证收敛。
在年，只在高斯给
他的学生gerling的私人信中提到。
年之前由塞德尔自行出版。
高斯赛德尔迭代矩阵
高斯赛德尔迭代矩阵高斯赛德尔迭代矩阵是一种常用的数学计算方法，可在矩阵求解的过程中提高计算效率，是数学领域中的重要类算法之一。
本文将对高斯赛德尔迭代矩阵进行全面、生动阐述，以及指导意义。
一、什么是高斯赛德尔迭代矩阵？高斯赛德尔迭代矩阵，英文缩写为GS，全称为Gauss-Seidel Iterative Matrix，又称为高斯赛德尔迭代法。
在数学计算中，经常需要求解n元线性方程组，通过高斯赛德尔迭代矩阵方法，可以将系数矩阵迭代地更新，进行求解。
二、高斯赛德尔迭代矩阵的原理高斯赛德尔迭代矩阵的求解原理，可以简单概括为如下步骤：1. 首先通过高斯消元法将系数矩阵分解得到上三角矩阵，即$A=L+D+U$，其中L为主对角线以下的矩阵，U为主对角线以上的矩阵，D为主对角线矩阵。
2. 设定初值$x_0$，然后迭代更新$x_i$，得到$x_{i+1}$。
3. 在每次迭代中，将$x_i$代入到式子（1.1）中进行求解，其中$b$为方程组右侧常数向量。
\begin{equation}(Ax=b) \Rightarrow (L+D+U)x = b\end{equation}4. 将式子（1.2）进一步转化为\begin{equation}(D+L)x_{i+1}=-Ux_i+b\end{equation}其中，$D+L$为单位下三角矩阵，此时的式子，可以快速地进行迭代求解，求解速度快。
三、高斯赛德尔迭代矩阵的优缺点高斯赛德尔迭代矩阵的优点在于，对于大规模的线性方程组求解，可以有效地降低计算量，缩短计算时间。
此外，高斯赛德尔迭代矩阵也可以用于解决其他数学问题，如求解矩阵的特征值等。
但是，高斯赛德尔迭代矩阵也存在一些缺点。
例如，无法对具有一定规律性的系数矩阵进行有效的求解，甚至会出现发散现象，即系数矩阵的条件数较大。
此外，在高维矩阵上，高斯赛德尔迭代矩阵的计算时间会随着矩阵维度的增加而呈指数级别的增长。
四、高斯赛德尔迭代矩阵的应用高斯赛德尔迭代矩阵的应用非常广泛，可以用于解决计算数学问题，如计算机视觉中的信号和图像处理、机器学习中的最小二乘问题、逆问题的求解等。
研究生数值分析12高斯 赛德尔Gauss Seidel迭代法
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
???1?02xx11??
2x2 ? 10 x2
x3 ? ? x3
3 ?
15
??? x1 ? 2x2 ? 5x3 ? 10
解：相应的高斯 -赛德尔迭代公式为
? ? ?
x (k?1) 1
高斯-赛德尔迭代公式如下：
??x1(k?1) ?
?
1 a11
(?a12x2(k)
?
a13x3(k)
?L
?
a1n
x (k) n
?
b1)
??x2(k?1) ?
?
1 a11
(?a21x1(k?1)
?
a23x3(k)
?L
?
a2n
x (k) n
?
b2
)
??L L
?
??xi(k?1) ??L L
?
1 aii
(?ai1x1(k?1)
i ?1
i? j
则方程组 AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X(0)
雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A ? [aij ]n?n 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法 都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A? [aij ]n?n 满足 定理4或定理 5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
??0.2 0.4 0 ??
BJ ? ? 0.6 ? 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯 -赛德尔迭代矩阵
?0 BG ? ??0
高斯-赛德尔迭代法
高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel method）是一种用于求解线性方程组的迭代法。
它的基本思想是每次求解一个方程的未知量，并用该未知量的解代替原方程中的未知量，然后求解下一个方程的未知量。
这样不断进行迭代，直到所有的未知量都求得精确解为止。
高斯-赛德尔迭代法的公式为：
x(k+1) = B - AX(k) + x(k)
其中x(k) 是迭代次数为k 时的未知量向量，A 是系数矩阵，B 是常数向量。
高斯-赛德尔迭代法的优点是收敛速度快，适用于各种线性方程组，并且易于实现。
但是，它也有一些缺点，例如对系数矩阵的条件有一定要求，并且当方程组的系数矩阵不满秩时可能不收敛。
希望这些信息能帮到您。
高斯—塞德尔迭代法
x(7) (3.00002 , 1.9999987 , 0.9999932 )T , ε (7)
x(7) x *
2.2 106.
AX=b.
(1.1)
低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三 角分解法)。
大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多. 如偏微方程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解 问题？ 零元素多，适合用迭代法。 我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高 斯—塞德尔迭代法，研究它们的收敛性。 例1 求解线性方程组
解线性代数方程组的迭代法
§1 引言
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
也就是
§2
考虑线性方程组
基本迭代法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 ann xn bn
也就是
Ax=b.
(2.1)
进行矩阵分裂
A=M-N,
(2.2)
其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解. 于是, Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.
可得一阶定常迭代法:
雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法
一、 向量范数
定义：设 f ( x是) Rn的一R个映射，若对
x Rn
存在唯一实数 x与之对应，且满足
非负性： x 0,x Rn 且 x 0 x 0
❖齐次性： x x ,x Rn , R
三角不等性：x y x y , x, y Rn
则称 x为 中Rn向量 的x范数。
A Rnn，存在唯一实数 A与之对应，且满足
非负性：A 0,A Rnn且 A 0 A 0
❖齐次性： A A , A Rnn , R
三角不等性： A B A B , A, B Rnn AB A B A, B Rnn
则称 A为 R中n矩n 阵 的范A数。
➢常用的几种矩阵范数： 记 A (aij )nn
非负实值 函数
➢常用的几种向量范数：
n
设
x
( x1,
x2 ,
, xn )T
1-范数： x 1
xi
i 1
❖ 2-范数：
n
x ( 2
xi2
)
1 2
(x, x)i 1 Nhomakorabea-范数：
x
max
1 i n
xi
上述3种向量范数统称为P-范数
n
x ( p
xi p ) 1 p
1 p
i 1
二、 矩阵范数
定义：设 f ( A是) Rnn的一个R映射，若对
x3(k ) ) 10
x ( k 1) 2
(5
2 x1(k1)
3x3(k) ) (10)
x ( k 1) 3
(14
x ( k 1) 1
3x2(k1) ) 10
雅克比迭代法 取初值 x (0 0 0)T