2013年中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题

数学重点压轴之折叠旋转
一．折叠类
1. （12江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2A B =，边1A D =，且
AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．
（1）当矩形ABCD 沿直线12y
x b
=-
+折叠时（如图1），
求点A '的坐标和b 的值；
（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b
=
+折叠时，
① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，
请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）
k 的取值范围是
； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ； [解] （1）如图答5，设直线1
2
y x b
=-
+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，OF = 2b ，设点A '的坐标为（a ，1）
因为90D O A A O F ''∠+∠=︒
，90O F E A O F '∠+∠=︒，
所以D O A O F E
'∠=∠，所以△
D O A '∽△OF
E ． 所以
D A D O O E
O F
'=
，即12a b b
=，所以12
a
=
．
所以点A '的坐标为（12
，1）．
连结A E '，则A E O E b
'==．
在R t △D EA '
中，根据勾股定理有2
2
2
A E A D D E
''=+ ，
即2
22
1()(1)
2
b b =+-，解得58
b
=．
（2）如图答6，设直线y kx b
=+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，b O F
k
=-
，设点A '的坐标为（a ，1）．
因为90D O A A O F ''∠+∠=︒
，90O F E A O F '∠+∠=︒．
所以D O A O F E
'∠=
∠，所以△D O A '∽△OFE ．
（图1）
所以
D A D O O E
O F
'=
，即
1a b b
k
=
-，所以a
k
=-．
所以A '点的坐标为（k -，1）． 连结A E '，在Rt △D EA '
中，D A k
'=
-，1D E
b
=-，A E
b
'=．
因为22
2
A E A D D E
''=+，
所以2
2
2
()(1)
b
k b =-+-．所以2
12
k
b
+=
．
在图答6和图答7中求解参照给分． （3）图13﹣2中：21k -≤≤-；
图13﹣3中：1-≤k
≤2-+
图13﹣4
中：20
k -+
≤≤
[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。

2. （12广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形O A B C 的顶点O 为原点，E 为A B 上一点，把C B E △
沿C E 折叠，使点B 恰好落在O A 边上的点D 处，点A D ，的坐标分别
为(50)，
和(30)，． （1）求点C 的坐标；
（2）求D E 所在直线的解析式； （3）设过点C 的抛物线2
2(0)y x c b =+
+<与直线B C 的另一个交点为M ，问在该
抛物线上是否存在点G ，使得C M G △为等边三角形．若存在，求出点G 的坐标；若不存
在，请说明理由．
[解] （1）根据题意，得53C D C B O A O D ====，，
90C O D =
∠，4O C ∴=
==．
∴点C 的坐标是(04)，
； （2）4A B O C == ，设A E x =，
则4D E B E x ==-，
532A D O A O D =-=-=，
在R t D E A △中，2
2
2
D E A D A E =+．
222
(4)2x x ∴-=+．
解之，得32
x =
，
即点E 的坐标是352⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，．
设D E 所在直线的解析式为y kx b =+，
30352
k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，， 解之，得34
94
k b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．
D E ∴所在直线的解析式为394
4
y x =
-
；
（3） 点(04)C ，
在抛物线2
2y x c =++上，4c ∴=．
即抛物线为2
24y x =++．
假设在抛物线2
24y x =+
+上存在点G ，使得C M G △为等边三角形，
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G 一定在该抛物线的顶点上． 设点G 的坐标为()m n ，，
22
4
m ∴=-=-⨯
，2
32342
8
b
n -==
⨯，
即点G 的坐标为2
32348
b ⎛
⎫
--
⎪ ⎪⎝
⎭
，．
设对称轴4
x =-
C B 交于点F ，与x 轴交于点H ．
则点F
的坐标为44⎛
⎫-
⎪ ⎪⎝
⎭，． 00b m <∴> ，，点G 在y 轴的右侧，
4
C F m ==-
2
2
3233448
8
b
b F H F G -==-
=
，．
22
C M C G C F ===-
，
∴在R t C G F △中，2
2
2
C G
C F
F G =+
，2
2
2
2
3248b ⎛⎛⎛⎫-
=-+ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
． 解之，得2(0)b b =-< ．
．
4
2
m ∴=-
=
，2
32358
2
b
n -=
=
．
∴点G 的坐标为5
22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，． ∴
在抛物线2
24(0)y x b =+
+<上存在点G 5
22⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
，，使得C M G △为等边三角形．
[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。

3（12湖北咸宁卷）如图，O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，53O A O C ==，．
（1）在A B 边上取一点D ，将纸片沿O D 翻折，使点A 落在B C 边上的点E 处，求点D ，E 的坐标；
（2）若过点D E ，的抛物线与x 轴相交于点(50)F -，
，求抛物线的解析式和对称轴方程； （3）若（2）中的抛物线与y 轴交于点H ，在抛物线上是否存在点P ，使P F H △的内心在坐标轴．．．
上？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． （4）若（2）中的抛物线与y 轴相交于点H ，点Q 在线段O D 上移动，作直线H Q ，当点
Q 移动到什么位置时，O D ，两点到直线H Q 的距离之和最大？请直接写出此时点Q 的坐
标及直线H Q 的解析式．
x
4. .(12台州市) 24．如图，四边形O A B C 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在
x 轴上，点C 在y 轴上，将边B C 折叠，使点B 落在边O A 的
点D
处．已知折叠C E =，且3tan 4
E D A ∠=
．
（1）判断O C D △与A D E △是否相似？请说明理由； （2）求直线C E 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线C E 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线C E 与y 轴所围成的三角形相
似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 解：（1）O C D △与A D E △相似． 理由如下：
由折叠知，90C D E B ∠=∠=°，
1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠
，
又90C O D D A E ∠=∠=∵°，
O C D A D E ∴△∽△． （2）3tan 4
A E E D A A D
∠=
=∵，∴设3A E t =，
则4A D t =．
由勾股定理得5D E t =．
358O C A B A E E B A E D E t t t ==+=+=+=∴．
由（1）O C D A D E △∽△，得
O C C D A D
D E
=
，
845t C D t t
=∴，
10C D t =∴．
在D C E △中，222
C D D E C E +=∵，
2
2
2
(10)(5)t t +=∴，解得1t =．
83O C A E ==∴，，点C 的坐标为(08)，
， 点E 的坐标为(103)，
， 设直线C E 的解析式为y kx b =+，
1038k b b +=⎧⎨=⎩，∴，解得128k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
，，
（第24题图2）
182
y x =-
+∴，则点P 的坐标为(160)，．
（3）满足条件的直线l 有2条：212y x =-+，
212y x =-．
如图2：准确画出两条直线．
5. (12宁德市)2
6. 已知：矩形纸片A B C D 中，26A B =厘米，18.5B C =厘米，点E 在A D 上，且6A E =厘米，点P 是A B 边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕M N （如图1所示）； 步骤二，过点P 作P T A B ⊥，交M N 所在的直线于点Q ，连接Q E （如图2所示） （1）无论点P 在A B 边上任何位置，都有P Q Q E （填“>”、“=”、“<”号）； （2）如图3所示，将纸片A B C D 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，P T 与M N 交于点11Q Q ，点的坐标是（ ， ）； ②当6P A =厘米时，P T 与M N 交于点22Q Q ，点的坐标是（ ， ）； ③当12P A =厘米时，在图3中画出M N PT ，（不要求写画法），并求出M N 与P T 的交点3Q 的坐标；
（3）点P 在运动过程，P T 与M N 形成一系列的交点123Q Q Q ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．
解: （1）P Q Q E =．
（2）①(03)，；②(66)，． ③画图，如图所示．
解：方法一：设M N 与E P 交于点F ． 在R t A P E △中，P E
=
=∵
C B
图
1 图3
C E 图2 C
1
2
P F P E =
=∴．
390Q P F E P A ∠+∠=∵°，90A E P E P A ∠+∠=°，
3Q P F A E P
∠=∠∴． 又390E A P
Q F P ∠=∠=∵°，
3Q P F P E A ∴△∽△．
3Q P P F P E
E A
=∴
．
315
P E P F Q P E A
=
=·∴．
3(1215)Q ∴，．
方法二：过点E 作3E G
Q P
⊥，垂足为G ，则四边形A P G E 是矩形．
6
G P =∴，12E G =．
设3Q G
x =
，则336
Q E Q P
x ==+．
在3R t Q E G △中，2
2
2
33E Q E G
Q G
=+∵．
2
2
2
(6)12x x +=+∴．
9
x =∴．
3125Q P =∴．
3(1215)
Q ∴，．
（3）这些点形成的图象是一段抛物线． 函数关系式：2
13(026)
12
y
x x =
+≤≤．
6. (12日照市)24. 如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x ．
(Ⅰ)求证：AF=EC ；
(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C .
（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；
（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？
解: (Ⅰ)证明：∵AB=a ，AD=b ，BE=x ，S 梯形ABEF = S 梯形CDFE ． ∴
2
1a (x +AF )=
2
1a (EC +b -AF )，
∴2AF =EC +(b -x )． 又∵EC ＝b -x ，
∴2AF =2EC ，即AF=EC ；
(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一）， ∵EC ∥E ′B ′， ∴
B E E
C '
'=
B D D
C '.
由EC ＝b -x ，E ′B ′=EB =x ， DB ′=DC +CB ′=2a ， 得
a
a x
x b 2=-，
∴x ︰b =
32 ；
当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，
∵EC ∥E ′B ′,点C 是DB ′的中点， ∴CE =
2
1(AD + E ′B ′)，
即b -x ＝21（b ＋x ）， ∴x ︰b =
3
1．
(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ．
证明：连接BF ． ∵FD ∥BE , FD =BE ，
∴四边形FBED 是平行四边形， ∴FB ∥DE ， FB =DE ,
又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点， ∴DE =EE ′，
∴FB ∥EE ′, FB = EE ′，
∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ． 如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M =a .． ∵x ︰b =3
1，
∴EM =
31BC =3
1b ．
若BE′与EF 垂直，则有∠GBE +∠BEG =90°，
又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′+∠ME ′E =90°， ∴∠GBE =∠ME ′E .
在R t △BME ′中，tan ∠E ′BM = tan ∠GBE =
BM
M E '=
b
a 32．
在R t △EME ′中，tan ∠ME ′E =
M
E EM '=
a
b
3
1
，
∴
b
a 32＝a
b
3
1．
又∵a ＞0，b ＞0，
=
b a 32，
∴当=
b
a 3
2时，BE′与EF 垂直.
7. (12荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．
(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ． ∴Rt △POE ∽Rt △BP A ． ∴
P O B A O E
A P
=．即
34x y
x
=
-．∴y =2
114(4)3
3
3
x x x x
-=-
+
(0＜x ＜4)．
且当x =2时，y 有最大值1
3
．
(2)由已知，△P AB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．
设过此三点的抛物线为y =ax 2
＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴1,2
3,
21.
a b c ⎧=⎪⎪
⎪=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
y =
2
1312
2
x x -
+．
(3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件． 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)， ∴该直线为y =x ＋1．
由21,
131,22y x y x x =+⎧⎪
⎨=-+⎪
⎩
得5,6.x y =⎧⎨
=⎩∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．
8. 12湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）.
（图1） （图2）
请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．
（2）在图2中，若AB=a ，BC=b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
（3）设矩形ABCD 的边AB =2，BC =4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线B M '为
y kx =，当M B C '∠=60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM ′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、
F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？
（图3）
解：（1）△BMP 是等边三角形. 证明：连结AN
∵EF 垂直平分AB ∴AN = BN
由折叠知 AB = BN
∴AN = AB = BN ∴△ABN 为等边三角形 ∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° 又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90° ∴∠BPN =60°
∠MBP =∠MBN +∠PBN =60° ∴∠BMP =60°
∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60° ∴△BMP 为等边三角形 .
（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP
在Rt △BNP 中， BN = BA =a ，∠PBN =30° ∴BP =
co s 30
a
∴b ≥
co s 30
a
∴a ≤
2
3b .
∴当a ≤
2
3b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP .
（3）∵∠M ′BC =60° ∴∠ABM ′ =90°－60°=30°
在Rt △ABM ′中，tan ∠ABM ′ =A M A B
' ∴tan30°=
2
A M ' ∴AM ′
3
∴M ′
3
，2). 代入y =kx 中 ，得k
3
设△ABM ′沿BM ′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A ' 过A '作A 'H ⊥BC 交BC 于H .
∵△A 'BM ′ ≌△ABM ′ ∴A B M ''∠=A B M '∠=30°, A '
B = AB =2
∴A BH
M BH
''∠=∠－A B M ''∠=30°.
在Rt △A 'BH 中， A '
H =
12
A '
B =1 ，BH=3
∴)A '
∴A '落在EF 上.
(图2) (图3)
9. (12广东省茂名市)25. 如图，已知平面直角坐标系xo y 中，有一矩形纸片OABC ，O 为
坐标原点，A B x ∥轴， B （3
，现将纸片按如图折叠，AD ，DE 为折痕，30O A D ∠=︒．折
叠后，点O 落在点1O ，点C 落在点1C ，并且1D O 与1D C 在同一直线上．
（1）求折痕AD 所在直线的解析式；
（2）求经过三点O ，1C ，C 的抛物线的解析式；
（3）若⊙P 的半径为R ，圆心P 在（2
⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径R 的值．
解：
（1）由已知得
30OA OAD =∠=︒．
∴tan 3013
OD OA =︒== ，
∴(()010A D ，，
． 设直线AD 的解析式为y kx b =+．
把A ，D 坐标代入上式得：
0b k b ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩
， 解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
折痕AD 所在的直线的解析式是y =+
（2）过1C 作1C F O C ⊥于点F ，
由已知得160A D O A D O ∠=∠=︒，∴160C D C ∠=︒． 又DC ＝3－1＝2，∴12D C D C ==．
∴在1R t C D F △中， 111sin 2sin 60C F D C C D F =∠=⨯︒=
1112
D F D C =
=，
∴(1C ，而已知()3,0C ．
法一：设经过三点O ，C 1，C 的抛物线的解析式是()3y ax x =- 点(12C 在抛物线上，∴()223a -=2
a =-
∴()2
32
22
y x x x =-
-=-
+
为所求
法二：设经过三点O ，C 1，C 的抛物线的解析式是2
,(0)y ax bx c a =++≠．
把O ，C 1，C 的坐标代入上式得:
042930c a b c a b c =⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
解得20a b c ⎧=⎪
⎪
=
⎨⎪
=⎪⎩
2
2
2
y
x x
=-
+
为所求．
（3）设圆心(),P x y ，则当⊙P 与两坐标轴都相切时，有y x
=±．
由y x =
，得2
22
x x x
-
+
=，解得10x =（舍去）
，233
x =-
．
由y x =-
，得2
2
2
x x x -
+
=-解得10x =（舍去）
，233
x =+
．
∴所求⊙P
的半径33
R =-
或33
R =+
．
10. (12重庆市) 28．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

若以
O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；
（2）若抛物线bx ax
y +=2
（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

注：抛物线c bx ax
y ++=2
（a ≠0）的顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--a b
ac ，a b 4422
，对称轴公式为a
b x 2-=
解: （1）过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H
∵在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2 ∴OB ＝4，OA ＝32
由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝32
∴∠COH ＝600，OH ＝3，CH ＝3 ∴C 点坐标为（3，3）
（2）∵抛物线bx ax
y +=2
（a ≠0）经过C （3，3）
、A （32，0）两点 ∴()
()
⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=b
a b a 323203332
2
解得：⎩⎨⎧=-=321b a ∴此抛物线的解析式为：x x y 322
+-=
（3）存在。

因为x x y 322
+-=的顶点坐标为（3，3）即为点C
MP ⊥x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t ∴P （3t ，t ）
作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E
把t x ⋅=
3代入x x
y 322
+-=得：t t
y 632
+-=
∴ M （3t ，t t 632+-），E （3，t t 632
+-）
同理：Q （3，t ），D （3，1）
要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即()16332
-=+--t t t ，解得：3
41=
t ，12=t （舍）
∴ P 点坐标为（
33
4，
3
4）
∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（
33
4，
3
4）
11. （12山东青岛）24．（本小题满分12分）
已知：如图①，在R t A C B △中，90C ∠=
，4cm A C =，3cm B C =，点P 由B 出发沿B A 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿A C 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接P Q ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，P Q B C ∥？
（2）设A Q P △的面积为y （2
cm ），求y 与t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段P Q 恰好把R t A C B △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接P C ，并把P Q C △沿Q C 翻折，得到四边形P Q P C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形P Q P C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
12. （08浙江湖州）24．（本小题12分）
已知：在矩形A O B C 中，4O B =，3O A =．分别以O B O A ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边B C 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x
=
>的图象与A C 边交于点E ．
（1）求证：A O E △与B O F △的面积相等；
（2）记O E F E C F S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将C E F △沿E F 对折后，C 点恰好落在O B 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
（08浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）
（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，A O E △与F O B △的面积分别为1S ，2S ， 由题意得11
k y x =
，22
k y x =
．
图①
P '
111112
2
S x y k ∴=
=
，222112
2
S x y k =
=
．
12S S ∴=，即A O E △与F O B △的面积相等．
（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k
E ⎛⎫
⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 1111432
234E C F S E C C F k k ⎛⎫⎛⎫
∴=
=
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
△， 1112122
2
E O
F A O E B O F E C F E C F E C F A O B C S S S S S k k S k S ∴=---=-
-
-=--△△△△△△矩形
11112212243234O E F E C F E C F S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫
∴=-=--=--⨯
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
△△△ 2
112
S k k ∴=-
+．
当161212k =-
=⎛⎫
⨯- ⎪
⎝⎭
时，S 有最大值．
131412S -=
=⎛⎫⨯- ⎪
⎝⎭
最大值．
（3）解：设存在这样的点F ，将C E F △沿E F 对折后，C 点恰好落在O B 边上的M 点，过点E 作E N O B ⊥，垂足为N ． 由题意得：3E N A O ==，143
E M E C k ==-
，134
M F C F k ==-
，
90E M N F M B F M B M F B ∠+∠=∠+∠=
，E M N M F B ∴∠=∠．
又90E N M M B F ∠=∠=
，
E N M M B
F ∴△∽△．
E N E M M B M
F ∴=，11
414312311331412k k M B k k ⎛
⎫--
⎪⎝⎭∴=
=⎛⎫-- ⎪
⎝
⎭， 94
M B ∴=
．
22
2
M B B F
M F += ，2
2
2
913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得218k =．
214
32
k B F ∴=
=
．
∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432
⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
． 13（08浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；
(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；
(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由。

（08浙江衢州24题解析）24、(本题14分)
解：(1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，
∴38
1032OAB tan =-=∠，
∴︒=∠60OAB
当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´， ∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥， ∴)t 10(2
360sin )t 10(TP -=
︒-=，)t 10(2
1AT 21AP P A -=
=
='，
∴2
TP A )t 10(8
3TP P A 2
1S S -=
⋅'=
='∆，
当A ´与B 重合时，A T=AB=
460sin 32=︒
，
所以此时10t 6<≤。

(2)当点A ´在线段AB 的延长线，且点P 在线段AB(
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E 是TA ´与CB 的交点)，
当点P 与B 重合时，A T=2AB=8，点T 的坐标是(2，
又由(1)中求得当A ´与B 重合时，T 的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，6t 2<< (3)S 存在最大值
○
1当
10t 6<≤时，2
)t 10(8
3S -=，
在对称轴t=10的左边，S 的值随着t 的增大而减小，
∴当t=6时，S 的值最大是32。

○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP
A S S S '∆'∆-= ∵△A ´E
B 的高是︒'60sin B A ， ∴2
3)4t 10(2
1)t 10(83S 2
2
⨯
---
-=
34)2t (8
3)28t 4t
(8
32
2
+--
=++-=
当t=2时，S 的值最大是34；
○
3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，
∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴343242
1OC EF 2
1S =⨯⨯=
⋅=
综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<。

14 08浙江绍兴）24．将一矩形纸片O A B C 放在平面直角坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿O C 向终点C 运动，运动
23
秒时，
动点P 从点A 出发以相等的速度沿A O 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也
停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）用含t 的代数式表示O P O Q ，；
（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿P Q 翻折，点O 恰好落在C B 边上的点D 处，求点D 的坐标；
（3）连结A C ，将OPQ △沿P Q 翻折，得到E P Q △，如图2．问：P Q 与A C 能否平行？
P E 与A C 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
（08浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分） 解：（1）6O P t =-，23
O Q t =+．
（2）当1t =时，过D 点作1D D O A ⊥，交O A 于1D ，如图1， 则53
D Q Q O ==
，43
Q C =
，
1C D ∴=，(13)D ∴，．
（3）①P Q 能与A C 平行．
若P Q A C ∥，如图2，则
O P O A O Q
O C
=，
即6623
3
t t -=+
，149
t ∴=，而703
t ≤≤，
149
t ∴=
．
②P E 不能与A C 垂直．
若P E A C ⊥，延长Q E 交O A 于F ，如图3，
则
23
3
t Q F O Q A C
O C +=
= ．
23Q F t ⎫∴=
+⎪⎭．
图1
E F Q F Q E Q F O Q ∴=-=-
22
33
t t
⎫⎛⎫
=+-+
⎪ ⎪
⎭⎝⎭
2
1)1)
3
t
=+．
又R t R t
E P
F O C A
△∽△，
P E O C
E F O A
∴=，
63
26
1)
3
t
t
-
∴=
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
3.45
t
∴≈，而
7
3
t
≤≤，
t
∴不存在．
15.（08浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形A B C D中，9
A B=
，A D=，点P 是边B C上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线P Q B D
∥，交C D边于Q 点，再把P Q C
△沿着动直线P Q对折，点C的对应点是R点，设C P的长度为x，P Q R
△
与矩形A B C D重叠部分的面积为y．
（1）求C Q P
∠的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形A B C D的A B边上？
（3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的
7
27
？
D
Q
C
B
P
R
A
（第24题）
B
A
D C
（备用图1）
B
A
D C
（备用图2）
二．旋转类
1. （08湖南常德26题）如图9，在直线l 上摆放有△ABC 和直角梯形DEFG ，且CD ＝6㎝；在△ABC 中：∠C ＝90O ，∠A ＝300，AB ＝4㎝；在直角梯形DEFG 中：EF//DG ，∠DGF ＝90O ,DG ＝6㎝，DE ＝4㎝，∠EDG ＝600。

解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形 △A 1B 1C ，并求出AB 1的长度；
（2）翻折：将△A 1B 1C 沿过点B 1且与直线l 垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 △A 2B 1C 1，试判定四边形A 2B 1DE 的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A 2B 1C 1沿直线l 向右平移至△A 3B 2C 2，若设平移的距离为ｘ，△A 3B 2C 2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC 面积的一半时,ｘ的值是多少？
（08湖南常德26题解析）
解：（1）在△ABC 中由已知得：BC=2，AC ＝AB×cos30°=32，
∴AB 1=AC+C B 1=AC+CB=322+.……………………………………2分 (2)四边形A 2B 1DE 为平行四边形.理由如下：
∵∠EDG ＝60°，∠A 2B 1C 1＝∠A 1B 1C ＝∠ABC ＝60°，∴A 2B 1∥DE
又A 2B 1＝A 1B 1＝AB ＝4，DE ＝4，∴A 2B 1＝DE,故结论成立.………………4分 （3）由题意可知： S △ABC =
323222
1=⨯⨯，
① 当20<≤x 或10≥x 时，ｙ＝0
此时重叠部分的面积不会等于△ABC 的面积的一半……………5分
②当42<≤x 时，直角边B 2C 2与等腰梯形的下底边DG 重叠的长度为DC 2=C 1C 2-DC 1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝
()()()222
32322
1-=
--x x x ,
当ｙ=
2
1S △ABC = 3时，即
()322
32
=-x ，
解得22-=x （舍）或22+
=x .
∴当22+
=x 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.
③当84<≤x 时，△A 3B 2C 2完全与等腰梯形重叠，即32=y ……………7分
C G 图9
④当108<≤x 时,B 2G=B 2C 2-GC 2=2－(x －8)=10-x 则ｙ＝
()()()2
102
3103102
1x x x -=
-⋅-,
当ｙ=
2
1S △ABC = 3时，即
()3102
32
=
-x ，
解得210-=x ,或210+=x (舍去).
∴当210+
=x 时，重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………9分 由以上讨论知,当22+
=x 或210+
=x 时, 重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一
半.………10分
2. （广西玉林卷）在矩形A B C D 中，4A B =，2B C =，以A 为坐标原点，A B 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．然后将矩形A B C D 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在y 轴的E 点上，则C 和D 点依次落在第二象限的F 点上和x 轴的G 点上（如图）． （1）求经过B E G ，，三点的二次函数解析式；
（2）设直线E F 与（1）的二次函数图象相交于另一点H ，试求四边形E G B H 的周长． （3）设P 为（1）的二次函数图象上的一点，B P E G ∥，求P 点的坐标． [解] （1）解：由题意可知，4A E A B ==，2A G A D B C ===．
(40)B ，
∴，(04)E ，，(20)G -，． 设经过B E G ，，三点的二次函数解析式是(2)(4)y a x x =+-．
把(04)E ，
代入之，求得12
a =-． 3分
∴所求的二次函数解析式是：
2
11(2)(4)42
2
y x x x x =-
+-=-
++．
（2）解：由题意可知，四边形A E F G 为矩形．
F H
G B ∴∥，且
6G B =． ∵直线4y =与二次函数图象的交点H 的坐标为(24)H ，
， 2E H =∴．
G ∵与B E ，与H 关于抛物线的对称轴对称，
B H E G ==
=∴
∴四边形E G B H 的周长
262=++⨯
8=+
（3）解法1：设B P 交y 轴于M ．
B P
E G ∵∥， ::A B A G A M A E =∴， 即4:2:4A M =．
8A M =∴，于是(08)M -，． 设直线B M 的解析式为y kx b =+．
把(40)B ，
，(08)M -，代入之， 得408.
k b b +=⎧⎨
=-⎩，解得28.
k b =⎧⎨
=-⎩， 28y x =-∴．
联合一次，二次函数解析式组成方程组2
281 4.2y x y x x =-⎧⎪
⎨=-++⎪⎩，
解得620x y =-⎧⎨=-⎩，或40.x y =⎧⎨=⎩，
（此组数为B 点坐标）
∴所求的P 点坐标为(620)P -，
． 解法2：过P 作P N x ⊥轴于N ．由B P E G ∥，得E G B P B N ∠=∠． 设所求P 点的横坐标为(0)a a <，则纵坐标为2
14(0)2
a a a -++<．
tan P N P B N N B
∠=∵，4tan 22
A E E G
B A G
∠=
=
=，
2P N A E N B
A G
==∴
．
4N B N A A B a =+=-∴， 2
21
14422
P N a a a a ⎛
⎫=--
++=-- ⎪⎝⎭， 2
1
42
24a a a
--=-∴．
解之，得6a =-或4a =．
经检验可知，6a =-是原方程的根；4a =是原方程的增根，故应舍去． 当6a =-时，2
2
114(6)64202
2
a a -
++=-
⨯--+=．
∴所求的P 点坐标为(620)P -，
． [点评]此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很
容易入题。

3. (07南京市) 27．在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段O P 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()O k θ，，其中点O 叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空：
①如图1，将A B C △以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60
，
得到A D E △，这个旋转相似变换记为A （ ， ）；
②如图2，A B C △是边长为1cm
的等边三角形，将它作旋转相似变换)A
，得
到A D E △，则线段B D 的长为
cm ； （2）如图3，分别以锐角三角形A B C 的三边A B ，B C ，C A 为边向外作正方形A D E B ，B F G C ，C H IA ，点1O ，2O ，3O 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用12A O O △与A B I △，C IB △与2C A O △之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段12O O 与2
A O 之间的关系．
解：（1）①2，60
； ②2；
（2）12A O O △
经过旋转相似变换)A
，得到A B I △，此时，线段12O O 变为线段B I ；
C I B △
经过旋转相似变换452C ⎛
⎫ ⎪
⎪
⎝⎭
，得到2C A O △，此时，线段B I 变为线段1A O ．
12
= ，454590+=
，
122O O A O ∴=，122O O A O ⊥．
4. （08湖北恩施）六、(本大题满分12分)
24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公
共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面
直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验
证BD 2
＋CE 2
=DE 2
.
Ｃ
D
E 图1 Ａ
B Ｃ
D
E
图2
Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｆ
Ｇ
Ｃ
Ｈ
Ａ
Ｉ
3O
1O
2O
图3
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2
是否始终成立,若成立,请证明,若
不成立,
（08湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)
24. 解:(1)∆ABE ∽∆DAE , ∆ABE ∽∆DCA 1分 ∵∠BAE =∠BAD +45°,∠CDA =∠BAD +45° ∴∠BAE =∠CDA 又∠B =∠C =45°
∴∆ABE ∽∆DCA 3分 (2)∵∆ABE ∽∆DCA
∴
CD
BA CA
BE =
由依题意可知CA =BA =2 ∴
n
m 22
=
∴m=
n
2 5分
自变量n 的取值范围为1<n<2. 6分 (3)由BD =CE 可得BE =CD ,即m=n ∵m=
n
2
∴m=n=2 ∵OB =OC =
2
1BC =1
∴OE =OD =2－1
∴D (1－2, 0) 7分 ∴BD =OB －OD =1-(2－1)=2－2=CE , DE =BC －2BD =2-2(2－2)=22－2
∵BD2＋CE2=2 BD2=2(2－2)2=12－82, DE2=(22－2)2= 12－82∴BD2＋CE2=DE28分
(4)成立9分
证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH, ∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠F AG=45°=∠EAD, AD
∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD2+HB2=DH2
即BD2＋CE2=DE212分
5.（08湖北武汉）（本题答案暂缺）25.（本题 12分）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b
经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图2，过点 E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点 A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N 的坐标.
（08湖北武汉25题解析）25.⑴2
13
2
22
y x x
=-++；⑵
4
3
k=；⑶M（3，2），N（1，3）6.（08江苏淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)
如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为
A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.
(1)写出点P的坐标；
(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD
绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．
7. （08江苏徐州）（本题答案暂缺）28.如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°
【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．
，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当C E 1E A ＝时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明.
（2） 如图3，当
C E 2E A
＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由.
（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当C E E A
＝m 时，EP 与EQ 满足的数量关系
式为_________,其中m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC ＝30cm ，连续PQ ，设△EPQ 的面积为S(cm 2)，在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围.
（08山东青岛24题解析）24．（本小题满分12分） 解：（1）在Rt△ABC 中，5
2
2
=+=
AC
BC
AB
，
F
C(E)A(D)Q P D E
F
C
B A Q
P
D
E
F
C
B
A
B
由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ， ∴=AC AQ AB
AP ， ∴
5
542t t -=，
∴710=t ． ············································································································ 3′
（2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴=
BC PH AB
AP ， ∴
=
3PH 5
5t -， ∴t
PH 5
33-
=，
∴t
t t t PH AQ y
353)533(22
12
12
+-
=-
⨯⨯=
⨯⨯=
． ··············································· 6′
（3）若PQ 把△ABC 周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ ． ∴)24(32)5(t t t t -++=+-，
解得：1=t
．
若PQ 把△ABC 面积平分，
则ABC
APQ
S S ∆∆=21， 即－
2
5
3t
＋3t =3．
∵ t =1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． ················· 9′ （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，
若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ， ∴QM=CM ．
∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴
AB
BP AC
PN =， ∴
5
4
t PN =
，
∴5
4t PN
=
，
B
N
∴5
4t CM QM =
=， ∴
425
454=++
t t t ，
解得：9
10=t ．
∴当9
10=
t
时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时3
7533=
-
=t PM
，
9
85
4=
=
t CM ，
在Rt△PMC 中，9
50581
649
492
2
=
+=+=CM
PM
PC
，
∴菱形PQP ′ C 边长为9
505． 12′
7. （08山东枣庄）25．(本题满分1０分)
把一副三角板如图甲放置，其中90
A C B
D E C ==
∠∠，45
A
=
∠，30
D
=
∠，斜边
6cm
A B =，7cm
D C
=．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙）．这时
AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．
（1）求1O F E ∠的度数； （2）求线段AD 1的长；
（3）若把三角形D 1CE 1绕着点C 顺时针再旋转30°得△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？说明理由．
（08山东枣庄25题解析）25．(本题满分10分)
解：（1）如图所示，315∠= ，190E ∠=
，
∴1275∠=∠=
． ………………………………1分 又4
5B ∠=
，
∴114575120O F E B ∠=∠+∠=+=
． ………3分
（甲）
A
C
E D
B
（乙）
A
E 1C
D 1
O
F
1E
C A 1
（2）1120O F E ∠=
，∴∠D 1FO =60°．
1130C D E ∠=
，∴490∠=
． ········································································· 4分
又A C B C = ，6A B =，∴3O A O B ==．
90A C B ∠=
，∴11632
2
C O A B =
=
⨯=． ························································· 5分
又17C D = ，∴11734O D C D O C =-=-=．
在1R t A D O △中，15A D =
=
=． ···································· 6分
（3）点B 在22D C E △内部． ················································································· 7分 理由如下：设B C （或延长线）交22D E 于点P ，则2153045P C E ∠=+=
．
在2R t P C E △中，22C P E ==
， ………… ····································· 9分
2
C B =<
，即CB CP <，∴点B 在22D C E △内部． ……………10分
8 08浙江金华）（本题答案暂缺）24. (本题12分) 如图1，在平面直角坐标系中，
己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD 。

（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此
时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于4
3，若存在，
请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

9. （08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形A B O C
的边B O 在x 轴的负半轴上，边O C 在y 轴的正半轴上，且1A B =，O B =。