直梁弯曲平面弯曲概念梁类型

截面右侧——所有对截面形心之矩为逆时针 的外力及逆时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。
§4-3 弯矩图
由截面法计算出横截面弯矩随轴线 x 变化规律 M = M(x) →称为梁弯矩方程
将弯矩大小与正负表示在图上——弯矩图 画弯矩图的基本方法： (1) 对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂
反之为静不定，称为不静定梁或超静 定问题。
作用于梁上载荷有三种形式：
①集中力：作用力作用在很小
P
面积上，可近似一点。如图：
②集中力偶：力偶两力分布在
m
很短一段梁上，可简化为作
用在梁的某一截面上。如图：
q
③分布载荷：载荷分布在较长范 围内，以单位长度受力 q 表示。 q 单位 N / m 如图：
§4-2 梁弯曲时的内力
分离体处于平衡，由平衡条件得：
Q
Pb
∑ y = 0 RAy – Q = 0
ab
∑M = 0 M – RAy·x = 0
M Pb x ab
结论： ①受弯曲梁任一截面内力有 弯矩与剪力。 ②剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。 ③弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶）
对截面形心之矩代数和。
剪力与弯矩对梁强度影响： 由经典力学分析 弯矩对梁强度影响远大于 剪力对梁强度。 工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。
梁一端或两端伸出支座外。 （3）悬臂梁 如图：
梁一端固定约束，另一端自由。
各支座处力与位移边界条件：
①固定铰支
支座处 梁左、右，上、下 均不可移动，但 可绕约束点转动。
解除约束 受力图
Rx Ry
m= 0
力的边界条件 Rx ≠ 0 位移边界条件 Ry ≠ 0
x=0 y=0
②可动铰支 支座点左、右 可移动，上、下 不可动。
第四章 直梁的弯曲
§4-1 平面弯曲概念 梁的类型
1、梁弯曲 常见弯曲变形构件,如房屋支承梁，工厂中 起重机横梁及化工中的卧式容器等。
结构如图：
卧式化工容器：
弯曲梁受力特点——在通过梁某一纵向平面 内，受到垂直于轴线的 外力或力偶作用。
受力如图：
变形特点——任两个截面绕垂直于梁轴线轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。
P
RAy + RBy – P = 0
RAy
R P 3 Ay
R 2P
By
3
R 0 Ax
m=Pa
RBy
②分段求各段弯矩
AC段，在AC段任取一截面 RAy
x
M R xPx0≤x≤a
AC
Ay
3
PM
DC段，在DC段任取一截面
RAy
x
M R x P (x a )
DCAy
PxP x P a P a 2Px a≤x＜2a
一、内力计算
内力计算方法如下： 第一步——解除支座约束，计算约束反力。 第二步——用截面法将梁分成两部分。 第三步——由平衡条件计算截面处内力。
如图：简支梁，试计算
am b
m — n 截面内力。 A
B
n
解: (1) 解除约束，
求约束反力
RxA
P
列平衡方程
RyA
RyB
RxA = 0 RyA + RyB = P RyB·(a+b) – Pa = 0
二、弯矩符号规定
规定如下：
所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲 变形，该截面弯矩为正；反之为负。
m — n 截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。
M
m
M
n
反之 发生如下图弯曲形状，弯矩为负。
m
M
n
M
由此得“左顺右逆”弯矩为正 规定：
截面左侧——所有对截面形心之矩为顺时针 的外力及顺时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。
q
qa
D
A
CB
a
a
a
解: (1) 解除约束， 求约束反力
q D
RBx = 0
RBy + RAy – qa– qa = 0
RAy2aqaaqa5 2a0
qa
A
B RBx
RAy
C
RBy
RAy = 1.75 qa RBy = 0.25 qa
(2) 分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。
DA段，在之间任取一截面
梁不必求支座反力,从悬臂端开始计算。 (2) 在有集中力或集中力偶处分段，求出每一
段弯矩方程。 (3) 选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯
矩M为纵坐标作弯矩图。
例一，如图： 受集中载荷简支梁。 试画出弯矩图。
Pm
A
CDB
a aa
解：①解除约束，求约束反力
R RAy·3a – P·2a + m = 0 Ax
R Pa yB a b
R Pb yA a b
R 0 xA
(2) 用截面法求内力 截面处存在的内力：
M Q MP
xo
RAy
Q
RBy
①阻止 RyA 作用下绕 O 转动，截面必存在附加 内力矩 M，阻止转动。
②平衡 RyA力，截面上必有向下力 Q 附加内力矩M——称为截面弯矩。
截面内力Q——称为剪力，与外力平行，有使 梁沿 m—n 截面剪断趋势。
x
弯矩 MABqx2 xq22x0≤x≤
l 2
B截面右侧
MB右=
ql 2 8
q
②BC段 在BC之间任取一截面
M qx2 q2l
BC
22
l xl 22
x
B截面左侧，x l 2
MB左 3 ql 2 8
C点 x=l， MC =0
3 8
ql2
(+)
C
B (-)
A
ql2
8
例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。
解除约束 受力图 Ry
力的边界条件 ③固定端
Ry ≠ 0 Rx = 0 m =0
位移边界条件
x ≠0 y=0
约束限制 固定端既不能转动，也不可移动。
Rx
解除约束 受力图
m Ry
Rx ≠ 0
x=0
力的边界条件 Ry ≠ 0 位移边界条件
m≠0
y=0
各支座反力 可根据平衡条件求出。
如果未知力数与所列出的独立方程数 相同，则可求出未知力——称为静定 问题，属于静定梁；
q
M qx2 0≤x≤a
AD
2
x
AC段，在之间任取一截面
受力后
截面轴线
平面弯曲——所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。
纵向对称面——在纵向可将梁分成对称两半。
2、梁简化
对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简 化，以轴线表示梁。 梁简化成三种力学模型： （1）简支梁 如图：
一端固定简支，另一端可动铰支。 （2）外伸梁 如图：
3
3
BD段，在BD段任取一截面 M
MBDRByx23Px0≤x＜a
③画弯矩图
P 3
a
(+)

C
x
2Pa 3
(+)
D ( - )
Pa 3
RBy
B
例二、有一悬臂梁 长l， 其上分布载荷q和集
C
q
m=
ql2 2
A
中力偶矩m.
B
试画出弯矩图。
l/2
l/2
解：悬臂梁可不必求约束反力
直接分段 AB与BC段
①AB段 在AB之间任取一截面