产销问题的最大利润 数学建模

自动081班：

摘要

在充分理解题意的基础上，我们提出问题，并对问题做出分析，提出了合理的假设模型，并对模型进行验证。通过对问题的深入分析计算，我们将本题归结为规划问题，并建立了非线性规划模型。通过计算得出结论：

1）处理问题时，通过建立模型，尽可能利用数学手段，得到问题最优解，解得1~6月份分

别生产手工产品840件、1050件、1155件、

1365件、1365件、1260件时获得最大利润

896328元

2）通过问题---模型经过类比发现，旺季促销获得利润高于淡季促销以及不促销，其获得利

润分别如下：900378，897168，896328。得

出结论，旺季促销情况下的产销方案优于淡

季促销和不促销，最大利润为900378元。

问题引出

某个以生产手工产品为主的公司，在1~6月中需要针对收集到市场信息分析，对人员配置、每月销售手工产品数量、每月生产手工产品数量进行科学决策，使公司获得最好的经济效益。

该公司的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在手工产品上，经过各个部门的运作，形成成本（生产材料成本、人力成本、库存成本、缺货损失成本等）和利润。

题中给出了该公司所掌握的一些数据资料，根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在现有信息的条件下，向公司提供有益的建议以期获得最大收益。

模型假设

由于市场的不稳定性以及一些问题的不确定性，我们对求解的模型作出一些合理化的假设：

1、不考虑产品需求预测估计值的误差，也不考虑产品各项成本费用在此段时间的变化。

2、为方便起见，时间和产量都作为离散量处理。固定的认为该月初的该产品的数量为库存量，本月生产将于月底一次性完成并一次性销售，不考虑本月生产手工产品的库存花费。时间上以月份i为单位（i=1，2，3，4，5，6），每月产量为X i，按月分析。

3、规定月初招聘人员，月末解聘人员。当月招聘人员的培训时间不影响正常工作时间和加班时间，并且解聘于月末已完成本月生产任务也不影响本月正常生产和加班时间。

模型分析基本参数的说明

该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以归化为线性求解。由于该题目涉及数据变量不是教多，我们可以直接使用lingo软件直接求解（条件所限，只能用笨方法计算）。

问题的约束条件由人数变化和每月销售件数变化范围确定。问题的目标函数就是总利润函数。总利润=总销售额-成本（包括人力成本、生产成本，库存缺货成本以及其他成本等）。我们的目标是确定人数变化和每月销售件数的可行值，使得我们的成本尽可能低，总利润最大。

第二问实质上就是对于第一问的扩展。我们可以建立一个以成本最小利润最大为目标函数的规划模型，从中得出最优的销售方案。

Max 最大收益

Min 最小支付

T 工作时间

X 每月的生产额

模型建立及求解

我们暂不考虑一些限制条件（比如工人工资，库存成本等），那么由题目所给数据简化模型可得：前六个月总销售额为1000+1100+1150+1300+1400+1300=7250；每件利润为240-100=140；总利润最大为Max=7250*140=1015000。

显然上述数据是很不准确的，我们必须把工人的工资考虑在内，那么所有加工完成后按小时计工资为12*11280{=[7250-200(库存)*1.6]}=135360那么正常上班是否有这么多时间呢？总时间T=8*21*10*6=10080，显然<11280，那么缺少的时间1200（=11280-10080）小时，工人就得加班，支出随之提高。

我们来看工人可以接受的总加班时间T’=10*10*6=600,这说明即使所有工人同意加班，还是不能按时完成半年的总产量，那么我们必须要考虑再招人。由题知，不加班情况下每个工人半年的工作时间为T=8*21*6=1008>>600也就是说，按总的销售量来算，只用再招1个人即可完成所有工作。

模型检验及修改

由以上分析可知，要想如期完成任务，我们必须重新聘请一些人。所以我们也不得不考虑新招工人所需的培训费用。由以上可知，加班总时间为1200。加班所多花费用为1200*6=7200>>50(培训费用)，那我们能不能多招人，使所有工人都不必加班。则至少应该招1200/168=7人，那么所需加班时间仅为1200-168*7=24h，多支出的费用为350<<7200，符合市场规律。

同时我们应该看到半年时间内每月所需的数量也是不相同的，那么这7个人应该什么开始招呢？？如果招的早了，就得有库存，那样库存成本也不是一个小数目；如果招的晚了，当遇到旺季时还需要加班。怎样才能在加班与库存之间找到一个平衡点呢，使库存与招工总费用最低？

我们撇开生产能力的约束，来找到每月生产量与库存之间的平衡点，使总费用最少。由于5月份销量最多，使前5个月的库存量与6月份的生产量正好足够六月份销售。不妨设第i月生产X i件（i=1、2、3、4、5、6）则

Min=（X1-800）*10*4+（X2-1000）*10*3+（X3-1150）*10*2+（X4-1300）*10

（此解需要借助linggo或matlab等数学软件才能算得）

我们不妨分月进行计算：

每个工人每月最少的生产量为21*8/1.6=105件

每个工人每月最多的生产量为105+10/1.6=111.25件

每个工人不加班情况下工资为21*8*12=2016元

一月份：使不留库存所需工人数为（1000-200）/105≈8

Min1=40*10+100*2+840*100+2016*8=100728

二月份：不留库存所需工人数为（1100-40）/105≈10

Min2=10*20+50*2+1050*100+2016*10=125460

三月份：使满足销售所需工人数为（1150+10）/105≈11

Min3=5*20+50*1+1155*100+2016*11=137826