《线性代数》习题及答案

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《线性代数》作业

一、选择题

1.如果D=333231232221

131211

a a a a a a a a a ,则行列式33

3231232221

13

1211

96364232a a a a a a a a a 的值应为: A . 6D B .12D C .24D D .36D 2.设A 为n 阶方阵,R (A )=r<n,那么:

A .A 的解不可逆

B .0=A

C.A 中所有r 阶子式全不为零

D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3.设n 阶方阵A 与B 相似,那么:

A .存在可逆矩阵P ,使

B AP P =-1

B .存在对角阵D ,使A 与B 都相似于D

C .E B E A λλ-=-

D .B A ≠

4.如果3333231232221

131211

==a a a a a a a a a D ,则13

1211332332

22312133

32

31

323232a a a a a a a a a a a a ---等于

A . 6

B . -9

C .-3

D .-6 5.设矩阵n m ij a A ⨯=)(,m<n,且R (A )=r,那么:

A .r<m

B .r<n

C .A 中r 阶子式不为零

D .A 的标准型为⎪⎪⎭

⎝⎛0E , 其中E 为r 阶单位阵。 6.A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*

A 的特征根之一是:

A .n

A

1

B .A λ

C .A 1

D .n

A λ

7.如果⎪⎩

⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解,则k 应为:____________。

A . k =0

B . k =1

C . k =2

D . k =-2 8.设A 是n 阶方阵,3≥n 且2)(-=n A R ,*

A 是A 的伴随阵,那么:___________。

A . 0≠*

A B . ()0R A *

= C . 1

-*

=n A

A D . 2)(≤*

A R

9.设A 为n m ⨯矩阵,齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是:

A . A 的列向量线性无关

B . A 的列向量线性相关

C . A 的行向量线性相关

D . A 的行向量线性相关

10.如果

⎛=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k 应为:________。

A .0=k

B .1-=k

C .2=k

D .2-=k 11.下列命题正确的是___________。

A .T T T

B A AB =)( B .若B A ≠则B A ≠

C .设A 、B 为三角形矩阵,则A+B 为三角矩阵

D .))((22

E A E A E A -+=- 12.矩阵A 、B 相似的充要条件是____________。

A .A 与

B 有相同的特征值 B .A 与B 相似于同一矩阵

C .A 与B 有相同的特征向量

D .k

A 形似于k

B 二、填空题

1.行列式与它的转置行列式的值是__________。 2.矩阵n m A ⨯的K 阶子式共有___________;

3.n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 有__________________________________; 4.行列式的某行(列)加上另一行(列)的k 倍,行列式的值______________。

5.设⎪⎪⎪

⎫ ⎝⎛--=11334221t

A ,

B 为三阶非零矩阵,且0=AB ,则t=________________。 6.A 、B 为n 阶方阵,若存在可逆矩P ,使_________则称A 与B 相似。

7.__________________0

1

=

n

λλ。 8.若矩阵⎪⎪⎪

⎫ ⎝⎛-=11012321k A 的2)(=A R ,则____________=k 。

9.若方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλλ仅有零解,则λ应满足的条件是_______________。

10.设多项式x

x x x x f 21211

1)(=则)(x f 中3x 的系数等于_________,2x 的系数等于_________。

11.已知)3,2,

1(=α,)1,2,3(=β,且α与βα+k 正交,则=k ____________。

12.设A 是3阶方阵,且3||-=A ,则行列式|3|1-A =( )

13.矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=315021001A ,⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=443112112013B ,则AB 的秩是)

( 14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎛=00

0430000200

0010A ,则1

-A =)

( 15若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4

143432

321

21a x x a x x a x x a x x 有解,则常量4321,,,a a a a 应满足条件___________。

16.设4阶方阵,),,,(),,,,(43214321B A A A B A A A A A ==其中44321,,,,B A A A A 都是四元列向量,已知

2,1=-=B A ,则行列式B A 2+=( )

17已知矩阵A=PQ,其中⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡=121P ,Q=)2,1,2(-,则矩阵)(100=A

18.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100230211A ,⎪⎪⎪

⎝⎛=026328421421B ,则秩)(AB =( )

三、证明题

1.设A 是三阶方阵,*

A 是A 的伴随矩阵,A 的行列式为,4

1=A 求证:2

1)2(A

A A =-*

-.

2.已知A 为n 阶方阵,且0432=--E A A ,试证A 可逆,并求1

-A 。

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