2013年中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题
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数学重点压轴之折叠旋转
一．折叠类
1. （12江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 中，边2A B =，边1A D =，且
AB 、AD 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A 落在边DC 上，设点A '是点A 落在边DC 上的对应点．
（1）当矩形ABCD 沿直线12y
x b
=-
+折叠时（如图1），
求点A '的坐标和b 的值；
（2）当矩形ABCD 沿直线y kx b
=
+折叠时，
① 求点A '的坐标（用k 表示）；求出k 和b 之间的关系式； ② 如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分 为如图2、3、4所示的三种情形，
请你分别写出每种情形时k 的取值范围． （将答案直接填在每种情形下的横线上）
k 的取值范围是
； k 的取值范围是 ；k 的取值范围是 ； [解] （1）如图答5，设直线1
2
y x b
=-
+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，OF = 2b ，设点A '的坐标为（a ，1）
因为90D O A A O F ''∠+∠=︒
，90O F E A O F '∠+∠=︒，
所以D O A O F E
'∠=∠，所以△
D O A '∽△OF
E ． 所以
D A D O O E
O F
'=
，即12a b b
=，所以12
a
=
．
所以点A '的坐标为（12
，1）．
连结A E '，则A E O E b
'==．
在R t △D EA '
中，根据勾股定理有2
2
2
A E A D D E
''=+ ，
即2
22
1()(1)
2
b b =+-，解得58
b
=．
（2）如图答6，设直线y kx b
=+与OD 交于点E ，与OB 交于点F ，连结A O '，则
OE = b ，b O F
k
=-
，设点A '的坐标为（a ，1）．
因为90D O A A O F ''∠+∠=︒
，90O F E A O F '∠+∠=︒．
所以D O A O F E
'∠=
∠，所以△D O A '∽△OFE ．
（图1）
所以
D A D O O E
O F
'=
，即
1a b b
k
=
-，所以a
k
=-．
所以A '点的坐标为（k -，1）． 连结A E '，在Rt △D EA '
中，D A k
'=
-，1D E
b
=-，A E
b
'=．
因为22
2
A E A D D E
''=+，
所以2
2
2
()(1)
b
k b =-+-．所以2
12
k
b
+=
．
在图答6和图答7中求解参照给分． （3）图13﹣2中：21k -≤≤-；
图13﹣3中：1-≤k
≤2-+
图13﹣4
中：20
k -+
≤≤
[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。
2. （12广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形O A B C 的顶点O 为原点，E 为A B 上一点，把C B E △
沿C E 折叠，使点B 恰好落在O A 边上的点D 处，点A D ，的坐标分别
为(50)，
和(30)，． （1）求点C 的坐标；
（2）求D E 所在直线的解析式； （3）设过点C 的抛物线2
2(0)y x c b =+
+<与直线B C 的另一个交点为M ，问在该
抛物线上是否存在点G ，使得C M G △为等边三角形．若存在，求出点G 的坐标；若不存
在，请说明理由．
[解] （1）根据题意，得53C D C B O A O D ====，，
90C O D =
∠，4O C ∴=
==．
∴点C 的坐标是(04)，
； （2）4A B O C == ，设A E x =，
则4D E B E x ==-，
532A D O A O D =-=-=，
在R t D E A △中，2
2
2
D E A D A E =+．
222
(4)2x x ∴-=+．
解之，得32
x =
，
即点E 的坐标是352⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，．
设D E 所在直线的解析式为y kx b =+，
30352
k b k b +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，， 解之，得34
94
k b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．
D E ∴所在直线的解析式为394
4
y x =
-
；
（3） 点(04)C ，
在抛物线2
2y x c =++上，4c ∴=．
即抛物线为2
24y x =++．
假设在抛物线2
24y x =+
+上存在点G ，使得C M G △为等边三角形，
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G 一定在该抛物线的顶点上． 设点G 的坐标为()m n ，，
22
4
m ∴=-=-⨯
，2
32342
8
b
n -==
⨯，
即点G 的坐标为2
32348
b ⎛
⎫
--
⎪ ⎪⎝
⎭
，．
设对称轴4
x =-
C B 交于点F ，与x 轴交于点H ．
则点F
的坐标为44⎛
⎫-
⎪ ⎪⎝
⎭，． 00b m <∴> ，，点G 在y 轴的右侧，