抗震结构设计经典计算题及答案

1、某两层钢筋混凝土框架，集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值相等kN 120021==G G ，每层层高皆为4.0m ，各层的层间刚度相同m /kN 863021=∑=∑D D ；Ⅱ类场地，设防烈度为7度，设计基本地震加速度为0.10g ，设计分组为第二组，结构的阻尼比为05.0=ζ。

（1）求结构的自振频率和振型，并验证其主振型的正交性

（2）试用振型分解反应谱法计算框架的楼层地震剪力

解1）：（1）计算刚度矩阵

m kN k k k /17260286302111=?=+=

m kN k k k /863022112-=-==

m kN k k /8630222==

（2）求自振频率

])(4)()[(21211222112121122211122212122,1k k k k m m k m k m k m k m m m --++=

ω ])8630(863017260[(1201204)172601208630120()172601208630120[(120

1202122--???-?+??+???=

28.188/47.27=

s r a d /24.51=ω s r a d /72.132=ω

（3）求主振型

当s rad /24.51=ω 1

618.186301726024.5120212112111112=--?=-=k k m X X ω 当s rad /72.132=ω

618.086301726072.13120212112212122-=--?=-=k k m X X ω （4）验证主振型的正交性

质量矩阵的正交性

0618.0000.112000120618.1000.1}]{[}{21=?

?????-???????

?????=T T X m X 刚度矩阵的正交性 0618.0000.186308630863017260618.1000.1}]{[}{21=??????-??

????--??????=T T X k X 解2）：由表3.2查得：Ⅱ类场地，第二组，T g =0.40s

由表3.3查得：7度多遇地震08.0max

=α 第一自振周期g g T T T T 5s,200.1211

1<<==ωπ

第二自振周期g g T T T T 5s,458.02122<<==ωπ

（1）相应于第一振型自振周期1T 的地震影响系数： 030.008.0200.140.09.0max 9.011=???? ??=???? ??=ααT T g

第一振型参与系数 724.0618.11200000.11200618.11200000.112002

22121111=?+??+?==∑∑==i i i n i i i m m φ

γ 于是：kN 06.261200000.1724.0030.01111111=???==G F φγα

kN 17.421200618.1724.0030.02121112=???==G F φγα

第一振型的层间剪力：

kN 17.421212==F V

kN 23.68121111=+=F F V

（2）相应于第二振型自振周期2T 的地震影响系数：

071.008.0458.040.09.0max 9.022=???? ??=???? ??=ααT T g

第二振型参与系数 276.0)618.0(1200000.11200)618.0(1200000.112002

22122122=-?+?-?+?==∑∑==i i i n i i i m m φ

γ 于是：kN 52.231200000.1276.0071.01212221=???==G F φγα

kN 53.141200)618.0(276.0071.02222222-=?-??==G F φγα

第二振型的层间剪力：

kN 53.142222-==F V

kN 99.8222121=+=F F V

（3）由SRSS 法，计算各楼层地震剪力： kN 60.44)53.14(17.422222

222=-+==∑=j j V

kN 821.6899.823.682222211=+==∑=j j V

2、某两层钢筋混凝土框架，集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值相等kN 120021==G G ，每层层高皆为4.0m ，框架的自振周期s 028.11=T ；各层的层间刚度相同m /kN 863021=∑=∑D D ；Ⅱ类场地，7度第二组（)08.0 s,40.0max ==αg T ，结构的阻尼比为05.0=ζ，试按底部剪力法计算框架的楼层地震剪力，并验算弹性层间位移是否满足要求（[]450/1=e θ）。

解：（1）求结构总水平地震作用：

033.008.0028.140.09.0max 9.011=???? ??=???? ??=ααT T g

kN 32.67)12001200(85.0033.0eq 1Ek =+?==G F α

（2）求作用在各质点上的水平地震作用

s T s T g 56.04.04.14.1028.11=?=>=

092.001.0028.108.001.008.01=+?=+=T n δ

kN 2.632.67092.0Ek n n =?==?F F δ

)1(n Ek 11

11δ-=∑=F H G H G F n j j

kN 37.20)092.01(32.67812004120041200=-??+??= n n Ek 1222)1(F F H G H G F n

j j j

?+-=∑=δ

kN 95.462.6)092.01(32.678

12004120081200=+-??+??= （3）求层间剪力

kN 32.6795.4637.20211=+=+=F F V

kN 95.4622==F V

（4）验算层间弹性位移

m m 8.7m 0078.08630/32.671===?

450/1512/14000/8.71<==θ （满足）

m m 44.5m 00544.08630/95.461===?

450/1735/14000/44.51<==θ （满足）

3、某三层钢筋混凝土框架，集中于楼盖处的重力荷载代表值分别为

kN 100021==G G ，kN 6003=G ，每层层高皆为5.0m ，层间侧移刚度均为40MN/m ，

框架的基本自振周期s 6332.01=T ；Ⅰ类场地，8度第二组，设计基本加速度为0.30g ，

结构的阻尼比为05.0=ζ，试按底部剪力法计算框架的楼层地震剪力，并验算弹性层间位移是否满足规范要求。

（1）求结构总水平地震作用： 122.024.06332.030.09

.0max 9.011=???? ??=???? ??=ααT T g kN 6.269)60010001000(85.0122.0eq 1Ek =++?==G F α

（2）求作用在各质点上的水平地震作用

s T s T g 42.03.04.14.16332.01=?=>=

121.007.06332.008.007.008.01=+?=+=T n δ

kN 62.326.269121.0Ek n n =?==?F F δ

)1(n Ek 1111δ-=∑=F H G H G F n

j j j

kN 37.49)121.01(6.269156001010005100051000=-??+?+??= )1(n Ek 1222δ-=∑=F H G H G F n j j

kN 75.98)121.01(6.26915

60010100051000101000=-??+?+??=

n n Ek 1333)1(F F H G H G F n j j

?+-=∑=δ

kN 49.12162.3287.8862.32)121.01(6.26915

6001010005100015600=+=+-??+?+??=

（3）求层间剪力

kN 6.26949.12175.9837.493211=++=++=F F F V

kN 24.22049.12175.98322=+=+=F F V

kN 49.12133==F V

（4）验算弹性位移

0.009550

5][0063.01040106.26963111==≤=??==H K V e θδ 满足规范要求

4、二质点体系如图所示，各质点的重力荷载代表值分别为m 1=60t ， m 2=50t ，层高如图所示。该结构建造在设防烈度为8度、场地土特征周期T g =0.25s 的场地上，其水平地震影响系数最大值分别为αmax =0.16（多遇地震）和αmax =0.90（罕遇地震）。已知结构的主振型和自振周期分别为

??????=??????000.1488.01211X X ????

??-=??????000.1710.12221X X =1T 0.358s =2T 0.156s

要求：用底部剪力法计算结构在多遇地震作用下各层的层间地震剪力i V 。提示： =1T 0.1s ～g T 时，max αα=；

=1T g T ～5g T 时，max 9.01αα???

? ??=T T g ；

g T T 4.11>且0.35g T <ｓ时，

07.008.01+=T n δ;

0.35~0.55g T =ｓ时,

10.080.01n T δ=+

解：g 1g 0.358s<5T T T <=，0.90.9

1max 10.250.16=0.1160.358g T T αα????==? ? ????? eq 0.85(6050)9.8=916.3kN G =?+? Ek 1eq 0.116916.3106.29kN F G α==?= 1 1.41.40.250.35s g T T >=?=，0.25s 0.35s g T =< 10.080.070.080.3580.070.10n T δ=+=?+= 111Ek n i i 609.84(1)106.29(10.10)35.87kN 609.84509.88G H F F G H δ??=

-=??-=??+??∑222Ek n i i

509.88(1)106.29(10.10)59.79kN 609.84509.88G H F F G H δ??=-=??-=??+??∑ N E k n 106.2

90.1010.63k N F F δ?==?= 22N 59.7910.63=70.42kN V F F =+?=+ 11235.8770.42=106.29kN V F V =+=+