七年级数学下册 整式的乘法教案 北师大版

整式的乘法教学设计
教学设计思想：
本节内容分三课时讲授；首先我们利用乘法交换律和结合律及同底数幂乘法的法则探索出单项式相乘的运算法则，并能熟练地运用；然后教师引导学生学习了单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；最后通过拼图游戏，使学生直观地认识多项式与多项式的乘法，再又从代数运算的角度将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，从而归纳出多项式与多项式相乘的法则.
一、教学目标
(一)知识与技能
1.叙述单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则，会进行单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算.
2.掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的算理，知道乘法交换律和结合律的作用和转化.
(二)过程与方法
1.发展有条理的思考和语言表达能力.
2.培养转化的数学思想.
(三)情感、态度与价值观
在探索单项式与单项式相乘的过程中，利用乘法的运算律将问题转化，从中获得成就感，培养学习数学的兴趣.
二、教学重难点
（一）教学重点
单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算法则及其应用.
（二）教学难点
灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的运算.
三、教具准备
投影片
四、教学方法：
引导——发现法
五、教学安排：
3课时
六、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］整式的运算我们在前面学习过了它的加减运算，还记得整式的加减法是如何运算的吗？
［生］如果遇到有括号，利用去括号法则先去括号，然后再根据合并同类项法则合并同类项.
［师］很棒！其实整式的运算就像数的运算，除了加减法，还应有整式的乘法，整式的除法.下面我们先来看问题：
为支持北京申办2008年奥运会，一位画家设计了一幅长6000米、名为“奥运龙”的宣传画.
受他的启发，京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画，如图1－16所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有8
1x 米的空白.
图1－16
(1)第一幅画的画面面积是 米2
； (2)第二幅画的画面面积是 米2.
［生］从图形我们可以读出条件，第一个画面的长、宽分别为x 米，mx 米；第二个画面的长、宽分别为mx 米、(x －81x －81x)即4
3x 米.因此，第一幅画的画面面积是x ·(mx)米2
；第二幅画的画面面积是(mx)·(4
3x)米2
.
［师］我们一起来看这两个运算：x ·(mx),(mx)·(4
3x).这是什么样的运算.
［生］x,mx,4
3x 都是单项式，它们相乘是单项式与单项式相乘.
［师］大家都知道整式包括单项式和多项式，从这节课开始我们就来研究整式的乘法.我们先来学习单项式与单项式相乘.
Ⅱ.运用乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质等知识，探索单项式与单项式相乘的运算法则
想一想：
(1)对于上面的问题小明也得到如下的结果：
第一幅画的画面面积是x·(mx)米2；
3x)米2.
第二幅画的画面面积是(mx)·(
4
可以表达的更简单些吗？说说你的理由.
(2)类似地，3a2b·2ab3和(xyz)·y2z可以表达得更简单些吗？为什么？
(3)如何进行单项式与单项式相乘的运算？
［师］我们来看“想一想”中的三个问题.
［生］我认为这两幅画的画面面积可以表达的更简单些.
x·(mx)
=m·(x·x)——乘法交换律、结合律
=mx2——同底数幂乘法运算性质
3x)
(mx)·(
4
3m)(x·x)——乘法交换律、结合律
=(
4
3mx2——同底数幂乘法运算性质
=
4
［生］类似地，3a2b·2ab3和(xyz)·y2z也可以表达得更简单些.
3a2b·2ab3
=(3×2)·(a2·a)·(b·b3)——乘法交换律、结合律
=6a3b4——同底数幂乘法运算性质
(xyz)·y2z
=x·(y·y2)·(z·z)——乘法交换律、结合律
=xy3z2——同底数幂乘法的运算性质
［师］很棒！这两位同学恰当地运用了乘法交换律、结合律以及同底数幂乘法的运算性质将这几个单项式与单项式相乘的结果化成最简.在(1)(2)的基础上，你能用自己的语言描述总结出单项式与单项式相乘的运算法则吗？你们一定做得会更棒.
［生］单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.
［师］我们接下来就用这个法则去做几个题
［例1］计算：
(1)(2xy 2
)·(3
1xy); (2)(－2a 2b 3
)·(－3a); (3)(4×105
)·(5×104
); (4)(－3a 2b 3)2
·(－a 3b 2)5
;
(5)(－3
2a 2
bc 3
)·(－4
3c 5
)·(3
1ab 2
c).
解：(1)(2xy 2)·(3
1xy)=(2×3
1)·(x ·x)(y 2·y)=3
2x 2y 3
; (2)(－2a 2b 3
)·(－3a)=［(－2)·(－3)］(a 2
a)·b 3
=6a 3b 3
; (3)(4×105
)·(5×104
)=(4×5)·(105
×104
)=20×109
=2×1010
; (4)(－3a 2b 3)2
·(－a 3b 2)5
=［(－3)2
(a 2)2
(b 3)2
］·［(－1)5
(a 3)5
(b 2)5
］ =(9a 4b 6
)·(a 15b 10) =9·(a 4
·a 15
)·(b 6
·b 10
) =9a 19b 16
;
(5)(－3
2a 2
bc 3
)·(－4
3c 5
)·(3
1ab 2
c)
=［(－32
)×(－43)×(3
1)］·(a 2·a)(b ·b 2)(c 3·c 5
·c)
=6
1a 3b 3c 9
［师生共析］单项式与单项式相乘的乘法法则在运用时要注意以下几点：
1.积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，
将系数相乘与指数相加混淆，如2a 3·3a 2=6a 5,而不要认为是6a 6或5a 5
.
2.相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.
3.只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.
4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
5.单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
Ⅲ.练习，熟悉单项式与单项式相乘的运算法则，及每一步运算的算理 1.计算：
(1)(5x 3
)·(2x 2
y);
(3)(－3ab)·(－4b2);
(3)(2x2y)3·(－4xy2).
2.一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？
(由几位同学板演，最后师生共同讲评)
1.解：(1)(5x3)·(2x2y)
=(5×2)(x3·x2)·y=10x3+2y=10x5y;
(2)(－3ab)·(－4b2)
=［(－3)×(－4)］a·(b·b2)=12ab3;
(3)(2x2y)3·(－4xy2)
=［23(x2)3·y3］·(－4xy2)
=(8x6y3)·(－4xy2)
=［8×(－4)］·(x6·x)(y3·y2)=－32x7y5
2.解：(4×109)×(5×102)
=(4×5)×(109×102)
=20×1011=2×1012(次)
答：工作5×102秒，可做2×1012次运算.
Ⅳ.课时小结
这节课我们利用乘法交换律和结合律及同底数幂乘法的法则探索出单项式相乘的运算法则，并能熟练地运用.
Ⅴ.课后作业
课本习题1.8，第1、2题.
Ⅵ.活动与探究
若(a m+1b n+2)·(a2n－1b2m)=a5b3,则m+n的值为多少？
［过程］根据单项式乘法的法则，可建立关于m,n的方程，即(a m+1b n+2)·(a2n－1b2m)
=(a m+1·a2n－1)·(b n+2·b2m)=a2n+m b2m+n+2=a5b3,所以2n+m=5①,2m+n+2=3即2m+n=1②,观察①②方程的特点，很容易就可求出m+n.
［结果］根据题意，得2n+m=5①,2m+n=1②,①+②得3n+3m=6,3(m+n)=6,所以m+n=2.
板书设计
第二课时：
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］整式包括什么？
［生］单项式和多项式.
［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢？
［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘.
［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘.
Ⅱ.利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则
为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过.宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－17：
图1－17
(1)宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了8
1x 米的空白，这幅画的画面面积是多少？
一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为 ；
另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为 . 这两个结果表示同一画面的面积，所以 . (2)如何进行单项式与多项式相乘的运算？
［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法.一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积.下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积.
［生］根据题意可知画面的长为(mx －81x －81
x)即(mx －4
1x)米，宽为x 米，所以画面的面积为x(mx －
4
1x)米2
. ［生］纸的面积为x ·mx=mx 2
米2
，空白处的面积为2x ·81x=4
1x 2米2
，所以画面的面积为(mx 2
－
4
1x 2)米2
. ［师］x(mx －
41x)与mx 2
－4
1x 2都表示画面的面积，它们是什么关系呢？ ［生］它们应相等，即x(mx －
41x)=mx 2
－4
1x 2. ［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式x 与多项式(mx －
4
1
x)相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗？
［生］乘法分配律a(b+c)=ab+ac.所以x(mx －
4
1
x)就需用x 去乘括号里的两项即mx 和
－4
1x,再把它们的积相加，即x(mx －
41x)=x ·(mx)+x ·(－41x)=mx 2
－4
1x 2. ［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗？3xy(x 2
y －2xy+y 2
),并说明每一步的理由. ［生］3xy(x 2
y －2xy+y 2
)
=3xy ·(x 2
y)+3xy ·(－2xy)+3xy ·y 2
——乘法分配律 =3x 3y 2
－6x 2y 2
+3xy 3
——单项式乘法的运算法则
［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？ ［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化
为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.
［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识.
［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想.我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等.
我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘 ，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用.
Ⅲ.练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化
［例1］计算： (1)2ab(5ab 2
+3a 2
b); (2)(
3
2ab 2－2ab)·21
ab;
(3)－6x(x －3y); (4)－2a 2
(
2
1ab+b 2
). 解：(1)2ab(5ab 2
+3a 2
b)
=2ab ·(5ab 2
)+2ab ·(3a 2
b)——乘法分配律 =10a 2b 3
+6a 3b 2——单项式与单项式相乘 (2)(
3
2ab 2－2ab)·21ab
=(
3
2ab 2)·21ab+(－2ab)·21
ab ——乘法分配律
=3
1a 2b 3－a 2b 2
——单项式与单项式相乘 (3)－6x(x －3y)
=(－6x)·x+(－6x)·(－3y)——乘法分配律 =－6x 2
+18xy ——单项式与单项式相乘 (4)－2a 2(
2
1ab+b 2
) =－2a 2
·(
2
1ab)+(－2a 2)·b 2
——乘法分配律 =－a 3
b －2a 2b 2
——单项式与单项式相乘
［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理.单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么.
［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点： 1.积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.
2.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.
［例2］计算：6mn 2
(2－
3
1mn 4)+(－21mn 3)2
.
分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项. 解：原式=6mn 2
×2+6mn 2
·(－
31mn 4)+4
1m 2n 6
=12mn 2－2m 2n 6
+
4
1m 2n 6
=12mn 2
－
4
7m 2n 6
［例3］已知ab 2
=－6,求－ab(a 2b 5
－ab 3
－b)的值.
分析：求－ab(a 2b 5
－ab 3
－b)的值，根据题的已知条件需将ab 2
的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.
解：－ab(a 2b 5
－ab 3－b)
=(－ab)·(a 2b 5
)+(－ab)(－ab 3
)+(－ab)(－b) =－a 3b 6
+a 2b 4
+ab 2 =(－ab 2)3
+(ab 2)2
+ab 2
当ab 2=－6时
原式=(－ab2)3+(ab2)2+ab2
=［－(－6)］3+(－6)2+(－6)
=216+36－6
=246
Ⅳ.课时小结
［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会.你能告诉大家吗？
［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……
［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想.
［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算.
［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手.
Ⅴ.课后作业
1.课本P26，习题1.9第1、2题.
2.回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用.
Ⅵ.活动与探究
已知A=987654321×123456789,
B=987654322×123456788.
试比较A、B的大小.
［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.
［结果］设a=987654321,
a+1=987654322;
b=123456788,
b+1=123456789,则
A=a(b+1)=ab+a;
B=(a+1)b=ab+b.
而根据假设可知a>b,所以A>B.
板书设计
第三课时：
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］利用下面长方形卡片中的任意两个，拼成一个更大的长方形.
图1－19
［生］用上面卡片中的任意两个拼出如下图形：
图1－20
［师］你能用不同的形式表示上面四个图形的面积吗？
［生］图A的面积可以表示为(n+a)m,也可以表示为nm+am;
图B的面积可以表示为n(m+b),也可以表示为nm+nb;
图C的面积可以表示为b(n+a),也可以表示为bn+ab;
图D的面积可以表示为a(m+b),也可以表示为am+ab.
［生］由上面的同一图形不同的面积表示方程可得：
(n+a)m=nm+am;
n(m+b)=nm+nb;
b(n+a)=bn+ab;
a(m+b)=am+ab.
［师］我们观察上面四个式子可以发现，等式的左边是单项式乘以多项式，而它们正是单项式与多项式相乘的一个几何解释.
如果再把A、B、C、D四个图形进一步摆拼，会得到比它们更大的长方形.做一做，试一试，也许你会有更惊人的发现.
Ⅱ.通过拼更大的长方形，对比同一面积的不同表示方式，使学生对多项式与多项式的乘法有一个直观认识，再从代数角度去探索多项式与多项式乘法的运算法则.
［生］利用A和C可以拼出下列长方形：
［生］利用B和D也可以拼出如图1－21所示的长方形.
图1－21
［师］你能用不同的形式表示这个图形的面积吗？并进行比较.
［生］上面的图形可以看成长为(m+b)、宽为(n+a)的长方形，其面积是(m+b)(n+a)；
［生］上面的图形还可以看成图A和图C两个图形组成的，其面积是m(n+a)+b(n+a)；
［生］还可以看成是四个小长方形的组合，其面积是mn+ma+bn+ba.
［师］比较后，你能发现什么？
［生］这三种方法表示同一图形的面积.因此，它们是相等的，即
(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba.
［师］如果从代数运算的角度解释上面的等式成立吗？
［生］成立.在(m+b)(n+a)中，可以把其中的一个多项式看成一个整体，例如把(n+a)看成
一个整体，利用乘法分配律，得,这时再利用单项式与多项式相乘的运
算法则，就可得到.
［师］这位同学从代数运算的角度解释这个等式，解释的很清楚.我们接着来分析上面的等式.(m+b)(n+a)是多项式与多项式相乘，这正是我们要学习的整式乘法中的最后一个问题.而同学们能借用前面知识将问题转化成单项式与多项式的乘法，说明同学们已能恰当地利用转化的思想，解决当前问题.
实际上，多项式与多项式相乘，可以把其中的一个多项式看成一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行运算.
我们前面拼图，然后对同一面积用不同的形式表达所得出的等式可以作为多项式与多项式相乘的几何解释.
结合上面的代数解释和几何解释，你能总结出多项式与多项式相乘的运算法则吗？
［生］多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
［师］下面我们就来看几个多项式与多项式相乘的整式乘法运算.
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［例1］计算：
(1)(1－x)(0.6－x);(2)(2x+y)(x－y);
(3)(x－y)2;(4)(－2x+3)2;
(5)(x+2)(y+3)－(x+1)(y－2).
分析：在做的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.
解：(1)(1－x)(0.6－x)
=(0.6－x)－x(0.6－x)
=0.6－x－0.6x+x2
=0.6－1.6x+x2
或(1－x)(0.6－x)
=1×0.6－1×x－0.6x+x·x
=0.6－x－0.6x+x2
=0.6－1.6x+x2
(2)(2x+y)(x－y)
=2x(x－y)+y(x－y)
=2x2－2xy+xy－y2
=2x2－xy－y2
或(2x+y)(x－y)
=2x·x－2x·y+xy－y2
=2x2－xy－y2
(3)(x－y)2=(x－y)(x－y)=x(x－y)－y(x－y)
=x2－xy－xy+y2
=x2－2xy+y2
或(x－y)2=(x－y)(x－y)
=x·x－x·y－x·y+y·y
=x2－2xy+y2
(4)(－2x+3)2
=(－2x+3)(－2x+3)
=－2x(－2x+3)+3(－2x+3)
=4x2－6x－6x+9
=4x2－12x+9
或(－2x+3)2
=(－2x+3)(－2x+3)
=(－2x)(－2x)+3(－2x)+3(－2x)+9
=4x2－12x+9
(5)(x+2)(y+3)－(x+1)(y－2)
=(xy+3x+2y+6)－(xy－2x+y－2)
=xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2
=5x+y+8
评注：(3)(4)题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.
(5)整式的混合运算，一定要注意运算顺序.
Ⅲ.练一练
出示投影片
1.计算：
(1)(m+2n)(m－2n);
(2)(2n+5)(n－3);
(3)(x+2y)2;
(4)(ax+b)(cx+d).
2.试一试，计算：
(a+b+c)(c+d+e)
解：1.(1)(m+2n)(m－2n)
=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n
=m2－2mn+2mn－4n2
=m2－4n2
(2)(2n+5)(n－3)
=2n·n－3·2n+5n－5×3
=2n2－6n+5n－15
=2n2－n－15
(3)(x+2y)2
=(x+2y)(x+2y)
=x2+2xy+2xy+4y2
=x2+4xy+4y2
(4)(ax+b)(cx+d)
=ax·cx+ax·d+b·cx+bd
=acx2+adx+bcx+bd
2.(a+b+c)(c+d+e)
=a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e)
=ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce
Ⅳ.课时小结
这节课我们通过拼图游戏，可以直观地认识多项式与多项式的乘法，然后又从代数运算的角度将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，从而归纳出多项式与多项式相乘的法则.重点是明白每一步的算理，熟练多项式与多项式乘法的运算法则.
Ⅴ.课后作业
1.课本P28，习题1.10第1、2题.
2.归纳总结整式的乘法运算，并写出体会、经验在全班交流.
Ⅵ.活动与探究
由计算得到27×23=621，发现积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×(2+1).换两个数84×86=7224同样具有这一特点，于是我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10的两位数的积是否也有这样的规律？
［过程］根据题意，可以发现这样的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a,b,c都是正整数，并且b+c=10).根据多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.
［结果］设这样的两位数分别为10a+b和10a+c(a、b、c都是正整数，并且b+c=10).根据多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为
(10a+b)(10a+c)
=100a2+10a(b+c)+bc
=100a2+100a+bc
=100a(a+1)+bc
这个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，可以用十位上的数a去乘比它大1的数(a+1),然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果就是原来这两位数的乘积.例如：
计算：(1)32×38 (2)54×56
(3)73×77
解：(1)3×(3+1)=12，2×8=16
∴32×38=1216
(2)5×(5+1)=30，4×6=24
∴54×56=3024
(3)7×(7+1)=56，3×7=21
∴73×77=5621
板书设计
整式的乘法
——多项式与多项式相乘
一、拼图游戏
1.做一做，利用手中准备好的卡片拼出更长的长方
形.
2.用不同形式表示图1－22的面积.
图1－22
(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba (1)
3.用乘法分配律说明(1)式成立.
(把(n+a)当成整体，利用乘法分配律而推出)
=mn+ma+bn+ba
(利用单项式与多项式运算法则)
4.多项式与多项式相乘的运算法则
5.例1(略).
6.练习(略).。