集合论悖论的解决V7.5

集合论悖论的解决V7.5

2010.12.25 QQ:165442523

摘要：实数集R的所有幂集：P(R),P(P(R)),P(P(P(R))),...,Pn(R),...因为所有Pn(R)都是不包含自身的集合，罗素悖论中“所有不包含自身的集合”必包含所有Pn(R),也就是包含广义连续统假设中的全部基数{X0,X1,...Xn...}，从而无意义。

简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。

虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.

广义连续统假设:无限集合的基数必是X0,X1,...Xn...之一.

其中的基数X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了. 无意义公理:一个无限集的基数是极限limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的.

这个公理是我引入的，我还没在别处见到过。

这个公理是易理解的，它就相当于公理集合论中的真类的概念，但公理集合论引入这个类的概念后就误入岐路了，至少作者是这样认为的。

李均宇第一定理：如果一个集合包含广义连续统假设中全部的基数，也就是集合{X0,X1,...Xn...},则这个集合的基数是limXn(n→∞)

这个定理是显而易见的，用反证法不难证明的。

李均宇第二定理:如果一个无限集合又包含自身的幂集,也就是集合

A={......,P(A)),则这个集合A的基数是limXn(n→∞)

证明:设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的基数是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成

X(n+1),这与原先假设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的基数是limXn(n→∞).

李均宇第三定理: 如果一个集合包含一个无穷集的所有幂集，也就是集合

B={P(A),P(P(A)),P(P(P(A))),...,Pn(A),...},则这个集合B的基数是

limXn(n→∞),尤其是当A为实数集R时，集合

B={P(R),P1(R),P2(R),...,Pn(R),...},则这个集合B的基数是limXn(n→∞)

所有幂集,假设无穷集A，则其幂集P(A),幂集的幂集P(P(A)),幂集的幂集的幂集P(P(P(A))),...Pn(A).....称为其所有幂集。

因为一个无穷集的所有幂集的基数就是广义连续统假设中全部的基数，所以由李均宇第一定理知此定理成立。

李均宇第四定理: 假设集合P'n(A)与幂集Pn(A)等势，也就是基数一样，则P'n(A)也相当于幂集Pn(A)一样适用于李均宇第二和第三定理中。

一。基数悖论

定理1:所有集合的集合的基数是limXn(n→∞).

这个显而易见，这在<<集合论>>中早已有之，这里重述而已。因为所有集合的集合包含自身幂集，由李均宇第二定理知其基数是limXn(n→∞).所以这种集合在公理集合论中称为真类。

二。罗素悖论

李均宇第五定理:假设A是不包含自身的集合(不是真类)，则A的幂集P(A)也是不包含自身的集合.

证明:用反证法.假设A是不包含自身的集合(不是真类)，B=P(A),如果B包含自身，则B的元素包含自身B，B的元素的元素也包含自身B，而B的元素是A的子集，B的元素的元素是A的子集的元素，A的子集的元素与A的元素是一样的，也就是说，A包含B，根据李均宇第二定律知A是真类，矛盾。

这点不难理解的，例如集合{1,2,3}不包含自身，则其所有元素和子集和幂集也是不包含自身的，这很易理解的，只是推广到无限集合中去而已。再如实数集R 不包含自身，则R的任一子集和幂集也是不包含自身的。

定理2:所有不包含自身的集合的基数也是limXn(n→∞).

证明:因为实数集R是不包含自身的集合，由李均宇第五定理所以R的所有幂集也是不包含自身的，也就是R的幂集R1，R的幂集的幂集R2，R的幂集的幂集的幂集R3。。。。全不包含自身，则所有不包含自身的集合必含R的所有幂集，由李均宇第三定理所以其基数也就是limXn(n→∞).

所以罗素悖论中的“所有不包含自身的集合”，这个集合的基数就是

limXn(n→∞)，也就是公理集合论中的真类。

三。序数悖论

定理3:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系

下都是良序集.

定理3是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.

李均宇第六定理:任何序数的集合的幂集也是序数.

证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理3知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理3知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数.

定理4:所有序数的集合的基数也是limXn(n→∞).

证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第六定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇第二定理知此集合的基数是limXn(n→∞).

基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明,这三个集合的基数都是limXn(n→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.

作者认为公理集合论引进了类的概念是正确的，但随后是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大的。

四。下面深入讨论下一些集合的性质

命题一：所有不包含自身幂集的集合是真类吗？是的。

因为实数集R的所有幂集都是不包含自身幂集的集合。所以所有不包含自身幂集的集合必包含实数集R的所有幂集，由李均宇第三定理知其为真类。为什么实数集R的所有幂集都是不包含自身幂集的集合呢，因为假设其任一幂集Rn包含自身幂集，则由李均宇第二定理知其为真类，这与Rn有固定Xn矛盾的。

命题二：所有不包含1的集合是真类吗？是的。