雅克比高斯赛德尔迭代法
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第八节 雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法
一 雅可比迭代法
设线性方程组
b Ax = (1) 的系数矩阵A 可逆且主对角元素nn a ,...,a ,a 22
11均不为零,令
()nn
a ,...,a ,a diag D 2211=
并将A 分解成
()D D A A +-= (2)
从而(1)可写成 ()b x A D Dx +-=
令
11f x B x +=
其中b D f ,A D I B 1
111
--=-=. (3) 以
1B 为迭代矩阵的迭代法(公式)
()()111f x B x k k +=+ (4)
称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为
⎩
⎨⎧
[]
,...
,,k ,n ,...,i x a b
a x
n
i
j j )
k (j j i i
ii
)k (i
21021111==∑-=≠=+ (5)
其中
()()()()
()T
n x ,...x ,x x 002010=为初始向量.
由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需
要两组存储单元,以存放()
k x 及()
1+k x . 例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=--2
45382102
7210321321321.x x x .x x x .x x x
解 将方程组按雅可比方法写成
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧++=++=++=8402020830201072
020*******
2321.x .x .x .x .x .x .x .x .x
取初始值
()()()()
()()T T ,,,x ,x ,x x 0000302010==按迭代公式
()()
()()()
()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=+++840202083020107202010211331
123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k
进行迭代,其计算结果如表1所示
表1
二 高斯—塞德尔迭代法
由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用()
k x
的全部分量来计算()
1+k x
的所
有分量,显然在计算第i 个分量()
1+k i x 时,已经计算出的最新分量()
()
11
11
+-+k i k x ,...,x 没有被利
用,从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此,对这些最新计算出来的第
1+k 次近似()
1+k x
的分量
()
1+k j
x 加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德(Gauss-Seidel )
迭代法.
把矩阵A 分解成
U L D A --= (6)
其中
()nn a ,...,a ,a diag D 2211=,U ,L --分别为A 的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 ()b Ux x L D +=-
即 22f x B x +=
其中
()()b L D f ,
U L D B 1
21
2---=-= (7)
以
2B 为迭代矩阵构成的迭代法(公式)
()()221f x B x k k +=+ (8)
称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为
⎩
⎨⎧[]
,...
,,k ,
n ,,i x a x a b a x
i j n i j )
k (j ij )
k (j ij i ii
)k (i
21021111111==∑∑--=-=+=++ (9)
由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出
()
1+k i
x 后()
k i
x 不再使用,所以用()
1+k i x 冲掉()
k i
x ,以便存放近似解.
例2 例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1.
解 取初始值
()()()()
()()T
T
,,,x ,x ,x x 0000302010==,按迭代公式
()()
()()()
()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=++++++840202083020107202010121113
311
123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k
进行迭代,其计算结果如下表2
从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛,而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.
三 迭代收敛的充分条件
定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛.
①
1
11
<∑
=≠=∞
n
i
j j ii
ij i
a a max B ;
②
1
11
1
<∑
=≠=n
i
j i ii
ij j
a a max B ;
③ 1
11
<∑
=-≠=∞
-n
j
i i jj
ij j
T
a a max A
D I
定理2 设
21B B ,分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则
∞
∞
≤1
2
B B (10)
从而,当
1
11
<∑
=≠=∞
n
i
j j ii
ij i
a a max B
时,高斯—塞德尔迭代法(8)收敛. 证明 由
21B B ,的定义,它们可表示成
()U L D B +=-11
()()U D L D I U L D B 1111
2-----=-=
用e 表示n 维向量()T
,...,,e 111=,则有不等式
e
B e B ∞≤11