导数大题练习带答案

1 已知 f(x) = xlnx — ax, g(x) =— x 2

— 2,

(I )对一切x €( o,+旳,f(x) > g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(n )当a=— 1时， 求函数f(x)在［m, m+ 3］(m> 0)上的最值；(川)证明：对一切x € (0 ,+旳，都有lnx+ 1 > 1 2 4 -成立. e ex

2

2、已知函数f(x) alnx 2(a

0). (I)若曲线y=f (x)在点P (1, f (1))处的切线

x

与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；(n)若对于 x (0,)都有f (x) > 2(a —

1)成立，试求a 的取值范围；(川)记 g (x)=f (x)+x —b ( b € R).当a=1时，函数g (x)在区 间［e —

1

,

e ］上有两个零点，求实数

b 的取值范围.

3.设函数 f (x)=lnx+(x — a)2

, a € R. (I) 若 a=0，求函数 f (x)在［1 , e ］上的最小值;

1

(n)若函数f (x)在［寸,2］上存在单调递增区间，试求实数 a 的取值范围；

(川)求函数f (x)的极值点.

1 2

4、已知函数 f (x) —ax (2 a 1)x 2l n x (a R).

2

(I )若曲线y f(x)在x 1和x 3处的切线互相平行，

求a 的值；(n )求f(x)的单

调区间；(川)设g(x) x 2

2x ,若对任意 人(0,2］，均存在 沁 (0, 2］，使得

f (xj g(X 2)，求a 的取值范围.

2 5、已知函数 f x 2

aln x 2(a

0)

x

(I )若曲线y= f(x)在点P(1, f(1))处的切线与直线 y= x + 2垂直，求函数y= f(x)的单 调区

间；

(n )若对于任意x 0, 都有fx 2(a 1)成立，试求a 的取值范围；

(川)记g( x) = f(x) + x — b( b € R).当a= 1时，函数g( x)在区间e 1

,e 上有两个零点,

求实数b 的取值范围.

1

(1)

若函数在区间(a,a 1

)(其中a 0)上存在极值，求实数 a 的取值范围;

2

⑵如果当x 1时，不等式f(x)

恒成立，求实数k 的取值范围. x 1

6、已知函数f (x)

1 In x x

1

②当 m —时，f '(x)

0 , 因此f (x)在[口, m 3]上单调递增,

e

所以 f mi n (x)

f (m) m(ln m 1),

f max (x) f(m 3) (m 3)[ln( m 3) 1]……9 分

（川）证明：问题等价于证明

xln x x 三 e 2

2

(x (0, e

)), .... 10分 由（n ）知a 1时， f (x) xl nx x 的最小值是

1

1

2 ,当且仅当x 2

时取

e

e

得，……11分

x

设 G(x)二

e

2

(x e

(0,))，则 G

/、 1 x

(x)

x

1

e

易知

1

G max (X )G(1)

—,当且仅当X 1时取到， ......... 12分 e

心 1 1

但—

，从而可知对一切x (0,),

e

e

1 2

都有ln x 1 x 成立 ......... . 13分

e ex

2 a

(n )当 a

1 时,f(x) xl nx x ,

f (x) ln x 2 , 由f (x)

0得x

1

2・

e

... 6分

①当0

1评 m —时, e

在 x [m,—)上 f e (x) 0，在 x 1 (2

,m

e

3]上 f (x) 0

因此， f (x)在 x

1 2处取得极小值，

e

也是最小值 .

f

min

(x)

1

~~2 .

e

即 F min (X )

F(1

) 由于 f (m) 0, f (m 3)

(m 3)[ln(m 3) 1]

3，所以a 3.……4分

1•解：（I ）对一切X

(0, ), f (x) g(x)恒成立，即 xlnx

2

ax x 2恒成立.

也就是a

In x (0,

）恒成立• (1)

令 F(x) In x

则 F (x) x 2

x

-2"

x

(x 2)(x 1)

在(0,1)上 F (x)

(x)

因此，F （x ）在x 1处取极小值，也是最小值,

因此，f max （X ） f （

m 3）

(m 3)[l n(m 3) 1]