重庆一中2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)

2016-2017学年重庆一中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）
2．函数y=cos2x的导数是（）
A．﹣sin2x B．sin2x C．﹣2sin2x D．2sin2x
3．（）
A．2 B．6 C．10 D．8
4．二项式的展开式的二项式系数和为（）
A．1 B．﹣1 C．210D．0
5．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）A．B．C．D．
6．函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．a∈B．C．a∈D．a∈
7．f（x）是集合A到集合B的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N*，则f（x）为单调递增函数的个数是（）
A．B．n2n C．（2n）n D．
8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）
A．B．C．D．
9．函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）
A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f（1）10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（）
A．B．C．D．
11．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
12．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X，则X的方差为．
14．设变量x，y满足条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为．
15．半径分别为5，6的两个圆相交于A，B两点，AB=8，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为．
16．四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得﹣60分，答对乙得180分，答错乙得﹣180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有种．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．函数f（x）=x3+x在x=1处的切线为m．
（1）求切线m的方程；
（2）若曲线g（x）=sinx+ax在点A（0，g（0））处的切线与m垂直，求实数a 的取值．
18．如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，，PA=AB=4，AC 交BD于O，点N是PC的中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面ANC与平面ANB所成的锐二面角的余弦值．
19．甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．
（1）求三人观看同一场比赛的概率；
（2）记观看第一场比赛的人数是X，求X的分布列和期望．
20．已知函数f（x）=x3﹣alnx．
（1）当a=3，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣9x在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，
B，D，E，且满足，，求△MNF面积的最大值．
22．已知函数．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（2）若a=1，函数，且h（x）在（0，+∞）上的最小值为2，求实数m的值．
2016-2017学年重庆一中高二（下）3月月考数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0），得到抛物线y2=4x的2p=4，=1，所以焦点坐标为（1，0）．
【解答】解：∵抛物线的方程是y2=4x，
∴2p=4，得=1，
∵抛物线y2=2px的焦点坐标为F（，0）
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．
故选C
2．函数y=cos2x的导数是（）
A．﹣sin2x B．sin2x C．﹣2sin2x D．2sin2x
【考点】63：导数的运算．
【分析】根据题意，令t=2x，则y=cost，利用复合函数的导数计算法则计算可得答案．
【解答】解：根据题意，令t=2x，则y=cost，
其导数y′=（2x）′（cost）′=﹣2sin2x；
故选：C．
3．（）
A．2 B．6 C．10 D．8
【考点】67：定积分．
【分析】首先找出被积函数的原函数，然后代入积分上限和下限求值．
【解答】解：（x2+x）|=6；
故选B．
4．二项式的展开式的二项式系数和为（）
A．1 B．﹣1 C．210D．0
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】根据二项式定理可得展开式中所有项的二项式系数和为210．
【解答】解：展开式中所有项的二项式系数之和为210．
故选：C．
5．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（）A．B．C．D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法求出落地时朝上的点数之和为6包含的基本事件的个数，由此能求出落地时朝上的点数之和为6的概率．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，
基本事件总数n=6×6=36，
落地时朝上的点数之和为6包含的基本事件有：
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，
∴落地时朝上的点数之和为6的概率为p=．
故选：A．
6．函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）
A．a∈B．C．a∈D．a∈
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，再根据判别式即可求出a的范围，问题得以解决，
【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+2x是R上的单调递增函数，
∴f′（x）=3x2﹣2ax+2≥0，
∴△=4a2﹣24≤0，
解得﹣≤a≤，
函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是：．
故选：D．
7．f（x）是集合A到集合B的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N*，则f（x）为单调递增函数的个数是（）
A．B．n2n C．（2n）n D．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）n个，每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），故单调递增函数f（x）的个数为C2n n，即可得出结论．
【解答】解：所有的从集合A到集合B的函数f（x）总共有（2n）n个，从1，2，…，2n中任意取出n个数，唯一对应了一个从小到大的排列顺序，这n个从小到大的数就可作为A中元素1，2，…，n的对应函数值，这个函数就是一个增函数．
每从B的2n元素中选取n个元素的一个组合，就对应了一个增函数f（x），
故单调递增函数f（x）的个数为C2n n，
故选：D．
8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）
A．B．C．D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，求出三棱柱的底面边长和高，从而求出它外接球的半径，再求球内接正方体的棱长，即可求出其表面积．【解答】解：由已知中的三棱柱正视图可得：
三棱柱的底面边长为2，高为1
则三棱柱的底面外接圆半径为
r=，
球心到底面的距离为
d=；
则球的半径为
R==；
∴该球的内接正方体对角线长是
2R=2=a，
∴a=2=；
∴内接正方体的表面积为：
S=6a2=6×=．
故选：D．
9．函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）
A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f（1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，根据函数的单调性求出g（1）＞g（2），判断答案即可．
【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，
而2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，
故g′（x）＜0在R恒成立，g（x）在R递减，
故g（1）＞g（2），即f（1）＞，
故选：A．
10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】由题意知转播商获利不低于80万元是指比赛打满4局或比赛打满5局，由此能求出转播商获利不低于80万元的概率．
【解答】解：由题意知转播商获利不低于80万元是指比赛打满4局或比赛打满5局，
∴转播商获利不低于80万元的概率：
P=（）+（1﹣）+×+
×（1﹣）=．
故选：A．
11．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，当|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】由题意得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．由△≥0，得m≥2．|EF1|+|EF2|取得最小值，求出m．由此能求出椭圆离心率．
【解答】解：由题意，m＞0知m+1＞1，
由得（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0．
由△=16（m+1）2﹣12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m﹣2）≥0，
解得m≥2，或m≤﹣1（舍去）∴m≥2，
当且仅当m=2时，|EF1|+|EF2|取得最小值：2．
此时a=，c=，
e=．
故选：D．
12．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】利用导数得出函数f（x）的极大值，再求出g（x）的极小值，得到关于a的方程即可得出a的值，通过对k﹣1分正负讨论，把要证明的不等式变形等价转化，再利用导数研究其极值与最值即可．
【解答】解：f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
1）=﹣1；
故f（x）
极大值=f（
g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
=2，
故g（x）
极小值=g（）
由函数f（x）的极大值是函数g（x）的极小值的﹣倍，
得：2•（﹣）=﹣1，解得：a=﹣1；
令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2lnx﹣x﹣，x∈，2h（x），2h（x）1，26，+∞）．
21．已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线AB，DE交椭圆分别于A，B，D，E，且满足，，求△MNF面积的最大值．
【考点】KO：圆锥曲线的最值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．（2））根据，可知，M，N分别为AB，DE的中点，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+1，不妨设m＞0，联立椭圆C有（m2+2）y2+2my﹣1=0，根据韦达定理弦长公式，转化求解三角形的面积，通过换元法以及基本不等式求解三角形的最值．
【解答】解：（1）根据条件有，解得a2=2，b2=1，所以椭圆
．
（2）根据，可知，M，N分别为AB，DE的中点，且直线AB，DE斜率均存在且不为0，
现设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+1，
不妨设m＞0，联立椭圆C有（m2+2）y2+2my﹣1=0，
根据韦达定理得：，，，，
同理可得，
所以△MNF面积，
现令，
那么，
所以当t=2，m=1时，△MNF的面积取得最大值．
22．已知函数．
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求a的值；
（2）若a=1，函数，且h（x）在（0，+∞）
上的最小值为2，求实数m的值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（2）=0，求出a的值即可；
（2）求出h（x）的解析式，根据h（1）≥2，得到关于m的不等式，通过讨论m的范围结合函数的单调性确定m的值即可．
【解答】解：（1），又f（x）在x=2处取得极值，则，
此时，显然满足条件，所以a的值为．
（2）由条件，又h（x）在（0，+∞）上的最小值为2，所以有h（1）≥2，即
又，
当m≥2时，可知h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值，不合题意，
故这样的m必须满足，此时，函数h（x）的增区间为，减区间为，，
整理得（*）
若，则，且，无解
若1≤m＜2，则，将（*）变形为．即，设
则上式即为，构造，
则等价于F（t）=0，故F（t）在上单调递减，
又F（1）=0，故F（t）=0等价于t=1，与之对应的m=1，
综上，m=1．
2017年5月27日。