雅克比高斯赛德尔迭代法

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第八节 雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法

一 雅可比迭代法

设线性方程组

b Ax = (1) 的系数矩阵A 可逆且主对角元素nn a ,...,a ,a 22

11均不为零,令

()nn

a ,...,a ,a diag D 2211=

并将A 分解成

()D D A A +-= (2)

从而(1)可写成 ()b x A D Dx +-=

11f x B x +=

其中b D f ,A D I B 1

111

--=-=. (3) 以

1B 为迭代矩阵的迭代法(公式)

()()111f x B x k k +=+ (4)

称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为

⎨⎧

[]

,...

,,k ,n ,...,i x a b

a x

n

i

j j )

k (j j i i

ii

)k (i

21021111==∑-=≠=+ (5)

其中

()()()()

()T

n x ,...x ,x x 002010=为初始向量.

由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需

要两组存储单元,以存放()

k x 及()

1+k x . 例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=-+-=--2

45382102

7210321321321.x x x .x x x .x x x

解 将方程组按雅可比方法写成

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧++=++=++=8402020830201072

020*******

2321.x .x .x .x .x .x .x .x .x

取初始值

()()()()

()()T T ,,,x ,x ,x x 0000302010==按迭代公式

()()

()()()

()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=+++840202083020107202010211331

123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k

进行迭代,其计算结果如表1所示

表1

二 高斯—塞德尔迭代法

由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用()

k x

的全部分量来计算()

1+k x

的所

有分量,显然在计算第i 个分量()

1+k i x 时,已经计算出的最新分量()

()

11

11

+-+k i k x ,...,x 没有被利

用,从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此,对这些最新计算出来的第

1+k 次近似()

1+k x

的分量

()

1+k j

x 加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德(Gauss-Seidel )

迭代法.

把矩阵A 分解成

U L D A --= (6)

其中

()nn a ,...,a ,a diag D 2211=,U ,L --分别为A 的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 ()b Ux x L D +=-

即 22f x B x +=

其中

()()b L D f ,

U L D B 1

21

2---=-= (7)

2B 为迭代矩阵构成的迭代法(公式)

()()221f x B x k k +=+ (8)

称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为

⎨⎧[]

,...

,,k ,

n ,,i x a x a b a x

i j n i j )

k (j ij )

k (j ij i ii

)k (i

21021111111==∑∑--=-=+=++ (9)

由此看出,高斯—塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出

()

1+k i

x 后()

k i

x 不再使用,所以用()

1+k i x 冲掉()

k i

x ,以便存放近似解.

例2 例2 用高斯——塞德尔迭代法求解例1.

解 取初始值

()()()()

()()T

T

,,,x ,x ,x x 0000302010==,按迭代公式

()()

()()()

()()()()

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=++++++840202083020107202010121113

311

123211.x .x .x .x .x .x .x .x .x k k k k k k k k k

进行迭代,其计算结果如下表2

从此例看出,高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛,而高斯—塞德尔迭代法却是发散的.

三 迭代收敛的充分条件

定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛.

1

11

<∑

=≠=∞

n

i

j j ii

ij i

a a max B ;

1

11

1

<∑

=≠=n

i

j i ii

ij j

a a max B ;

③ 1

11

<∑

=-≠=∞

-n

j

i i jj

ij j

T

a a max A

D I

定理2 设

21B B ,分别为雅可比迭代矩阵与高斯—塞德尔迭代矩阵,则

≤1

2

B B (10)

从而,当

1

11

<∑

=≠=∞

n

i

j j ii

ij i

a a max B

时,高斯—塞德尔迭代法(8)收敛. 证明 由

21B B ,的定义,它们可表示成

()U L D B +=-11

()()U D L D I U L D B 1111

2-----=-=

用e 表示n 维向量()T

,...,,e 111=,则有不等式

e

B e B ∞≤11

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