2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：2.1 函数及其表示

第二章 函数

2.1 函数及其表示 必备知识预案自诊

知识梳理

1.函数与映射的概念

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫作自变量, 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,

叫作函数的值域,显然,值域是集合B 的子集.

(2)函数的三要素: 、 和 .

(3)相等函数:如果两个函数的 相同,并且 完全一致,那么我们就称这两个函数相等.

3.函数的表示方法

表示函数的常用方法有 、 和 . 4.分段函数 (1)定义:

如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.

(2)分段函数的相关结论

①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.

②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.

1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A ,B 为非空数集的映射就是函数;

(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.

2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数是其定义域到值域的映射.

( ) (2)函数y=f (x )的图像与直线x=1有两个交点.

( ) (3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.( ) (4)对于函数f :A →B ,其值域是集合B. ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.

( )

2.(2020北京,11)函数f (x )=1

x+1+ln x 的定义域是 . 3.已知f ,g 都是从A 到A 的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:

则f (g (3))等于( )

A.1

B.2

C.3

D.不存在

4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f 1

f (2)的值为( )

A.15

16

B.-27

16

C.8

9

D.18

5.如图表示的是从集合A 到集合B 的对应,其中 是映射, 是函数.

关键能力学案突破

考

点

函数及其有关

的概念

【例1】以下给出的同组函数中,表示相等函数的有.(只填序号)

①f1(x)=x

x

,f2(x)=1;

②f1(x)={

1,x≤1,

2,1

3,x≥2,

f2(x):

③f1(x)=2x,f2(x):如图所示.

?

解题心得两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才相等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均为相等函数.

对点训练1(1)下列四个图像中,是函数图像的是()

A.①

B.①③④

C.①②③

D.③④

(2)如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=()

A.3

B.0

C.1

D.2

考

点

求函数的定义

域、值域

【例2】(1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+√x+1的定义域为()

A.(-∞,1)

B.[-1,1)

C.(-1,1]

D.[-1,+∞)

(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()

A.y=x

B.y=lg x

C.y=2x

D.y=

√x

,如何求函数的定义域?

解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.

2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.

对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)=√25-4x2+ln(e x-1)的定义域

为.

(2)若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为()

A.[-1,1]

B.[-1,0]

C.[0,1]

D.[2,8]

(3)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()

A.[-1,1]

B.[1,2]

C.[10,100]

D.[0,lg 2]

考

点

求函数的

解析式

【例3】(1)已知f(2

x

+1)=lg x,求f(x).

(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.

(3)已知f(x)+2f(1

x

)=x(x≠0),求f(x).

f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.

?